高校数学A 四角形が円に内接する条件—補助線で角をそろえて逆の証明を組む｜武蔵野個別指導塾

垂線の足や外角から4点の位置をたどり、循環論法を避ける根拠は円内接判定です。

よくあるのは、高1が4点が同じ円にあることを証明したいのに、途中で「同じ円の円周角だから」と書いてしまう場面です。図を見て円が描けそうでも、その円の存在はまだ結論です。まず仮定から直角や外角の関係を取り出し、内接を判定する条件へつなげます。その後なら円周角を使って、新しい角の等しさを導けます。

どの角から円を見つけるか

問題の出方は大きく3つあります。1つ目は、垂線の足が2つあり、それぞれに直角ができる形です。2つの直角が四角形の対角になっていれば、和は180°です。直角を見つける前に、四角形の頂点を辺に沿って順に並べます。

2つ目は、辺を延長した外角と、離れた頂点の内角が等しい形です。外角の隣の内角と外角の和が180°であることを使えば、対角の和へ言い換えられます。延長の向きが変わると見ている角も変わるので、半直線を問題文の順に追います。

3つ目は、内接を示した後でさらに角を求めたり別の4点を調べたりする形です。先に1つ目の円を確定し、その円で成り立つ角の関係を次の手がかりにします。円を補う目的は図を複雑にすることではなく、離れた角を共通の弦で結び付けることです。

対角の和から円を補う

凸四角形ABCDについて、A、B、C、Dがこの順に1つの円周上にあるとき、四角形ABCDは円に内接するといいます。対角は向かい合う角の組で、∠ABCと∠ADC、または∠BADと∠BCDです。凸四角形では4つの頂点は異なり、隣り合う3点は一直線上にありません。

図1のように、∠ABCと∠ADCは共通の弦ACを見ます。BとDは直線ACの反対側にあり、対応する弧を合わせると円周全体になります。円周角の定理から、この対角の和は180°です。同じ理由で残る対角の和も180°です。

図1ではBとDが弦ACの反対側にあることが重要です。共通の弦が見えても、2つの頂点が同じ側にあれば円周角は等しくなります。円がまだ確定していない段階で、図に円を描いたという理由からこれらを使うことはできません。

逆に、凸四角形ABCDで∠ABC + ∠ADC = 180°なら、4点は同じ円周上にあります。これを、すでに認めた円周角の定理を使って確かめましょう。A、B、Cは一直線上にないので、この3点を通る円が1つ定まります。凸四角形の対角線BDは線分ACの内部で交わります。円の弦ACの内部は円の内部にあるため、半直線BDは円の内部を通り、B以外の交点D′を持ちます。DとD′はいずれも直線ACについてBと反対側にあります。

A、B、C、D′は同じ円周上にあるので、円周角の定理から次が成り立ちます。

∠ABC + ∠AD′C = 180°
∠ABC + ∠ADC = 180°
∠AD′C = ∠ADC

DとD′が異なると仮定し、BDとACの交点をOとします。O、D、D′の順なら、三角形ADD′とCDD′の外角から、∠ADB > ∠AD′B、∠BDC > ∠BD′Cです。半直線DBは∠ADCの内部、半直線D′Bは∠AD′Cの内部にあるので、2つの不等式を足すと∠ADC > ∠AD′Cとなります。O、D′、Dの順なら同じ考えで逆の不等式になります。どちらも上の等式に反します。したがってD = D′であり、4点は同じ円周上にあります。

ここで使った円は仮定から定まるA、B、Cの円です。Dがその円にあるかは最後まで未確定として扱いました。逆の判定を使うときも、凸四角形であることと対角の組を確かめてから、和が180°だと示します。4点が一直線に並ぶ場合や頂点が重なる場合を、このまま四角形の判定に入れることはできません。

外角の形も同じ判定に戻せます。辺BCをCの先へ延長して点Eをとると、∠BCDと∠DCEは一直線上の隣り合う角です。よって∠DCE = ∠DABなら、∠BCD + ∠DAB = 180°となり、ABCDは内接します。外角と等しいのは隣の∠BCDではなく、向かいの∠DABです。

基本例題：2つの垂線の足を結ぶ

鋭角三角形ABCで、Bから辺ACに下ろした垂線の足をD、Cから辺ABに下ろした垂線の足をEとします。四角形BEDCが円に内接することを証明してください。その後、∠ADE = ∠ABCであることも証明してください。

図2のように鋭角三角形ではD、Eはそれぞれ辺の内部にあります。B、E、D、Cはこの順に凸四角形を作り、DとEは直線BCの同じ側にあります。図から円を想像する前に、まず垂線の条件だけを使います。

