高校数学C 商の偏角となす角—二本の線分の向きを商で比べて角を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

三点の差で作る商から向き付き角を求め、負の代表値と正の内角を区別する手順を押さえます。

よくあるのは、理系の高3が三角形の頂点で2本の線分を比べ、商の偏角が負になったところで、その負の値を内角として書いてしまう場面です。計算が正しくても、時計回りの向きを表す角と、三角形の内側の角は同じ種類の答えではありません。どちらの線分からどちらへ回すのかを決め、最後に求められた角の範囲へ戻すと、符号の意味が見えてきます。

どんな角を求めるのか

この題材では、まず問題文の角が何を区別しているかを見ます。向き付き角を求めるなら、出発する半直線と到着する半直線の順番が必要です。反時計回りを正、時計回りを負として、指定された区間に入る代表値を答えます。順番を入れ替えると、一般には符号が反対になります。

三角形の内角を求める型では、時計回りか反時計回りかは内角の符号に持ち込みません。2本の半直線の間の小さい方の角を0からπの範囲で選びます。点が一直線上に並ぶ場合には、角を0またはπと読めても、面積が正の三角形の内角とは言えない点に注意します。

もう1つの型は、求める点の位置に文字を含み、指定された向き付き角からその文字を決めるものです。角の正接だけを等式にすると、πだけ異なる向きも同じ値になります。商の実部と虚部の符号を見て、指定された象限まで満たすか調べます。

頂点をそろえて商を作る

相異なる点 A、B、C の表す複素数をそれぞれ a、b、c とします。A を始点とする半直線 AB の方向は b − a、半直線 AC の方向は c − a で表せます。どちらも0でないと方向が定まりません。したがって、b ≠ a と c ≠ a を確認してから、次の商を考えます。

q = (c - a)/(b - a)

図1のように、分母が出発側 AB、分子が到着側 AC です。q の偏角は、AB から AC へ反時計回りを正として測った向き付き角を表します。2つの偏角の差を取るときには、2kπ の違いを同じ向きとして扱います。ここで k は整数です。分母と分子の順を逆にすると、同じ角を逆向きに測ることになります。

図1では、AB を右向きに置き、AC を右上に置きました。AB から AC への反時計回りが正の角です。線分の長さが異なっても、商の絶対値は長さの比、偏角は向きの差を表します。商の偏角が使える理由は、非零の複素数の商では、分子の偏角から分母の偏角を引けるためです。

向き付き角の代表値を -π < θ ≤ π とします。このとき、2本の半直線の間の角を α とすれば α = |θ| で、0 ≤ α ≤ π です。θ = π は反対向きを表し、同じ向きの代表値は0です。A、B、C が一直線上にない三角形なら 0 < α < π です。たとえば θ が負なら、時計回りに |θ| だけ回ったことを意味し、内角は正の |θ| になります。

0の偏角は定義されません。c = a なら商は0となり、偏角を使えません。b = a なら商そのものが定義できません。点の名前が3つあっても座標が重なる可能性はあるので、式を作る前に差が非零か確かめます。

基本例題：時計回りから内角へ

点 A、B、C の表す複素数を a = 1 + i、b = 4 + i、c = 4 − 2i とします。AB から AC への向き付き角の代表値を -π < θ ≤ π で求め、三角形 ABC の A の内角も求めてください。角はπを用いて正確に表します。

図2のように、A から B への差は右へ3、A から C への差は右へ3、下へ3です。A は B、C のどちらとも異なるので、2本の方向と商が定まります。まず始点を A にそろえます。

b - a = (4 + i) - (1 + i)
      = 3
c - a = (4 - 2i) - (1 + i)
      = 3 - 3i
(c - a)/(b - a) = (3 - 3i)/3
                  = 1 - i

1 − i は実部が正、虚部が負で、第4象限にあります。実部と虚部の絶対値が等しいので、正の実軸から時計回りに π/4 の向きです。したがって θ = -π/4 です。図2でも、AB から AC へは時計回りに回るので符号が一致します。

求める内角は負ではなく、α = |θ| = π/4 です。逆に、AB から時計回りに π/4 回した方向が AC と一致するかを点の差で確かめると、3 に 1 − i を掛けた結果は 3 − 3i です。元の AC の差に戻ります。三点は一直線上にないので、この角は三角形の内角として条件を満たします。

