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高校数学C n乗根が作る多角形—回転した頂点の位置から辺と面積を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

円周順と中心角から、辺と対角線を区別して面積を求める題材は、回転したn乗根の正多角形です。

よくあるのは、理系の高3が複素数の根をいくつか求め、書き出した順に点を結んだところ、対角線を辺として使ってしまう場面です。式の解として正しい点が並んでいても、紙に書いた順が円周上で隣り合う順とは限りません。まず中心と半径を押さえ、角の増える向きに頂点を並べ直します。そのうえで、隣の点との距離と、中心から分けた三角形の面積を求めます。

根の配置から何を求めるか

典型的な問いは3つあります。1つ目は、方程式の解を頂点とする図形の種類と辺の長さです。絶対値から円の半径を求め、隣の頂点への回転角を見ます。2つ目は面積です。頂点の座標を全部計算しなくても、中心と隣接する2頂点を結ぶ三角形に分けられます。3つ目は、2つの根が辺の両端なのか、対角線の両端なのかを見分ける問いです。添字の差だけを見ず、円周上でどちら向きに何区間離れているかを確認します。

いずれの場合も、式からすぐ多角形の公式に飛ぶのではなく、定数が0か、次数がいくつかを先に調べます。非零の定数で次数が3以上なら、異なる根が正多角形の頂点になります。0を右辺に持つ場合や次数が1、2の場合には、この面積の話をそのまま適用できません。条件に合わないケースを入口で止めることが、辺の取り違えを防ぐ第一歩です。

円と等しい角の間隔を読む

nを正整数、aを0でない複素数とし、zⁿ = aを考えます。aの絶対値をAとするとA > 0です。aの偏角の1つをαとし、RをRⁿ = Aを満たす正の実数とします。このとき根は、k = 0, 1, …, n − 1に対して

zₖ = R {cos((α + 2kπ)/n) + i sin((α + 2kπ)/n)}

と表せます。aの偏角に2πを加えた表し方を選んでも、kの番号が入れ替わるだけで、根の集合は変わりません。|zₖ| = Rなので、点はすべて原点を中心とする半径Rの円上にあります。隣の番号では偏角が2π/nだけ増えます。最後の点から最初の点へ反時計回りに進む角も2π/nです。

0からn − 1までの2つの番号の差は、異なる番号なら絶対値が1以上n − 1以下です。その角の差は2πの整数倍にならないので、これらの根は互いに異なります。また、任意の根の偏角は上の形に含まれ、番号をnだけ変えても同じ点に戻ります。したがって重複のない頂点はn個です。n ≥ 3では、等しい中心角に対する弦が等しいので正n角形を作ります。正n角形の頂点を指定しているのであって、飛ばして結んだ星形を考えているわけではありません。

図1のように、番号を1つ進める回転と、2つ進める回転を区別します。図は半径2の円上の6頂点で、実軸を右向き、虚軸を上向きに取っています。青い線は隣接する頂点を結ぶ辺、赤い線は1頂点を飛ばした対角線です。数字の小さい順に式を書いたつもりでも、別の偏角の代表値に直して並べ直すと順番が入れ替わることがあります。図に点を打ってから実際の円周順を確認します。

隣り合う根をP、Qとすれば、三角形OPQの2辺はR、挟む角は2π/nです。辺PQの長さは、三角形を中心角の二等分線で分けると

PQ = 2R sin(π/n)

となります。中心からの高さはR cos(π/n)ですから、三角形OPQの面積は R² sin(2π/n)/2 です。n個の三角形は内部が重ならず正n角形を埋めるので、面積Sは次のようになります。

S = nR² sin(2π/n)/2

この式はn ≥ 3で使います。sinの角は辺に対応する中心角であり、多角形の内角ではありません。中心角が大きい方の弧を選ぶと符号や面積を取り違えるため、隣の頂点へ進む角2π/nを先に書きます。根の全体を回転してもRと中心角は変わらないので、辺と面積も変わりません。

