高校数学A 円に内接する四角形の角—対角と外角を区別して未知の角を追う｜武蔵野個別指導塾

対角の和と外角の位置を図で確かめ、対角線が分けた角を同じ弦に対する円周角で追いかけます。

よくあるのは、円に内接する四角形の辺を延長した図で、外角とその隣の内角を等しいとする場面です。外角と隣の内角は一直線の両側に並ぶので、和が180°です。等しい角を探すなら、外角から四角形の反対側へ目を移します。どの頂点の、どの2本の半直線にはさまれた角かを読むことから始めましょう。

角を追う3つの入口

円周上に異なる4点 A、B、C、D がこの順に並ぶとき、四角形 ABCD は円に内接します。ここでは辺が交差せず、内角がいずれも180°より小さい凸四角形を扱います。対角は辺を共有しない頂点の角で、A と C、B と D がそれぞれ組になります。

問題の入口は主に3つあります。1つ目は、内角が1つ与えられ、向かいの内角を求める型です。2つ目は辺を延長した外角から、隣の角と反対側の角を区別する型です。3つ目は対角線で内角が分かれており、同じ弦に対する円周角をつないでから全体の角を求める型です。

いずれも、先に図へ頂点の順を書き込みます。角の記号は中央の文字が頂点です。例えば ∠ABC は B を頂点とする角で、∠BAC とは別です。図の小さな領域を何となく眺めるより、角の両辺と、その両辺が円に届く点を確かめると根拠がはっきりします。

対角の和と外角が成り立つ理由

図1のように円周上に A、B、C、D を順にとります。対角線を引かなくても、∠BAD の両辺は弦 AB と AD です。この角が見込むのは、A を含まず B、C、D を通る弧 BD です。一方、∠BCD が見込むのは C を含まず B、A、D を通る残りの弧 BD です。

図1の2つの弧は合わせて円周全体です。円周角の定理より、各円周角は対応する弧に対する中心のまわりの角の半分です。したがって対角の和は360°の半分、すなわち180°です。中心を含む図形では大きい方の弧に対応する角も考える必要がありますが、2つの弧を合わせる考えは変わりません。

∠BAD + ∠BCD = 180°
∠ABC + ∠CDA = 180°

この関係は四角形が円に内接していることを使います。四角形という条件だけでは使えません。また、隣り合う内角の和が180°という意味でもありません。辺 AB を B の先の E まで延長すると、∠CBE は B の外角です。∠ABC と ∠CBE は一直線上に並ぶので和が180°です。

∠ABC + ∠CBE = 180°
∠ABC + ∠CDA = 180°
∠CBE = ∠CDA

外角と等しいのは、隣の内角ではなく内対角 ∠CDA です。辺 BC を B の先へ延長して作るもう一方の外角も、∠ABC の補角なので同じ大きさです。ただし、延長する辺が変わると角の記号も変わります。延長線のどちら側を指しているかを確認してください。

対角線を使う場合、同じ弦の同じ側にある円周角にも注目します。例えば ∠BAC と ∠BDC はいずれも弦 BC を見込み、A と D は直線 BC の同じ側にあるため等しくなります。角の大きさが等しくても、頂点や辺の対応を省くと後の足し算で別の角を混ぜやすくなります。

基本例題：外角から対角へ

円に内接する凸四角形 ABCD で、辺 AB を B の先へ延長した点を E とします。∠ABC = 112° のとき、∠CBE と ∠CDA をそれぞれ度数で求めてください。

図2のように A、B、E はこの順に一直線上にあります。まず B の内角と外角の和を使い、その後に円に内接する条件を使います。

図2では B の112°と外角が隣り合っています。一直線になるので、外角は次の通りです。

∠ABC + ∠CBE = 180°
112° + ∠CBE = 180°
∠CBE = 68°

また ABCD は円に内接するので、B と D の内角は対角です。

∠ABC + ∠CDA = 180°
112° + ∠CDA = 180°
∠CDA = 68°

答えは ∠CBE = 68°、∠CDA = 68° です。元に戻すと 112° + 68° = 180° なので、直線上の角と対角の和の両方に合います。外角と内対角が等しいという結果を直接使ってもよいですが、初めはそれぞれが112°の補角であることを書くと、等しい理由を追えます。