標準例題：実軸と平行でない出発線

点 A、B、C の表す複素数を a = -1 + 2i、b = 1 + 4i、c = -3 + 4i とします。AB から AC への向き付き角の代表値を -π < θ ≤ π で求め、A の内角をπで表してください。

今回は出発線 AB も傾いているため、c − a の偏角をそのまま答えにはできません。A からの差はそれぞれ 2 + 2i、-2 + 2i で、どちらも非零です。分母の共役を掛けて商を計算します。

b - a = (1 + 4i) - (-1 + 2i)
      = 2 + 2i
c - a = (-3 + 4i) - (-1 + 2i)
      = -2 + 2i
(c - a)/(b - a) = (-2 + 2i)/(2 + 2i)
                  = ((-2 + 2i)(2 - 2i))/((2 + 2i)(2 - 2i))
                  = 8i/8
                  = i

i の偏角の指定区間内の代表値は π/2 です。したがって θ = π/2、内角も π/2 です。実際に (2 + 2i)i = -2 + 2i となり、AB の差を反時計回りに π/2 回すと AC の差になります。2本の長さもともに √8 で、商の絶対値1と合っています。

別の見方では、AB の方向角は π/4、AC の方向角は 3π/4 です。その差は 3π/4 − π/4 = π/2 となります。方向角を個別に求める方法は、両方の象限を正しく選べるときに便利です。商を先に計算すれば、出発線が傾いていても、相対的な回転に直接注目できます。

発展例題：角の条件から点の位置を決める

点 A、B、C の複素数を a = 2 − i、b = 5 − i、c = -1 + ti とします。t は実数です。AB から AC への向き付き角の代表値が 2π/3 であるとき、t を根号を使って正確に求めてください。

b − a = 3 です。また c − a は実部が -3 なので、t の値にかかわらず0ではありません。商が非零であることを先に押さえ、条件の角が第2象限にあることを使います。

c - a = (-1 + ti) - (2 - i)
      = -3 + (t + 1)i
(c - a)/(b - a) = (-3 + (t + 1)i)/3
                  = -1 + ((t + 1)/3)i

偏角が 2π/3 の非零複素数は、ある正の実数 r を用いて r(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) と書けます。実部が -1 であることと虚部を比べると、次のようになります。

-r/2 = -1
r = 2
(t + 1)/3 = r√3/2
(t + 1)/3 = √3
t + 1 = 3√3
t = 3√3 - 1

求めた値を戻すと c − a = -3 + 3√3 i、商は -1 + √3 i です。絶対値は2で、実部と虚部を2で割ると cos(2π/3) = -1/2、sin(2π/3) = √3/2 に一致します。AB は右向きなので、A から見た C が左上にあるという場面にも合います。正の r を使ったため、反対向きの角を誤って拾っていません。

正接を利用する別解なら、実部が -1 なので虚部を掛け合わせて同じ結果を得られます。ただし正接の値が同じ角には π の差があるため、それだけでは第2象限と第4象限を区別できません。求めた商の実部が負、虚部が正であることまで戻して確認してください。

逆順と負の符号を直す

図3は、A から B が右、A から C が右下という配置です。AB から AC への向き付き角は -π/4 ですが、三角形の内角は π/4 です。向きと大きさを同じ欄に書かず、2つの答えを別々に置くと混同しにくくなります。

誤答の例は「商が 1 − i だから、A の内角は -π/4」です。原因は、偏角の符号が回転方向を表していることを、内角の大きさに持ち込んだ点です。修正するときは代表値を -π < θ ≤ π にそろえ、内角には |θ| を使います。角が負になった段階で計算を捨てる必要はありません。

もう1つの誤答は「AB から AC へ測るのに、(b − a)/(c − a) を使う」です。こちらの商が表すのは AC から AB への向きです。実際に図3の配置で逆の商を取ると (1 + i)/2 で、その偏角は π/4 になります。分子が到着側、分母が出発側と指で追ってから代入すると、符号を図で点検できます。

さらに、A と C が重なったときに角を0と決める誤りもあります。差 c − a が0なら AC の方向がないため、商の偏角自体が未定義です。線が同じ向きである場合の角0と、線の方向が存在しない場合を区別します。B が A と重なる場合は分母が0で、商を作るところから進めません。

練習：5つの配置を読み取る

各問で、AB から AC への向き付き角の代表値は -π < θ ≤ π とします。三角形の内角を問うときは、三角形が成立することも確かめてください。角はπ、必要な値は根号で正確に表します。

