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高校数学C 円の複素数表示—中心と半径を共役の式から読み取る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

共役を含む円の式から中心を取り出し、平方完成の右辺の符号によって円・1点・点なしを判別します。

よくあるのは、理系の高3が共役を含む式を平方完成した後、右辺が負なのにそのまま円を描く場面です。中心らしい複素数が見つかっても、半径の二乗が負なら実数の距離は存在しません。まず式の形を整え、次に右辺の符号を調べ、最後に元の条件に戻す順番で考えます。点が1つに縮む場合も、点が存在しない場合も区別します。

問われ方から決める最初の一手

1つ目は、中心と半径が与えられ、複素数 z の満たす式を作る問題です。中心を表す複素数を a、半径を正の実数 r とすると、中心から動く点 z までの距離は |z − a| です。この距離を r に等しく置きます。中心の符号を先に式に入れると、図と照らしやすくなります。

2つ目は、z とその共役を含む展開形から図形を求める問題です。z の共役をそのまま別の未知数として扱わず、z の係数と共役の項の係数を見比べて中心を取り出します。平方完成の後に出る数は半径ではなく半径の二乗です。正なら正の平方根を取り、零なら中心の1点、負なら条件を満たす点はありません。

3つ目は、係数に実数の文字が入る問題です。文字を含む式を平方完成し、右辺が正・零・負となる範囲を分けます。先に円と決めてしまうと、1点や空集合になる境目を落とします。距離比や不等式の領域ではなく、ここでは1つの等式が表す円とその例外に焦点を当てます。

距離と共役を結ぶ式

i² = -1 とし、z = x + yi、a = p + qi とします。x、y、p、q は実数です。複素数 a の共役は p − qi で、z − a の共役は z の共役から a の共役を引いたものです。複素数とその共役の積は絶対値の二乗なので、次の等式が成り立ちます。

|z - a|² = (z - a)(z の共役 - a の共役)
          = z(z の共役) - (a の共役)z - a(z の共役) + |a|²

距離の式 |z − a| = r は、r が正の実数なら、|z − a|² = r² と同値です。両辺を二乗してもよいのは、距離と r がともに負でないからです。逆に、二乗した式から戻るときも、絶対値が負でないことを使います。r = 0 とすると等式を満たすのは z = a の1点で、正の半径を持つ円とは区別します。r² に当たる数が負なら、絶対値の二乗は負になれないので点は存在しません。

図1のように、中心を 1 + i、半径を 2 としたとき、中心から円周上の点までの距離はどの方向でも 2 です。横軸は実部、縦軸は虚部を示し、両軸は同じ縮尺です。例えば右端は 3 + i で、その差の絶対値は |(3 + i) − (1 + i)| = 2 です。

図1の式を展開すると、z の係数は中心自身ではなく、その共役に負号を付けたものです。一般に実数 c と複素数 a について、

z(z の共役) - (a の共役)z - a(z の共役) + c = 0
|z - a|² = |a|² - c

となります。右辺 |a|² − c が正のときは中心 a、半径 √(|a|² − c) の円です。右辺が零なら z = a、負なら解なしです。この式が実数の等式になっているのは、中央の2項が互いに共役で、その和が実数になるためです。項を見た目だけで選ばず、係数の共役関係も確かめます。

例えば z の係数が -2 + 3i なら、a の共役が 2 − 3i なので中心は 2 + 3i です。共役を取り忘れて 2 − 3i とすると、中心が実軸を挟んだ反対側に移ります。a の値を決めたら、a(z の共役) の係数も元の式に合うか確認します。

