高校数学C 一直線と垂直の条件—商の実数条件と純虚数条件で位置を証明する｜武蔵野個別指導塾

商の分母と分子が表す線分をそろえ、点の重なりも調べながら位置関係を判定し、一直線と垂直を見極めます。

よくあるのは、理系の高3が商の実部を0にして垂直と結論した後、2点が重なる場合を見落とす場面です。式の値が0でも実部は0ですが、長さ0の線分には垂直を判定する向きがありません。まず線分の始点をそろえ、商が定義される条件と、向きが定まる条件を別々に書きましょう。

どの条件を式にするか

3点 A、B、C の位置を複素数 a、b、c で表します。直線 AB と AC の関係を調べるなら、共通の始点 A からの差 b − a と c − a を比べます。A と B が異なれば、商 (c − a)/(b − a) を作ることができます。

出方の1つは、与えられた3点が一直線上にあるか、あるいは AB と AC が垂直かを判定する問題です。商を計算し、その実部と虚部を見ます。もう1つは、動く点の位置や実数の値を求める問題です。商が実数または純虚数となる式を解いた後、分母が0でないか、垂直に使う2本の線分がともに長さ0でないかを確認します。

さらに、別々の2直線 AB と CD を比較する問題もあります。このときは (d − c)/(b − a) を使います。始点が異なっても、差がそれぞれの線分の向きと長さを表すためです。どの型でも、分母の差が指す線分と分子の差が指す線分を先に言葉で書くと、判定の対象を取り違えにくくなります。

実数倍と純虚数倍の意味

A と B が異なるとします。図1のように、C が直線 AB 上にあることと、ある実数 t を用いて c − a = t(b − a) と書けることは同値です。t が正なら A から B と同じ向き、負なら逆向きです。t = 0 では C は A に重なりますが、点 C 自体は直線 AB 上にあります。

図1の実数倍は直線の両側を含みます。一方、0でない実数 s を用いて c − a = si(b − a) と書ければ、掛け算の i は向きを反時計回りに直角だけ変え、s の符号はその向きまたは逆向きを選びます。したがって AB と AC は垂直です。逆に2本の線分がともに長さ0でなく垂直なら、その長さの比に符号を付けた実数 s が存在し、同じ式が成り立ちます。ここで s = 0 を認めると C = A になり、AC の向きが消えるので垂直とはいえません。

つまり A ≠ B のもとで、C が直線 AB 上にある条件は (c − a)/(b − a) が実数であることです。AB と AC が垂直である条件は、この商が非零の純虚数であることです。純虚数を実部0の数と呼ぶか0を除いて呼ぶかにかかわらず、ここでは非零と明記します。A、B、C が相異なるという仮定がある場合も、商の分母と分子のどちらに対応するかを確かめます。

計算では、分母の共役を掛けて実部と虚部を取り出せます。b − a = u + vi、c − a = p + qi とし、u、v、p、q は実数とします。A ≠ B により u² + v² > 0 です。

(c - a)/(b - a) = (p + qi)/(u + vi)
= (p + qi)(u - vi)/(u² + v²)
= (pu + qv)/(u² + v²) + (qu - pv)i/(u² + v²)

よって一直線の判定は qu − pv = 0、垂直の判定は pu + qv = 0 に加えて p と q が同時に0でないことです。両方の式が成り立つとき、u² + v² > 0 から p = q = 0 です。直線上と垂直の両方と判断するのでなく、C が A に重なったと読み取ります。

商の順番を逆にしてもよいかは、零の確認で決まります。C ≠ A なら、逆の商は元の商の逆数です。非零の実数の逆数は実数であり、非零の純虚数 si の逆数は -i/s なので、一直線または垂直という判定は変わりません。C = A では元の商は0ですが逆の商は定義されず、この言い換えは使えません。直線上の判定ではこの差が特に重要です。

同じ直線上にあることは、3点が互いに異なることを意味しません。A ≠ B を固定した上で C = B なら商は1、C = A なら商は0で、どちらも直線上です。問題が3点相異なると指定する場合は、これらの値を別途除きます。逆に垂直では、直線の向きを決める2本の差がともに非零でなければならず、商の実部だけを調べた結果では不足します。

