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高校数学A チェバの定理の逆と外分—点の位置を確かめて共点の条件を使う｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

内分と外分の位置を確認し、比の積が1となる候補から、3直線が平行になる配置を除いて共点を判定します。

高1が3つの比を掛けて1になったところで、3本の直線は必ず1点で交わると結論する場面があります。辺の延長に点があると、積は合っていても直線が平行になることがあります。まず点の位置を決め、次に交点が実際に存在するかを調べましょう。

比から何を判定するか

非退化な三角形 ABC で、D、E、F をそれぞれ直線 BC、CA、AB 上に取ります。どの点も三角形の頂点とは異なるものとします。長さは向きを付けない正の数です。見る積は次の順にそろえます。

BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB

よくある問いは、3つの比から直線 AD、BE、CF が共点か判定するものです。別の型では、共点になるように辺上の未知の点を決めます。さらに外分点を含むときは、積が1となる候補を求めた後、直線の平行を除けるかが問題になります。

比の分子と分母は B から C、C から A、A から B へと循環させます。1つを逆にするだけで積は変わります。また、比が1になることと、有限の場所に交点があることは別々に確かめます。

逆を使う前に点の位置を見る

図1のように、D、E、F がそれぞれ辺の内部にある場合を考えます。3直線が1点で交わるとき、チェバの定理から上の積は1です。逆に積が1なら、3直線は1点で交わります。内部の点を結ぶ AD と BE は三角形の内部で交わるので、平行の例外はありません。

図1のように交点を P とし、直線 CP と AB の交点を F′ とします。P は内部にあるので F′ は辺 AB の内部にあります。共点の場合のチェバの定理を D、E、F′ に使うと、BD/DC ・ CE/EA ・ AF′/F′B = 1 です。仮定の積と比較し、正の共通因子を消せば AF′/F′B = AF/FB です。線分 AB の内部で A からの距離と B からの距離の比を決める点は1つなので、F′ = F です。したがって CF も P を通ります。

外分が2点ある場合も、有限の交点があれば同様に考えられます。例えば D が BC の C 側、E が CA の A 側の延長にあり、F が AB の内部にあるとします。積が1で、AD と BE が平行でなければ、交点 P は存在します。P は C に一致せず、直線 CP は AB と平行にも一致もしません。そのため AB と交わり、その交点 F′ は内部にあります。以下にその位置まで確かめます。

BD/DC = r、CE/EA = s と置きます。D は C の外側なので r > 1、E は A の外側なので s > 1 です。したがって積が1となる F は AF/FB = 1/(rs) < 1 を満たし、確かに AB の内部にあります。AD と BE の交点がある配置で CP が AB に平行だと仮定すると、平行線の比から BD/DC と CE/EA の積は1となります。しかし r > 1、s > 1 なので矛盾します。よって F′ が存在します。

この配置のPは線分BEの内部にあります。三角形CBEでAは辺CEの内部、Dは辺CBをCの先へ延長した点なので、直線ADは辺BEの内部で交わります。Eは直線ABについてCと反対側にあり、BとEの間のPもその側です。またPは直線ACについてBと同じ側、直線BCについてAと同じ側にあるので、半直線CPは角ACBの内部を通り、辺ABの内部でF′と交わります。共点の場合の関係式でAF′/F′Bを求め、内分点の一意性を使えばF′ = Fとなります。

外分点が2つなら必ず共点とは言えません。平行のときは交点 P を置く段階が成立しないからです。また外分が1つまたは3つの配置では、正の長さの積が1でも、この共点条件をそのまま使えません。点が各辺のどちら側にあるかを先に分類します。

比の一意性も確認しましょう。AB の長さを L、AF を t とすると、内部では FB = L − t です。AF/FB = k と決まれば t/(L − t) = k なので、t = kL/(1 + k) と一意に決まります。外分の点も、どちら側にあるかを指定すれば、全体と延長部分の差を使って同様に一意に決まります。比の数値だけで内分と外分の位置を省いてよいという意味ではありません。

共点の証明では、積の計算が終わった後に直線を見ます。内部の3点なら交点の存在を図形の位置から保証できます。外分点を含むときは、平行でない理由を、点の順序や平行線の比から文章にして残します。図で交わって見えるだけでは、厳密な根拠になりません。

基本：内部の点から共点を決める

三角形 ABC の辺 BC 上に BD:DC = 2:3、辺 CA 上に CE:EA = 3:4 となる点 D、E を取ります。辺 AB 上に AF:FB = 2:1 となる点 F を取るとき、AD、BE、CF が共点か判定し、理由を述べてください。

図2のように3点は辺の内部です。長さの比を順番に代入します。

BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB
= (2/3) ・ (3/4) ・ (2/1)
= 1

内部の点についての逆が使えるので、3直線は1点で交わります。図2では各辺の分け方と、3直線の交点を対応させています。

確認として最後の比を先の2つから逆算すると、AF/FB = 1/((2/3)・(3/4)) = 2 です。これは問題の 2:1 に戻ります。点 F は内部にあるので、求めた正の比に対応する位置も問題の条件と一致します。

標準：2つの外分点と直線の向き

三角形 ABC で、D は BC の C 側の延長上にあり BD:DC = 3:1、E は CA の A 側の延長上にあり CE:EA = 2:1 です。F は辺 AB 上にあります。AD と BE が平行でないことを確かめ、3直線が共点となる AF:FB を最も簡単な整数比で求めてください。

まず BD = BC + CD なので BC:CD = 2:1 です。同様に CE = CA + AE から CA:AE = 1:1 です。三角形 CBE で、A は CE の中点です。AD が BE に平行なら、平行線と線分の比により D は CB の中点になるはずですが、D は C の外側です。従って平行ではありません。