標準例題：2つの角を文字で表す

円に内接する凸四角形 PQRS で、∠PQR = (3x + 14)°、∠PSR = (2x + 16)° です。x と両角の大きさを度数で求めてください。

P、Q、R、S はこの順に円周上にあります。Q と S は対角の頂点ですから、2つの式の和を180°にします。

(3x + 14) + (2x + 16) = 180
5x + 30 = 180
5x = 150
x = 30

それぞれの角に戻して計算します。

∠PQR = (3・30 + 14)° = 104°
∠PSR = (2・30 + 16)° = 76°

答えは x = 30、∠PQR = 104°、∠PSR = 76° です。104° + 76° = 180° で、どちらも0°より大きく180°より小さいため、内角の条件にも合います。式を作る前に対角を確認せず、隣り合う角について和を180°と置くと、同じ計算手順でも別の結果になってしまいます。

なお、文字を使う問題では方程式の解が出た時点で終わらず、求めるものが x なのか角度なのかを読み直します。代入後に負の角や180°以上の内角が現れた場合は、その値を凸四角形の答えとして採用できません。条件自体が両立するか、角の対応を誤っていないかを確認します。

発展例題：対角線で分けた角をつなぐ

円に内接する凸四角形 ABCD に対角線 AC、BD を引きます。∠BAC = 28°、∠CAD = 37°、∠ABD = 41° のとき、∠BDC、∠BCD、∠CBD をそれぞれ度数で求めてください。

まず弦 BC に対する円周角を見ます。A と D は直線 BC の同じ側にあるため、∠BAC と ∠BDC は等しくなります。

∠BDC = ∠BAC = 28°

次に対角線 AC は A の内角を2つに分けています。したがって A の角全体を出し、対角 C に移します。

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
∠BAD = 28° + 37°
∠BAD = 65°
∠BCD = 180° - 65°
∠BCD = 115°

最後に三角形 BCD の内角の和を使います。対角線 BD は B の内角を分けますが、ここで求める ∠CBD は三角形 BCD の B の角です。

∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°
∠CBD + 115° + 28° = 180°
∠CBD = 37°

答えは順に 28°、115°、37° です。∠CBD と ∠CAD がともに弦 CD を見込むことからも、最後の37°を確かめられます。さらに ∠ABD = 41° は弦 AD に対する円周角なので ∠ACD = 41° です。∠BCD は ∠BCA と ∠ACD に分かれ、∠BCA = 115° − 41° = 74° です。三角形 ABC の残りの角は 180° − 28° − 74° = 78° で、B の分割 41° + 37° と一致します。与えられた角を元の図に戻しても矛盾しません。

この問題では、対角の和だけでは分割された小さい角が直接出ません。同じ弦を見る角、内角全体とその部分、三角形の内角の和を順番に結びます。弦 CD に対する角のように別経路から同じ答えに到達できれば、対応を取り違えていないか点検できます。

条件が変わるときの分かれ目

円に内接することが与えられている場合は、対角の和や外角と内対角の等しさを使えます。円が描かれているだけで4頂点が円周上にあると明記されない場合は、見た目から決められません。逆に、角の条件から内接を示す問題では、結論を先に根拠として使わない注意が必要です。

また円周角を比べるときは、両角の両辺が通る円周上の2点を確かめます。同じ2点を見込んでいても、頂点がその弦の反対側にあるとき、一般には等しい角ではなく和が180°の角です。図の線を延長してできた角を円周角として扱う場合も、どの半直線を角の辺に選んだかを確かめます。

外角の定理は、隣の内角が一直線の補角であることと、内対角がその内角の補角であることをつないだものです。四角形の外側に見える角であっても、辺の延長と隣の辺で作られていない角には、このまま適用できません。図の外にあるという見た目ではなく、角の辺をたどって判定します。

誤答を直す：隣と向かいを入れ替えない

図3のように、円に内接する凸四角形 ABCD の辺 AB を B の先の E まで延長し、∠ABC = 128° とします。誤って「外角 ∠CBE は隣の ∠ABC と等しいので128°」とすると、一直線上の角の和が256°になってしまいます。

