高校数学A 円の接線と接線長—接点への半径から合同と長さの関係を示す｜武蔵野個別指導塾

接点に引く半径を使って二接線の長さが等しい理由を証明し、三角形の各辺を接線長の和で表す手順まで確かめます。

よくあるのは、円の外にある2つの頂点からそれぞれ接線を引き、4本の線分に同じ印を付けてしまう場面です。同じ円に接することは共通していますが、それだけで長さは決まりません。どの点から引いた2本なのかを指でたどると、等しい線分の組が見えてきます。接点と中心を結んで直角三角形を作り、その理由から長さの関係を考えましょう。

どんな形で問われるか

1つ目は、円の外の点から2本の接線を引き、片方の接点までの距離からもう一方を求める型です。接点そのものではなく、接線上の別の点までの長さが与えられることもあります。そのときは点の順序を確かめて、足すか引くかを決めます。

2つ目は、中心と外部の点の距離、半径を使う型です。接点への半径が接線に垂直なので、中心、接点、外部の点で直角三角形ができます。三平方の定理を使う前に、どの辺が斜辺かを特定します。

3つ目は、4辺が円に接する四角形の型です。頂点ごとに等しい接線長を置くと、向かい合う辺の和が等しくなります。これは接する四角形なら成り立つ必要条件であり、辺の和が等しいという情報だけを見て接する円があると即断しないことが大切です。

接点から中心へ線を引く

円と直線がただ1点 T で接するとき、直線を接線、T を接点といいます。中心を O とすると、半径 OT は接線に垂直です。逆に、円周上の T を通り OT に垂直な直線は、その円の接線です。逆を使う場合は T が円周上にあることも必要です。

垂直である理由を見てみます。もし中心から直線に下ろした垂線の足が T と異なる点 H なら、直角三角形 OHT で OH < OT です。H は円の内部にあるので、その直線は円と2点で交わります。これは接線の条件に反します。したがって H は T です。

図1のように、円の外の点 P から接点 T、U へ引いた接線を考えます。OT と OU は半径なので等しく、角 OTP と角 OUP は直角です。直角三角形 OTP と OUP は斜辺 OP が共通で、他の1辺 OT と OU が等しいため合同です。対応は O↔︎O、T↔︎U、P↔︎P です。よって PT = PU です。また角 OPT = 角 OPU なので、OP は2本の接線が作る角を二等分します。

図1の PT と PU の等しさは、共通の始点 P に注目して得ました。別の外部の点 Q から引いた接線長は、Q を始点とする2本の間では等しくても、PT と等しいとは限りません。円の内部の点から接線は引けず、円周上の点では接線はその点を通る1本です。外部の点という条件を落とさずに読みます。

接線が2本ある理由も、中心との距離から確かめられます。中心から外部の点までの距離を r より大きい d、半径を r とすると、接点でできる直角三角形の接線長 t は t² = d² − r² を満たします。d > r なので右辺は正です。d = r なら点は円周上にあり、接点はその点に重なります。d < r なら接点と外部の点を結ぶ直角三角形は作れません。これらを区別すれば、負の数の平方根を長さとして扱う失敗を避けられます。

長さの等式を使う際は、直線全体ではなく「外部の点から接点まで」という有限の線分を比べます。接線上の途中の点から接点までの距離や、接点を越えた部分は、そのまま同じ接線長とは呼べません。与えられた点が接点の手前か先かによって、全体と部分の関係を別に書きます。

基本例題：半径と中心までの距離

半径 5 cm の円の中心を O とします。円の外の点 P について OP = 13 cm です。P から円に引いた2本の接線の接点を T、U とします。PT と PU をそれぞれ整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように OT を引きます。T は接点なので OT と PT は垂直です。OP は直角の向かい側にあり、斜辺です。三平方の定理から、長さは正であることにも注意して計算します。

OP² = OT² + PT²
13² = 5² + PT²
169 = 25 + PT²
PT² = 144
PT = 12
PU = PT = 12

したがって PT = PU = 12 cm です。確かめると 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² です。接点で直角となり、中心からの距離も与えられた 13 cm に戻ります。もう一方も同じ半径と斜辺を持つ直角三角形なので、12 cm が対応します。