共点のための比を x = AF/FB とすると、正の長さについて

3 ・ 2 ・ x = 1
6x = 1
x = 1/6

よって AF:FB = 1:6 です。この比は正であり、F は確かに AB の内部に取れます。2点外分で AD と BE は平行でないので逆を適用でき、求めた点で共点になります。元に戻すと 3 ・ 2 ・ (1/6) = 1 で、2つの外分の比にも一致します。

発展：積が1でも交点がない場合

三角形 ABC で、D は BC の C 側の延長上にあり BD:DC = 2:1、E は CA の C 側の延長上にあり CE:EA = 1:2 です。F は AB の内部にあり AF:FB = 1:1 です。積を求め、3直線の位置関係を説明してください。

BD = BC + CD より BC = CD です。また EA = EC + CA より EC = CA です。つまり C は BD と EA のそれぞれの中点です。三角形 ADB を見ると、C は BD の中点、F は AB の中点です。中点連結定理より CF は AD に平行です。

同様に三角形 ABE では、C は AE の中点、F は AB の中点ですから CF は BE に平行です。したがって AD、BE、CF は互いに平行で、有限の共通点を持ちません。一方、積は

(2/1) ・ (1/2) ・ (1/1)
= 1

です。計算を条件に戻すと、BD は BC の2倍、EA は CA の2倍、F は AB の中点です。積が1でも平行を除けないことが、この具体例で確かめられます。なお、ここでは D と E が異なる辺をそれぞれ外分し、F は内分しています。

誤答を点の位置から直す

「積が1なのでチェバの定理の逆により共点」と書くと、発展例の図3で誤ります。原因は、逆の証明に出てくる交点 P を、平行かどうか確認せずに置いたことです。図3では AD、BE、CF は同じ向きで、交点を作れません。

修正するときは、まず D、E、F の内分・外分を図に書きます。次に2本を選び、平行線の比や中点連結定理で平行か調べます。平行でなければ交点を置き、逆の証明に進みます。平行なら共点と結論できず、3本目についても平行かを別に確かめます。交点が頂点に重なる場合や、分母になる長さが0の場合も、最初の設定から除く必要があります。

別の誤りは、外分点 D について BD = BC − CD とすることです。D が C の先なら B、C、D の順ですから BD = BC + CD です。どの点が中央にあるかを線上に並べると、足し算か引き算かを判断できます。外分の比が逆になれば、その後の積が偶然1になっても判定の根拠にはなりません。

自分で確かめる5問

各問で三角形 ABC は非退化、点は頂点と異なります。比は最も簡単な整数比で答え、共点の判定には理由も付けてください。

D、E、F はそれぞれ辺 BC、CA、AB の内部にあり、BD:DC = 4:5、CE:EA = 5:6、AF:FB = 3:2 です。3直線は共点ですか。
D、E はそれぞれ BC、CA の内部にあり、BD:DC = 3:7、CE:EA = 7:2 です。3直線が共点となる F の AF:FB を求めてください。
D は BC の C 側の延長上で BD:DC = 4:1、E は CA の A 側の延長上で CE:EA = 3:1 です。F は AB の内部にあります。共点となる AF:FB を求めてください。
D は BC の C 側、E は CA の C 側の延長上で、それぞれ CD = 2BC、CE = 2CA です。F は AB の中点です。3直線の位置関係を判定してください。
D は BC の B 側の延長上で BD:DC = 1:3、E は CA の A 側の延長上で CE:EA = 3:1 です。F は AB の内部にあります。積が1となる AF:FB を求め、3直線が共点か判定してください。

答えとたどり方

積は (4/5)・(5/6)・(3/2) = 1 です。3点は内部にあるので逆から共点です。前2つの比から最後を逆算すると 3/2 となり、与えられた 3:2 に戻ります。
AF/FB = x とすると (3/7)・(7/2)・x = 1 です。よって (3/2)x = 1、x = 2/3 です。答えは 2:3 です。正の比なので内部に点があり、積に戻すと (3/7)・(7/2)・(2/3) = 1 です。
積の条件は 4・3・x = 1 なので x = 1/12、答えは 1:12 です。D は C の先、E は A の先にあります。三角形 CBE で A は CE 上にありますが、D は CB の延長の C 側にあるので、AD は BE に平行ではありません。逆により共点です。元の比に戻すと 4・3・(1/12) = 1 です。
BD = BC + CD = 3BC なので BD/DC = 3/2 です。EA = EC + CA = 3CA なので CE/EA = 2/3 です。積は (3/2)・(2/3)・1 = 1 です。しかし CD/CB = CE/CA = 2 で、角 DCE と角 BCA は対頂角です。三角形 CDE と CBA は2辺の比とその間の角から相似なので、DE は BA に平行です。さらに AD と BE の平行を調べると、この設定では平行ではありません。例えば AD が BE に平行なら、三角形 CBE の辺 CE 上の A と、直線 CB 上の D の対応から CD/CB = CA/CE = 1/2 が必要ですが、実際は2です。よって AD と BE は交わり、逆から CF も交点を通ります。与えた CD = 2BC、CE = 2CA と中点の比をいずれも用いています。
BD/DC = 1/3、CE/EA = 3 なので x = AF/FB について (1/3)・3・x = 1、x = 1 です。答えは 1:1 です。BD:DC = 1:3 より DC = 3BD、BC = 2BD です。また CE:EA = 3:1 より CA = 2EA です。したがって B は DC の内分点で DB/DC = 1/3、A は CE の内分点で CA/CE = 2/3 です。A は CE の内部、B は CD の内部にあるため、三角形 CDE の線分 DA と EB は内部で交わります。よって交点があり、2点外分の逆から共点です。元の積は (1/3)・3・1 = 1 です。