基本例題：商を計算して線分を判定する

A、B、C はそれぞれ a = 1 + i、b = 3 + 2i、c = -1 + 5i を表す点です。AB と AC が垂直か判定し、商を実部と虚部で表してください。

図2のように A を始点として差を取り、分母を有理化します。A ≠ B かつ A ≠ C なので、2本の線分の向きはどちらも定まります。

b - a = (3 + 2i) - (1 + i)
= 2 + i
c - a = (-1 + 5i) - (1 + i)
= -2 + 4i
(c - a)/(b - a) = (-2 + 4i)/(2 + i)
= (-2 + 4i)(2 - i)/5
= (-4 + 2i + 8i - 4i²)/5
= 10i/5
= 2i

商は非零の純虚数ですから AB と AC は垂直です。逆に元の差へ戻すと 2i(2 + i) = -2 + 4i となり、確かに A から C への差を得ます。図2でも A から B の右へ2、上へ1に対し、A から C は左へ2、上へ4です。両方の長さが正であることまで確認して、垂直という結論が成立します。

商の虚部が0になる場合に一直線という結論を出すこともできます。ただし直線 AB が基準なので、まず A と B が異なることが必要です。分母を取り替えて逆数を調べる方法は、さらに C ≠ A のときに限って使えます。

標準例題：実数の値を求める

実数 t に対し a = -1 + 2i、b = 2 + 3i、c = t + 5i とします。A、B、C が一直線上にあるための t を求め、整数または分数で答えてください。A と B は異なり、C が A と重なる場合も直線上の点として認めます。

b - a = 3 + i
c - a = (t + 1) + 3i
(c - a)/(b - a) = ((t + 1) + 3i)/(3 + i)
= ((t + 1) + 3i)(3 - i)/10
= (3t + 6)/10 + (8 - t)i/10

商の虚部が0である条件を解きます。

8 - t = 0
t = 8

このとき c − a = 9 + 3i = 3(3 + i) です。商は実数3であり、C は A から B へ進む直線上にあります。元の条件に戻しても差が3倍ですから十分性も確かめられます。また、虚部が0なら必ず t = 8 なので他の値はありません。式を解いて得た値について、商が定義されるという条件も A ≠ B により保たれています。

この問題では差の実部と虚部を直接比べ、3(t + 1) + 3 を実部の判定に使うのは誤りです。それは垂直のための実部で、一直線を決めるのは虚部 8 − t です。必要な成分を選ぶ前に、求める位置関係を確認します。

発展例題：候補が重なる点になる場合

実数 k に対し a = 2 − i、b = 4 + 2i、c = 2 + ki とします。AB と AC が垂直となる k を整数または分数で求めてください。もし条件を満たす値がなければ、その理由も述べてください。

b - a = 2 + 3i
c - a = (k + 1)i
(c - a)/(b - a) = (k + 1)i/(2 + 3i)
= (k + 1)i(2 - 3i)/13
= 3(k + 1)/13 + 2(k + 1)i/13

実部を0とおくと 3(k + 1)/13 = 0、したがって k = -1 です。しかしこのとき c = 2 − i = a であり、AC の長さは0です。商も0であり、非零の純虚数ではありません。よって条件を満たす k はありません。

逆向きも押さえます。垂直であれば商の実部は0でなければならないので、候補は k = -1 に限られます。その候補が元の図形の条件を満たさない以上、別の候補は残りません。計算の途中で得た候補と、問題の答えとは区別します。たとえば C が A を通る縦の直線上を動く場合、AB が縦でも横でもないとき、垂直な方向との交点が A にしかないことが、この結果に対応します。

誤答を図で修正する

図3の A、B は異なり、C は A と重なっています。「(c − a)/(b − a) = 0 だから実部が0で、AB と AC は垂直」とする解答を考えます。商の計算と実部の判定までは正しいものの、最後の結論が誤りです。

図3のように AC は長さ0で、向きを持つ線分として扱えません。原因は、実部が0という必要条件を、分子非零の条件なしで使ったことです。修正するときは A ≠ B を確かめて商を作り、実部が0になった候補ごとに C ≠ A を確認します。C = A なら垂直の候補から除きます。