図2では 13 を接線長として代入しないことが要点です。13 cm は中心から P までの距離で、接点を通る線分ではありません。もし OP が半径以下なら、問題のような外部の点からの2本の接線という設定自体を見直します。

標準例題：接点の両側を分ける

円に外接する三角形 ABC の辺 AB、BC、CA の内部の接点をそれぞれ D、E、F とします。AB = 11 cm、BC = 13 cm、CA = 14 cm のとき、AD、BE、CF を整数で、単位を付けて求めてください。

各頂点からの接線長を AD = AF = x、BD = BE = y、CE = CF = z とします。接点は各辺の内部にあるため、辺の長さは対応する2つの部分の和です。3辺から次の式が得られます。

x + y = 11
y + z = 13
z + x = 14
2x + 2y + 2z = 38
x + y + z = 19
x = 19 - 13 = 6
y = 19 - 14 = 5
z = 19 - 11 = 8

答えは AD = 6 cm、BE = 5 cm、CF = 8 cm です。辺に戻すと AB = 6 + 5 = 11 cm、BC = 5 + 8 = 13 cm、CA = 8 + 6 = 14 cm です。3つの部分は正で、各接点が辺の内部にあるという条件にも合います。

たとえば D が AB の延長上にある場合には、AB を AD + DB とすることはできません。足し算の根拠は接線の定理ではなく、D が A と B の間にあるという順序です。図に点を並べ直してから式を作ります。

発展例題：四角形の対辺の和

凸四角形 ABCD の各辺 AB、BC、CD、DA の内部に、1つの円がそれぞれ接しています。AB = 9 cm、BC = 12 cm、CD = 14 cm です。DA の長さを整数で、単位を付けて求め、用いた関係を証明してください。

各頂点から隣り合う2辺の接点までの長さを順に a、b、c、d とします。すべて正で、各接点が辺の内部にあるので、辺を次のように分けられます。

AB = a + b
BC = b + c
CD = c + d
DA = d + a
AB + CD = a + b + c + d
BC + DA = b + c + d + a
AB + CD = BC + DA

この等式が必要条件です。これを与えられた長さに適用します。

9 + 14 = 12 + DA
23 = 12 + DA
DA = 11

答えは 11 cm です。元の条件に戻すと、向かい合う辺の和は 9 + 14 = 23 cm、12 + 11 = 23 cm で一致します。実際、接線長を a = 4、b = 5、c = 7、d = 7 と置くと4辺の長さも再現できます。ただし正の数で辺を分けられることや対辺の和が等しいことだけで、与えられた四角形に円が接することまで証明したわけではありません。この問題では円が接することを初めから仮定しています。

条件の見分け方は、結論から逆向きに読み直すと明確です。「円が4辺の内部に接する」から「対辺の和が等しい」へは上の分割で進めます。反対向きに進むには別の根拠が必要です。また接点が辺の延長にある配置では、同じ和の式をそのまま使えません。

誤答を直す：等号の起点を確認する

図3のように、同じ円の左側の外部の点 P からの接線長が 12 cm、右側の外部の点 Q からの接線長が 16 cm である場合を考えます。誤って「同じ円への接線だから 12 = 16」とすると、図の条件が矛盾しているように見えてしまいます。

図3では P から2つの接点までがそれぞれ 12 cm、Q から2つの接点までがそれぞれ 16 cm です。原因は、接点を結ぶ相手の端点を確認せず、接する円だけを見たことです。修正するときは P に集まる2本に同じ印、Q に集まる2本に別の印を付けます。P と Q を結ぶ線分が円を通るかどうかは、この2組の等しさの根拠ではありません。

さらに、半径と接線が垂直なのは接点です。接線上の別の点と中心を結んでも、そこに直角を置くことはできません。接点を先に丸で囲み、中心からそこへ半径を引けば、合同に使う2つの直角三角形が見つかります。

たとえば、四角形で隣り合う2辺が等しい場合でも、それらの長さを頂点からの接線長そのものと決めることはできません。各辺には両端から接点までの2つの部分が含まれます。先に頂点ごとの4組を作り、それから辺の全体を表すと、辺と部分の取り違えを防げます。