基本例題：傾いた正方形の辺と面積

方程式z⁴ = -16の4つの解を頂点とする四角形について、円周順に見た1辺の長さと面積を、根号を用いた正確な値で求めてください。さらに、偏角が0以上2π未満の頂点のうち、偏角が最も小さい点を直交表示で求めてください。

右辺は非零で、次数は4です。|z|⁴ = |-16| = 16より、|z|は非負ですから |z| = 2 です。右辺の偏角はπに2πの整数倍を加えたものなので、頂点の偏角は次の4つです。

(π + 2kπ)/4   （k = 0, 1, 2, 3）
= π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

どれも指定の区間にあり、隣どうしの差はπ/2です。したがって半径2の円に内接する正方形です。最小の偏角π/4に対応する点をPとすると、

P = 2(cos(π/4) + i sin(π/4))
  = 2(√2/2 + (√2/2)i)
  = √2 + √2 i

となります。隣の点Qは偏角3π/4なので、Q = -√2 + √2 iです。差を取って辺の長さを求めます。

|Q - P| = |(-√2 + √2 i) - (√2 + √2 i)|
        = |-2√2|
        = 2√2

図2のようにPとQは円周上の隣同士です。原点OとP、Qを結ぶ三角形は、長さ2の2辺の間の角がπ/2です。三角形1つの面積を4倍すると、正方形全体の面積になります。

三角形OPQの面積 = 2・2・sin(π/2)/2
                = 2
正方形の面積 = 4・2
            = 8

辺の長さからも (2√2)² = 8 です。点Pを元の条件に戻すと、P² = 4i、P⁴ = -16です。他の3点はPをπ/2ずつ回転した点で、4乗すると回転角が2πの整数倍だけ増えるため、同じ右辺になります。頂点の位置、辺、面積が同じ図に対応しています。

標準例題：辺と1つ飛ばした弦を比べる

方程式z⁶ = 64の解を頂点とする正六角形があります。円周上で隣り合う2頂点の距離、1頂点を飛ばして結ぶ2頂点の距離、六角形の面積を、それぞれ根号を用いて正確に求めてください。

64は非零なので、6個の異なる根があり、|z|⁶ = 64より半径は2です。右辺の偏角の1つは0ですから、偏角は2kπ/6、k = 0, 1, …, 5と取れます。ここでは隣へ進む角がπ/3、1頂点を飛ばす角が2π/3です。図1の青線と赤線がそれぞれの距離に対応します。

辺については、中心と2頂点を結ぶと3辺とも長さ2の正三角形になります。公式でも同じ結果です。

辺の長さ = 2・2・sin(π/6)
         = 4・1/2
         = 2

一方、1頂点を飛ばす弦の両端と中心を結ぶ二等辺三角形では、頂角が2π/3です。頂角の二等分線で分けると、弦の半分は 2 sin(π/3) = √3 なので、求める距離は2√3です。辺の2倍とは限らないことに注意します。

面積は、中心角π/3の三角形6個の和です。

三角形1個の面積 = 2・2・sin(π/3)/2
                 = √3
六角形の面積 = 6√3

元の式への照合として、各頂点の絶対値の6乗は64、偏角の6倍は2kπです。また、0番目の点2と2番目の点 -1 + √3 iの距離は |-3 + √3 i| = √12 = 2√3です。図で飛ばした弦の長さと計算が一致します。6つの三角形は各中心角がπ/3で一周し、重なりなく六角形の内側を埋めることも確認します。

発展例題：回転角を先に決める

方程式z⁴ = -81iの解を頂点とする正方形について、1辺の長さと面積を正確に求めてください。さらに、0以上2π未満の偏角を持つ4頂点のうち、最小の偏角を答えてください。辺と面積には根号を使い、偏角はπを用いて表します。

右辺の絶対値は81で、右辺は非零です。半径Rは正で、R⁴ = 81からR = 3です。右辺の偏角の1つは -π/2 なので、根の偏角の候補は

(-π/2 + 2kπ)/4
= -π/8 + kπ/2

です。k = 0, 1, 2, 3では -π/8, 3π/8, 7π/8, 11π/8となります。最初の -π/8 は指定区間にないので、2πを足して15π/8とします。円周順に並べ直せば