基本例題：展開形から円を取り出す

複素数 z の共役を用いた次の等式を満たす点の集合を求め、円なら中心を複素数、半径を整数で答えてください。

z(z の共役) - (2 - 4i)z - (2 + 4i)(z の共役) + 11 = 0

z の係数は -(2 − 4i) です。したがって中心の候補 a の共役は 2 − 4i、a は 2 + 4i です。もう一方の係数も -a と一致します。|a|² = 2² + 4² = 20 を使い、平方完成します。

|z - (2 + 4i)|²
= z(z の共役) - (2 - 4i)z - (2 + 4i)(z の共役) + 20
= -11 + 20
= 9

絶対値は負でないので、|z − (2 + 4i)| = 3 です。求める集合は中心 2 + 4i、半径 3 の円です。図2のように中心から実軸の正の向きへ 3 進んだ点は 5 + 4i で、円周上にあります。

図2の右端を元の等式に戻して確かめます。z = 5 + 4i、その共役は 5 − 4i です。

z(z の共役) = 25 + 16 = 41
(2 - 4i)z = 26 - 12i
(2 + 4i)(z の共役) = 26 + 12i
41 - (26 - 12i) - (26 + 12i) + 11 = 0

図の点が元の式に合うことに加え、平方完成は等式を両方向に変形しているので、円周上のすべての点が元の条件を満たし、元の条件を満たす点もその円周上にあります。1点の代入だけで集合全体の証明にするのではなく、この同値性も必要です。

標準例題：座標式を共役の式へ戻す

複素数 z = x + yi が、実数 x、y について次の式を満たします。この点の集合を求め、中心を複素数、半径を正の根号で表してください。さらに元の式と同値な、z とその共役による式を求めてください。

2x² + 2y² + 12x - 4y + 10 = 0

まず、二乗の係数 2 は零ではないので、両辺を 2 で割れます。次に x と y を別々に平方完成します。

x² + y² + 6x - 2y + 5 = 0
(x + 3)² - 9 + (y - 1)² - 1 + 5 = 0
(x + 3)² + (y - 1)² = 5
|z - (-3 + i)|² = 5

よって中心は -3 + i、半径は √5 です。例えば中心から横に 2、上に 1 動いた -1 + 2i は、中心からの距離の二乗が 2² + 1² = 5 です。元の式にも戻すと、2 + 8 − 12 − 8 + 10 = 0 となり条件に合います。

共役で表すには、z(z の共役) = x² + y²、z + z の共役 = 2x、z − z の共役 = 2yi を使います。

2z(z の共役) + 6(z + z の共役) + 2i(z - z の共役) + 10 = 0
2z(z の共役) + (6 + 2i)z + (6 - 2i)(z の共役) + 10 = 0

この式を 2 で割ると、z の係数は 3 + i です。その負数 -3 − i は中心の共役なので、中心は -3 + i と読めます。座標を使う方法は係数を実部・虚部で追える一方、共役の積を使う方法は中心を直接取り出しやすい方法です。どちらも最後に正の半径を確認します。

発展例題：文字によって円が消える境目

実数 t に対し、次の等式を満たす点の集合を、t の値によって分類してください。円の場合は中心を複素数、半径を根号を用いて表し、1点の場合はその複素数を答えてください。

z(z の共役) - (t - 2i)z - (t + 2i)(z の共役) + 2t + 5 = 0

中心の候補は t + 2i です。t は実数なので、その共役は t − 2i であり、与えられた2つの係数に対応します。|t + 2i|² = t² + 4 を加えて平方完成します。

|z - (t + 2i)|² = t² + 4 - (2t + 5)
                  = t² - 2t - 1
                  = (t - 1)² - 2

右辺を D と置くと、D の符号で集合の形が決まります。D = 0 の境目は (t − 1)² = 2、つまり t = 1 − √2 または t = 1 + √2 です。実数 t に対して、結論は次のようになります。

t < 1 − √2 または t > 1 + √2 なら、中心 t + 2i、半径 √((t − 1)² − 2) の円です。
t = 1 − √2 または t = 1 + √2 なら、z = t + 2i の1点です。
1 − √2 < t < 1 + √2 なら、条件を満たす点はありません。