別の失敗は、A = B でも形式的に商を計算しようとすることです。この場合は分母が0なので、商そのものが定義されません。分子も0なら0/0という形になり、値を0と決めることもできません。基準となる直線 AB も定まらないため、点の条件に戻って結論を分けます。

また、AB と CD の垂直を調べるときに (d − a)/(b − a) を使うと、分子が表すのは AD です。差の引く順序を反対にすること自体は、商の符号が変わるだけなので実数か非零純虚数かの判定を変えません。しかし端点の組を変えることは別の線分を調べる操作です。式の横に分子は CD、分母は AB と書き、図の端点と対応させます。

練習：問題を先に解く

次の各点は名前と同じ小文字の複素数で表します。答えに数値が必要な場合は整数または分数で表してください。直線や垂直の判定では、必要な点の相違も述べてください。

1. a = -2 + i、b = 1 + 3i、c = 4 + 5i のとき、C は直線 AB 上にありますか。
2. a = 3 − 2i、b = 4 + 2i、c = -5 のとき、AB と AC は垂直ですか。
3. 実数 t に対し a = 1 − 3i、b = 3 − 2i、c = t + i とします。C が直線 AB 上にある t を求めてください。
4. 実数 s に対し a = -2 − i、b = 1 + i、c = 2 + si とします。AB と AC が垂直となる s を求めてください。
5. a = i、b = i、c = 2 + i とします。(c − a)/(b − a) を使って直線 AB と AC の垂直を判定できますか。理由を述べてください。

練習の答えと道筋

1. A ≠ B です。差を取って比較します。

b - a = 3 + 2i
c - a = 6 + 4i
(c - a)/(b - a) = 2

商は実数なので C は直線 AB 上です。逆に 2(b − a) = c − a が成り立ち、A からの差が同じ直線の方向になっています。

2. A ≠ B、A ≠ C です。分母の共役を掛けます。

b - a = 1 + 4i
c - a = -8 + 2i
(c - a)/(b - a) = (-8 + 2i)(1 - 4i)/17
= (-8 + 32i + 2i - 8i²)/17
= 2i

商は非零の純虚数で、AB と AC は垂直です。元の差にも 2i(1 + 4i) = -8 + 2i と戻ります。

3. A ≠ B なので商は定義されます。分母を有理化して虚部を調べます。

b - a = 2 + i
c - a = (t - 1) + 4i
(c - a)/(b - a) = ((t - 1) + 4i)(2 - i)/5
= (2t + 2)/5 + (9 - t)i/5
9 - t = 0
t = 9

t = 9 では c − a = 8 + 4i = 4(b − a) です。実際に C は直線 AB 上にあり、虚部の条件から他の t はありません。

4. A ≠ B です。垂直なら商の実部が0であり、さらに C ≠ A が必要です。

b - a = 3 + 2i
c - a = 4 + (s + 1)i
(c - a)/(b - a) = (4 + (s + 1)i)(3 - 2i)/13
= (2s + 14)/13 + (3s - 5)i/13
2s + 14 = 0
s = -7

s = -7 のとき c − a = 4 − 6i = -2i(3 + 2i) です。商は -2i で非零ですから、指定された2本は確かに垂直です。この値以外では商の実部が0でないため、条件を満たしません。

5. 判定できません。b − a = 0 なので商が定義されず、A と B が重なるため直線 AB も定まりません。c − a = 2 は非零ですが、片方の差だけが非零であっても垂直を結論できません。

覚えておくこと

A ≠ B なら、C が直線 AB 上にある条件は (c − a)/(b − a) が実数であることです。
AB と AC が垂直なら、さらに C ≠ A で、商は非零の純虚数です。
候補を求めたら元の点の位置へ戻し、分母と分子の零を確認します。

つまずきを見分ける

実部と虚部のどちらを0にするか迷うときは、商が2や2iになる短い例を図に戻してみます。実数倍は同じ直線上、非零純虚数倍は直角方向という対応を説明できれば、公式を暗記する前に判定の意味を確認できます。個別指導では、書いた商の分子と分母がどの2本の線分を表すかを尋ね、点が重なる候補についても結論を言葉で確かめます。条件を満たさない候補を除く理由まで述べれば、式と図形の対応が明確になります。