3π/8, 7π/8, 11π/8, 15π/8

です。最小の偏角は3π/8で、どの隣接角もπ/2です。1辺は

2・3・sin(π/4) = 6・√2/2
                  = 3√2

となります。面積は、中心を共有する4つの三角形から

4・(3・3・sin(π/2)/2) = 4・9/2
                        = 18

です。実際、(3√2)² = 18とも一致します。4つの偏角を4倍すると、それぞれ3π/2、7π/2、11π/2、15π/2です。いずれも -π/2 と2πの整数倍だけ異なるので、4乗後の向きは -i の向きに戻ります。絶対値も3⁴ = 81となり、各頂点は元の式を満たします。

ここでの分かれ目は、頂点の座標を求める必要があるかどうかです。辺と面積だけなら、半径と中心角があれば足ります。最小の偏角を問われたときには、元の代表値をそのまま最小とせず、指定区間内に全候補をそろえてから比べます。右辺の向きが変わると正方形は回転しますが、半径が同じなら辺と面積は変わりません。

誤答を図に戻して直す

基本例題の4頂点をP、Q、R、Sと円周順に置きます。PからRへ結んだ長さ4を「1辺」とした答えは誤りです。PとRの偏角の差はπであり、間にQを挟みます。2点は直径の両端なので、4は対角線の長さです。根を紙に P、R、Q、S の順で書けば、列の隣どうしと図の隣どうしがずれます。

図3では、赤い線がPからRへの対角線、紺色の線がPからQへの辺です。直径が4だから1辺も4とするのではなく、中心角π/2の弦として計算し直します。辺は2√2、面積は8であり、対角線の長さ4を2乗した16ではありません。正方形の対角線を使うなら、直角三角形の関係から「面積 = 対角線の長さの2乗/2」として8に戻せます。

もう1つの誤りは、z⁴ = 0にも4つの頂点があるとすることです。z⁴ = 0を満たす複素数はz = 0だけです。0には偏角を定められず、半径0の円に4個の異なる点を配置することもできません。根の個数を次数だけで決めず、右辺が非零かを確認します。

面積公式のnに2を代入して得た0を「正二角形の面積」と呼ぶのも避けます。非零の右辺なら根は異なる2点ですが、それらを結ぶのは線分で、三角形に分ける多角形ではありません。n = 1でも点は1個です。式の値が計算できることと、問題で求める図形が存在することは別に調べます。

5つの問題

次の各問は、別々の方程式を考えます。長さと面積は根号を用いた正確な値で答え、偏角を答える場合は0以上2π未満とします。辺は円周上で隣接する頂点を結ぶ線分です。

z³ = 27iの解を頂点とする三角形の1辺の長さと面積を求めてください。
z⁴ = 256の解を頂点とする四角形の1辺の長さと面積を求めてください。偏角が最小の頂点も直交表示で求めてください。
z⁶ = -729の解を頂点とする六角形の1辺の長さと面積を求めてください。偏角が最小の頂点の偏角も求めてください。
z⁸ = 256の解を頂点とする八角形について、1辺の長さ、円周上で2頂点を飛ばして結んだ距離、面積を求めてください。
z⁵ = 0とz² = 9について、それぞれ異なる解の個数を求め、解を頂点とする面積を持つ多角形ができるか判断してください。後者の解は直交表示で答えてください。

問題の答えと考え方

1の解き方

右辺は非零で、半径Rは R³ = 27、R > 0よりR = 3です。右辺の偏角をπ/2と取ると、頂点の偏角は π/6 + 2kπ/3、k = 0, 1, 2です。3つの頂点の中心角は2π/3なので正三角形です。辺と面積は

辺 = 2・3・sin(π/3)
   = 6・√3/2
   = 3√3
面積 = 3・(3・3・sin(2π/3)/2)
     = 3・(9√3/4)
     = 27√3/4

です。各頂点の偏角を3倍するとπ/2に2πの整数倍を加えた角になり、絶対値の3乗は27です。元の式の27iへ戻ります。正三角形の面積を辺から計算しても、(3√3)²・√3/4 = 27√3/4です。