手を動かす5問

各問の長さは整数または既約分数で、単位を付けて答えてください。接点は指定された辺の内部にあります。

1. 半径 8 cm の円の中心 O と外部の点 P の距離は 17 cm です。P からの接点 T までの長さ PT を求めてください。
2. 円に外接する三角形 ABC の辺 AB、BC、CA の接点を D、E、F とします。AB = 15 cm、BC = 17 cm、CA = 20 cm のとき AD、BE、CF を求めてください。
3. 円に外接する凸四角形 ABCD で AB = 8 cm、BC = 10 cm、CD = 13 cm です。DA を求めてください。
4. 円の外部の点 P からの接点を T、U とします。線分 PT 上に P、S、T の順に点 S があり、PS = 3 cm、ST = 7 cm です。PU を求めてください。
5. 円に外接する三角形 XYZ の辺 XY、YZ、ZX の接点をそれぞれ L、M、N とします。XY = 8 cm、YZ = 9 cm、ZX = 10 cm のとき XL、YM、ZN を求めてください。

解答と確かめ

1. 接点で半径と接線は垂直なので、斜辺 OP の直角三角形に三平方の定理を使います。

17² = 8² + PT²
289 = 64 + PT²
PT² = 225
PT = 15

答えは 15 cm です。8² + 15² = 289 = 17² となり、中心までの距離に戻ります。

2. 同じ頂点からの接線長を AD = AF = x、BD = BE = y、CE = CF = z とします。辺の内部の接点で分けると x + y = 15、y + z = 17、z + x = 20 です。

2(x + y + z) = 15 + 17 + 20
2(x + y + z) = 52
x + y + z = 26
x = 26 - 17 = 9
y = 26 - 20 = 6
z = 26 - 15 = 11

答えは AD = 9 cm、BE = 6 cm、CF = 11 cm です。9 + 6 = 15、6 + 11 = 17、11 + 9 = 20 で元の3辺に戻り、各部分も正です。

3. 各頂点からの2本の接線長を使うと、対辺の和が等しくなります。

8 + 13 = 10 + DA
21 = 10 + DA
DA = 11

答えは 11 cm です。8 + 13 = 10 + 11 = 21 cm と、与えられた接する四角形の必要条件に戻ります。辺の和の一致を円の存在の根拠に使ってはいません。

4. S は P と T の間なので PT = PS + ST です。P を共通の始点とする接線長は等しいため、次のようになります。

PT = 3 + 7
PT = 10
PU = PT = 10

答えは 10 cm です。PT から PS を引くと 10 − 3 = 7 cm となり、指定された ST に戻ります。S が T の外側にある配置なら和と差の関係は変わります。

5. XL = XN = x、YL = YM = y、ZM = ZN = z とすると、x + y = 8、y + z = 9、z + x = 10 です。

2(x + y + z) = 8 + 9 + 10
2(x + y + z) = 27
x + y + z = 27/2
x = 27/2 - 9 = 9/2
y = 27/2 - 10 = 7/2
z = 27/2 - 8 = 11/2

答えは XL = 9/2 cm、YM = 7/2 cm、ZN = 11/2 cm です。辺に戻すと (9 + 7)/2 = 8、(7 + 11)/2 = 9、(11 + 9)/2 = 10 です。3つとも正なので、接点が各辺の内部にある条件と矛盾しません。

覚えておくこと

接点への半径は接線に垂直です。
同じ外部の点から引いた2本の接線長は等しくなります。
接点が辺の内部なら、辺は両端から接点までの長さの和です。
4辺の内部に円が接する四角形では対辺の和が等しくなります。

どこで考えが止まったか

等しい線分を選べないときは、接点ではない端点を声に出して追ってみてください。2本の端点が同じ外部の点に集まれば、合同を使う候補になります。計算で負の接線長が出たときは、移項だけでなく、接点の位置と辺の和の立て方に戻ります。

個別に確かめる場では、中心と接点を結び、直角の位置、合同な三角形の対応、辺を足せる点の順序を本人の言葉で説明してもらいます。答えが合っていても、異なる頂点の接線長に同じ文字を置いていれば、別の長さを持つ配置で確かめ直します。等号の両端がどの点から始まるかを押さえると、接線長の式に根拠が生まれます。