BDはACに垂直で、D、CはAC上にあるため、∠BDC = 90°です。同様にCEはABに垂直で、B、EはAB上にあるため、∠BEC = 90°です。四角形BEDCの対角の和は次のようになります。

∠BEC + ∠BDC = 90° + 90°
                   = 180°

よって対角の和による判定から、B、E、D、Cは同じ円周上にあります。4点がすべて直径BCの円にあると言ってもよいですが、その場合もEとDの直角を先に確かめます。直径と直角を見比べる別の筋道です。

次に、内接が確定した四角形BEDCで対角の和を使います。A、D、Cはこの順に一直線上にあるので、∠ADEと∠EDCも和が180°です。

∠EBC + ∠EDC = 180°
∠ADE + ∠EDC = 180°
∠ADE = ∠EBC
       = ∠ABC

最後の等号は、Eが辺BA上にあるため、半直線BEとBAが同じ向きであることによります。結論の角は内接の判定に使っていません。内接を証明した後で初めて取り出した関係です。

元の条件へ戻すと、BDとAC、CEとABはそれぞれ垂直なので、2つの90°が確かに生じます。またD、Eが辺の内部にあるので、AからDを通る向きとDからCを通る向きは反対です。この位置が違えば、最後の補角の式をそのまま書けません。

標準例題：外角を内接の入口にする

凸四角形PQRSで、辺QRをRの先へ延長した半直線上にTをとります。∠SRT = 73°、∠SPQ = 73°とします。四角形PQRSが円に内接することを証明し、∠QRSを度数で求めてください。

Q、R、Tはこの順に一直線上にあるので、∠QRSと∠SRTの和は180°です。まず未知の内角を求めます。

∠QRS + ∠SRT = 180°
∠QRS + 73° = 180°
∠QRS = 107°

PとRは四角形PQRSの対頂点です。したがって、問題の条件と今得た角を合わせると次のようになります。

∠SPQ + ∠QRS = 73° + 107°
                       = 180°

凸四角形の対角の和が180°なので、P、Q、R、Sは同じ円周上にあります。答えの∠QRSは107°です。73°の角が等しいことを、内接した円から出発して説明すると循環するため、一直線の角から先に進みます。

逆に結果を元に戻すと、107°と外角73°の和は180°で、Pの角73°とも対角の和が180°です。TをQ側にとった場合、∠SRTはここで使った外角と異なります。点の順序Q、R、Tが条件に含まれる理由はこの違いにあります。

発展例題：2つの円の役割を分ける

鋭角三角形ABCの辺AC、ABへの垂線の足をそれぞれD、Eとし、直線BDとCEの交点をHとします。Hは三角形ABCの内部にあるものとします。四角形ADHEと四角形BEDCがそれぞれ円に内接することを示し、∠DHEを∠BACを用いて表してください。

DはAC上、EはAB上にあります。HはBDとCE上にあり、垂直の条件から∠ADHと∠AEHはいずれも90°です。A、D、H、Eはこの順に凸四角形を作るので、対角の和を調べます。

∠ADH + ∠AEH = 90° + 90°
                   = 180°

よってADHEは円に内接します。この円で向かい合う∠DAEと∠DHEの和も180°です。Dは半直線AC上、Eは半直線AB上にあるので、∠DAE = ∠BACです。したがって求める角は次の通りです。

∠DAE + ∠DHE = 180°
∠BAC + ∠DHE = 180°
∠DHE = 180° - ∠BAC

次に別の四角形を見ます。BDはDCに垂直、CEはEBに垂直なので、∠BDC = ∠BEC = 90°です。B、E、D、Cはこの順に凸四角形であり、対角の和は180°です。したがってBEDCも円に内接します。最初の円は直径AH、次の円は直径BCを持ちます。DとEは共有しますが、同じ円だとは限りません。

たとえば∠BAC = 56°なら、式から∠DHE = 124°です。ADHEの対角に戻すと56° + 124° = 180°です。一方、BEDCではBとCではなくEとDの直角を判定に使いました。どの円について、どの4点のどの角を見ているかを分けると、異なる円の弦を混同せずに済みます。

HがDやEと重なる配置では四角形ADHEは退化し、この証明は使えません。またHが内部にあるという条件を外すと、半直線の向きや角の取り方が変わる場合があります。式を再利用する前に図の点の順序から確認します。

結論を先に使う誤答を直す

図3は、凸四角形ABCDの辺BCをCの先へ延ばした図です。外角∠DCEと向かいの内角∠DABが等しいとわかっているとします。図3のように、まず直線上の角に注目すれば、円が描けるかどうかはまだ仮定しなくて済みます。