2の解き方

256は非零で、R⁴ = 256からR = 4です。根の偏角は kπ/2、k = 0, 1, 2, 3なので、最小は0、その頂点は4 + 0iです。半径4の円の正方形として

辺 = 2・4・sin(π/4)
   = 4√2
面積 = 4・(4・4・sin(π/2)/2)
     = 32

です。各頂点の絶対値の4乗は256で、偏角の4倍は2πの整数倍です。辺の2乗も (4√2)² = 32 となり、正方形の面積と一致します。

3の解き方

右辺は非零で、R⁶ = 729からR = 3です。-729の偏角をπと取ると、頂点の偏角は (π + 2kπ)/6、k = 0, 1, …, 5です。指定区間ではπ/6から始まり、π/3ずつ増えるため、最小はπ/6です。隣接する2点の中心角をπ/3として

辺 = 2・3・sin(π/6)
   = 3
面積 = 6・(3・3・sin(π/3)/2)
     = 6・(9√3/4)
     = 27√3/2

です。偏角を6倍するとπ + 2kπになり、絶対値の6乗は729です。右辺の向きと大きさに戻ることに加え、中心角π/3の6個の三角形が一周を埋めます。

4の解き方

右辺は非零で、R⁸ = 256からR = 2です。偏角を kπ/4、k = 0, 1, …, 7と取ると、隣接する中心角はπ/4です。辺の長さは 4 sin(π/8) です。半角の関係から、π/8は第1象限にあり

sin²(π/8) = (1 - cos(π/4))/2
           = (2 - √2)/4
sin(π/8) = √(2 - √2)/2
辺 = 2√(2 - √2)

となります。2頂点を飛ばした先は3区間先なので、小さい方の中心角は3π/4です。その弦の長さは 4 sin(3π/8) です。

sin²(3π/8) = (1 - cos(3π/4))/2
            = (2 + √2)/4
sin(3π/8) = √(2 + √2)/2
距離 = 2√(2 + √2)

面積は8個の中心角π/4の三角形の和です。

面積 = 8・(2・2・sin(π/4)/2)
     = 8・√2
     = 8√2

各頂点は絶対値の8乗が256、偏角の8倍が2kπなので元の式を満たします。指定された2頂点を飛ばす距離が3区間の弦であることも、番号0と3を図に打って確認します。

5の解き方

z⁵ = 0ではz = 0以外に解はありません。したがって異なる解は1個で、面積を持つ多角形にはなりません。0の偏角を設定して5方向へ分ける操作は使えません。

z² = 9では (z − 3)(z + 3) = 0より、解は3と -3の2個です。どちらも2乗すると9に戻ります。2点は半径3の円の直径の両端ですが、2点を結んでできるのは線分です。したがってこちらも面積を持つ多角形はできません。非零なら何点でも多角形になると考えるのではなく、頂点の個数も確認します。

覚えておくこと

非零のaに対するzⁿ = aの根は半径 |a| の正のn乗根の円上に並びます。
n ≥ 3なら円周順の隣接角は2π/nで、正n角形の辺を決めます。
1辺は2R sin(π/n)、面積はnR² sin(2π/n)/2です。
右辺が0の場合とn = 1、2の場合は、面積を持つ多角形の条件から分けます。

どこで詰まったかを見分ける

半径は合うのに辺が長すぎるときは、選んだ2頂点の間に別の頂点がないかを図で見ます。偏角を指定区間に直す前に大小を比べた場合も、円周順を書き直すと原因を特定できます。面積だけが合わないときは、1つの三角形に使った角が隣接する中心角か、また同じ三角形が何個集まるかを別々に説明します。

個別指導で確かめるなら、例えば基本例題のPからどの点へ進むと中心角がπ/2になるかを言葉と式の両方で示してもらいます。続いて対角線を選んだ場合の中心角と比較すれば、計算ミスと頂点の選び違いを区別できます。最後に、右辺が0のとき同じ手順が使えない理由まで説明できれば、非零の条件と図形の対応がつながります。