図3の誤りの原因は、外角と等しい内角の位置を確認せずに「隣」と覚えたことです。B の隣の2つの角は直線上に並び、互いに補角です。まず 180° − 128° = 52° と直し、次に対角の関係から ∠CDA = 52° とします。128° + 52° = 180° を両方の関係に戻して確認できます。

別の誤りとして、∠CDA を 128° とする場合もあります。対角は等しいのではなく和が180°です。図に B と D を結ぶ目印をつけ、「この2つを足す」と言葉にしてから引き算すると、等しいという別の関係との混同を防げます。内角が90°の場合に限って隣の外角も90°になるので、その特殊な図だけでは一般の関係を判断できません。

練習問題

いずれも円周上の点は、四角形の名前に書いた順に並ぶものとします。答えの角は度数で表してください。

1. 円に内接する凸四角形 ABCD で ∠A = 73° です。∠C を求めてください。
2. 円に内接する凸四角形 EFGH の辺 EF を F の先の点 J まで延長します。∠GFJ = 121° のとき、∠EFG と ∠EHG を求めてください。
3. 円に内接する凸四角形 KLMN で、∠KLM = (4x + 8)°、∠KNM = (2x + 22)° です。x と2つの角を求めてください。
4. 円に内接する凸四角形 ABCD で対角線 AC と BD を引きます。∠BAC = 31°、∠CAD = 24° のとき、∠BDC、∠BCD、∠CBD を求めてください。
5. 円に内接する凸四角形 PQRS の辺 PQ を Q の先の T まで延長します。∠RQT = (2y + 9)°、∠PSR = (3y − 18)° です。y と ∠PQR を求めてください。

練習問題の答えと考え方

1. A と C は対角です。∠C = 180° − 73° = 107° です。73° + 107° = 180° となり、元の対角の条件に戻ります。

2. F の内角と外角は一直線上にあります。

∠EFG = 180° - 121° = 59°
∠EHG = 180° - 59° = 121°

答えは順に59°、121°です。59° + 121° = 180° は直線上の角と対角の両方に合い、外角が内対角に等しいことも確かめられます。

3. L と N の角が対角なので、その和を180°と置きます。

(4x + 8) + (2x + 22) = 180
6x + 30 = 180
6x = 150
x = 25
∠KLM = (4・25 + 8)° = 108°
∠KNM = (2・25 + 22)° = 72°

108° + 72° = 180° で、両角は凸四角形の内角として適切です。求めた x を各条件式に代入した値も一致します。

4. ∠BAC と ∠BDC は同じ弦 BC に対する円周角です。また ∠CAD と ∠CBD は同じ弦 CD に対する円周角です。

∠BDC = 31°
∠BAD = 31° + 24° = 55°
∠BCD = 180° - 55° = 125°
∠CBD = 24°

順に31°、125°、24°です。三角形 BCD で 31° + 125° + 24° = 180° となり、A の角も 31° + 24° = 55° に戻ります。小さい角の等しさと対角の和を別々に確認しています。

5. Q の外角と S の内角は等しいので、次の方程式を立てます。

2y + 9 = 3y - 18
y = 27
∠RQT = (2・27 + 9)° = 63°
∠PSR = (3・27 - 18)° = 63°
∠PQR = 180° - 63° = 117°

答えは y = 27、∠PQR = 117° です。外角と隣の内角の和は 63° + 117° = 180°、対角の和も 117° + 63° = 180° です。2つの条件式に y を戻した角も一致します。

覚えておくこと

円に内接する凸四角形の対角の和は180°です。
辺を延長した外角は、隣の内角の補角であり、内対角に等しくなります。
対角線で分けた角は、同じ弦と頂点の位置を確かめてつなぎます。

答えが合わないときの点検

対角を指せない場合は、四角形の頂点を順に読み、辺を共有しない頂点を結んでみます。外角で迷う場合は、延長した直線を指でたどり、隣の内角との和を声に出して確かめます。計算は合っていても図の角の読み違いが残ることがあるため、求めた角を元の図に書き戻します。

個別指導で確かめるなら、まず本人に外角の2辺と内対角の位置を示してもらい、なぜ等しいのかを2つの補角から説明してもらいます。次に対角線を加え、同じ弦を見る角がどれかを頂点の位置とともに尋ねます。角の名前と根拠を結べると、線が増えた図でも順に追えます。