誤った答案は「ABCDは円に内接するので∠DAB = ∠DCE。よってABCDは円に内接する」です。結論を前提にしたため、元の仮定だけで円が存在することを示せていません。たまたま図が円に内接するように見えても、論理の不足は埋まりません。

修正は、仮定と一直線の角から出発します。B、C、Eがこの順に並ぶので、∠BCD + ∠DCE = 180°です。仮定の∠DCE = ∠DABを代入すれば、∠BCD + ∠DAB = 180°です。ここで初めて対角の和による判定を使い、ABCDの内接を結論します。

別の誤りは、外角∠DCEと隣の内角∠BCDが等しいとしてしまうことです。一般には和が180°であり、等しくなるのは双方が90°の場合です。図3の外角と内角は大きさが異なるので、辺を延長した向きと、どちらの半直線が共有されているかを書き込んで直します。

内接を示した後なら、同じ円の円周角や対角の和を根拠として使えます。答案に矢印を付けるなら、仮定から垂直や補角へ進み、内接を確定し、その先に円周角を置きます。内接の前に円周角が現れたら、別に確定済みの円があるかを調べます。

練習：条件を言葉と式でつなぐ

次の5問は、指定された形で証明または答えを示してください。どの四角形も凸とし、点はすべて異なるものとします。

1. 四角形JKLMで∠JKL = 68°、∠JML = 112°です。JKLMが円に内接することを証明してください。
2. 四角形PQRSで、辺QRをRの先へ延ばした点をTとします。∠SRT = ∠SPQです。PQRSが円に内接することを証明してください。
3. 鋭角三角形XYZで、YからXZに下ろした垂線の足をU、ZからXYに下ろした垂線の足をVとします。四角形YVUZが円に内接することを証明してください。
4. 四角形ABCDで∠ABC = 82°、∠ADC = 88°です。この2つの角の条件を満たす4点が同じ円周上にあるかどうか、理由とともに答えてください。
5. 四角形EFGHで∠EFG = (2x + 10)°、∠EHG = (x + 20)°です。この四角形が円に内接するためのxを整数で求め、元の角に戻して確かめてください。

練習の答えと道筋

1. KとMは四角形JKLMの対頂点です。与えられた2つの角を足します。

∠JKL + ∠JML = 68° + 112°
                   = 180°

対角の和が180°なのでJKLMは円に内接します。元の角を見直すと、どちらも0°より大きく180°より小さく、凸四角形の内角として矛盾しません。

2. Q、R、Tがこの順に一直線上にあるので、∠QRS + ∠SRT = 180°です。仮定を代入します。

∠QRS + ∠SPQ = 180°

PとRは対頂点なので、対角の和による判定からPQRSは円に内接します。Rの外角を使っていることを、半直線RQとRTが反対向きである点に戻って確認します。

3. YUはXZに垂直なので∠YUZ = 90°です。ZVはXYに垂直なので∠YVZ = 90°です。鋭角三角形のためUとVはそれぞれ辺の内部にあり、Y、V、U、Zはこの順に凸四角形を作ります。

∠YUZ + ∠YVZ = 90° + 90°
                   = 180°

対角の和によってYVUZは円に内接します。直角の頂点UとVから見た共通の線分はYZであり、2つの垂直条件に戻して確認できます。

4. BとDは対頂点です。もし4点が同じ円周上にあれば、対角の和は180°になるはずです。しかし与えられた和は次の通りです。

∠ABC + ∠ADC = 82° + 88°
                   = 170°

180°ではないので内接しません。これは対角の和が180°という必要な条件を満たさない場合です。各角が90°に近いことや図が円らしく見えることは根拠になりません。

5. 内接するためにはFとHの角の和が180°です。逆に、凸四角形でその和が180°なら内接するので、この式は必要十分です。

(2x + 10) + (x + 20) = 180
3x + 30 = 180
3x = 150
x = 50

x = 50を元の角に戻すと、∠EFG = 110°、∠EHG = 70°です。どちらも凸四角形の内角として許され、和は180°です。逆の判定によってこの値で確かに内接します。式の解が1つなので、条件を満たす整数も50です。

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対角の和が180°の凸四角形は円に内接します。
外角と向かいの内角が等しければ、一直線の角から判定できます。
直角が2つあれば、共通の直径となる線分と頂点の順序を探します。
円周角を根拠にするのは、その円への内接を確定した後です。

証明が止まったときは、示したい4点を順に読み、対角の頂点を指で確かめてみてください。直角を書けても和を作れないなら、同じ線分を両端に持つ角を探します。個別指導で答案を見直すときは、どの文が仮定から出て、どの文から円が確定したかを本人に説明してもらうと、循環している箇所を特定できます。円を描く前の根拠を言葉にすることが、内接の証明を前へ進めます。