1. a = 2 − i、b = 4 − i、c = 4 + i のとき、θ と A の内角を求めてください。
2. a = -2 + i、b = -2 + 4i、c = 1 + i のとき、θ と A の内角を求めてください。
3. a = 1 + 2i、b = 4 + 2i、c = -2 + 2i のとき、θ と2本の半直線の間の角を求め、三角形の成立も判定してください。
4. a = -1 − i、b = 1 − i、c = -3 − 3i のとき、θ と A の内角を求めてください。
5. a = 3 + 2i、b = 5 + 2i、c = 1 + ti とします。t は実数で、θ = -2π/3 となる t を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 右上への回転

差と商を順に求めます。b − a = 2、c − a = 2 + 2i はともに非零です。

(c - a)/(b - a) = (2 + 2i)/2
                  = 1 + i

実部と虚部は正で等しいので、θ = π/4 です。一直線上にないため、内角は π/4 です。2(1 + i) = 2 + 2i と戻すと、出発側の差を指定の角だけ回し、到着側の差に重なることも確かめられます。

2. 上向きから右向きへ

2本の差を計算すると、b − a = 3i、c − a = 3 です。どちらも非零なので商を作れます。

(c - a)/(b - a) = 3/(3i)
                  = 1/i
                  = -i

-i の偏角は -π/2 で、θ = -π/2 です。A の内角は |-π/2| = π/2 です。元の図形でも、上向きの AB を時計回りに π/2 回すと右向きの AC になります。3i に -i を掛けると3に戻り、長さも一致します。

3. 反対向きと三角形の違い

b − a = 3、c − a = -3 はともに非零です。したがって、角を比べること自体はできます。

(c - a)/(b - a) = -3/3
                  = -1

指定された区間で -1 の偏角は π なので、θ = π です。2本の半直線の間の角も π です。点は一直線上にあり、面積が正の三角形は成立しません。3 に -1 を掛けると -3 となることから、両方向が反対である点も確認できます。

4. 第3象限に向かう線

まず b − a = 2、c − a = -2 − 2i で、両方非零です。商は次のようになります。

(c - a)/(b - a) = (-2 - 2i)/2
                  = -1 - i

-1 − i は第3象限で、指定区間の代表値は θ = -3π/4 です。したがって A の内角は 3π/4 です。2(-1 − i) = -2 − 2i と元の差に戻り、AB から時計回りに 3π/4 回す配置に一致します。3π/4 を向き付き角として正のまま答えると、到着方向が別の象限になるので注意します。

5. 負の向きを含む文字の条件

b − a = 2、c − a = -2 + (t − 2)i です。後者の実部は -2 なので、どんな実数 t でも両方非零です。商を整理します。

(c - a)/(b - a) = (-2 + (t - 2)i)/2
                  = -1 + ((t - 2)/2)i

偏角 -2π/3 は第3象限を向きます。ある正の実数 r で、商は r(cos(-2π/3) + i sin(-2π/3)) と表せます。実部と虚部を順に比べます。

-r/2 = -1
r = 2
(t - 2)/2 = -r√3/2
(t - 2)/2 = -√3
t - 2 = -2√3
t = 2 - 2√3

この値を元の差へ戻すと c − a = -2 − 2√3 i、商は -1 − √3 i です。絶対値は2、実部と虚部を2で割った値はそれぞれ -1/2、-√3/2 です。AB は右向き、AC は左下向きなので、時計回りに 2π/3 という指定も満たします。

手元に残す要点

• 出発側を分母、到着側を分子にし、どちらの差も非零とします。
• 商の偏角は、2kπ の違いを同じ向きとする向き付き角です。
• -π < θ ≤ π にそろえたとき、2本の半直線の間の角は |θ| です。
• 一直線上や点の重なりを調べ、三角形の内角として答えられるかを分けます。

説明が止まる場所を見分ける

商の式を書く前に、紙の上で「どちらから、どちらへ」と言葉にできるかを見ます。式は合っているのに内角が負になるなら、回転方向と角の大きさを分けて説明します。商が逆なら、分母の差が出発線の向きになっているかを、図の矢印と照らしてください。

個別に確かめるときは、点を1つずつ指し、各差を始点から終点への移動として読めるかを見ると、つまずきの場所が絞れます。最後に商を出発側の差へ掛け、到着側の差へ戻ることを説明できれば、式と図の両方で向きがそろいます。