境目が含まれる場所にも注意します。例えば t = 3 のとき D = 2 で、点 4 + 3i は中心 3 + 2i からの差が 1 + i、距離の二乗が 2 です。元の式でも、z(z の共役) = 25、(3 − 2i)z = 18 + i、その共役の項は 18 − i、定数は 11 なので 25 − (18 + i) − (18 − i) + 11 = 0 です。

境目の t = 1 + √2 では、中心 z = t + 2i を元の左辺に入れると、|z|² − 2|z|² + 2t + 5 = -(t² + 4) + 2t + 5 = -D = 0 です。逆に t = 1 では D = -2 なので、左辺を零にする点はありません。中心を代入しても左辺は 2 であり、中心だから自動的に解になるわけではないことが見えます。

一般の展開形で z(z の共役) の係数が実数 k の場合、k が非零なら初めに k で割ってから同じ手順を使えます。k = 0 の場合はその割り算ができず、残った式を別に調べる必要があります。この場合を円の中心の公式に無理に入れないことが、文字を含む問題での分かれ目です。

誤答を距離に戻して直す

「|z − (1 + 2i)|² = -4 だから、中心 1 + 2i、半径 2 の円」という答えは誤りです。原因は、右辺の負号を捨てて半径を作ったことです。半径 2 の円なら距離の二乗は 4 であって -4 ではありません。

図3のように、同じ中心の周りでも、右辺が 4 なら円、0 なら中心の1点、-4 なら点なしです。左辺はどの複素数 z についても零以上ですから、負の値とは等しくなりません。

修正するときは、平方完成した式の右辺を丸で囲み、まず正・零・負を判定します。正であっても、その数をそのまま半径とするのではなく正の平方根を取ります。例えば右辺が 4 の場合、中心から距離 2 の点が条件に合います。右辺が 0 の場合は距離が零なので中心に重なる点に限られます。

もう1つの誤りは、z の係数の負数をそのまま中心とすることです。共役を含む展開では z に掛かるのは中心の共役です。中心を予想したら、その共役に負号を付け、元の z の係数へ戻して点検します。定数項も含めて展開し直すと、中心の虚部の符号と半径の二乗の両方を検査できます。

練習：円・1点・点なしを選ぶ

次の5問は先にまとめて考えてください。中心は複素数、半径は整数または正の根号で答えます。1点や点なしの場合は、そのことを明記してください。

中心 -2 + 3i、半径 4 の円を、絶対値を用いる式と共役を用いる展開形で表してください。
z(z の共役) + (4 + 2i)z + (4 − 2i)(z の共役) + 11 = 0 が表す集合を求めてください。
z(z の共役) − (3 + i)z − (3 − i)(z の共役) + 10 = 0 が表す集合を求めてください。
z(z の共役) + (1 − 2i)z + (1 + 2i)(z の共役) + 8 = 0 が表す集合を求めてください。
実数 s について、z(z の共役) − 2z − 2(z の共役) + s = 0 が円、1点、点なしとなる s の範囲をそれぞれ求め、円の中心と半径も答えてください。

練習の答えと戻し方

1. 中心からの距離を展開する

中心 a = -2 + 3i の共役は -2 − 3i、|a|² = 13 です。距離が 4 という条件から始めます。

|z - (-2 + 3i)| = 4
|z - (-2 + 3i)|² = 16
z(z の共役) + (2 + 3i)z + (2 - 3i)(z の共役) + 13 = 16
z(z の共役) + (2 + 3i)z + (2 - 3i)(z の共役) - 3 = 0

右端の点 2 + 3i は中心との差が 4 です。元の展開形に代入すると、13 + (2 + 3i)(2 + 3i) + (2 − 3i)(2 − 3i) − 3 = 13 + (-5 + 12i) + (-5 − 12i) − 3 = 0 です。式の展開は同値なので、ほかの円周上の点についても距離の条件に戻れます。

2. 右辺が正の場合

z の係数から中心の共役は -4 − 2i、中心は -4 + 2i です。中心の絶対値の二乗は 16 + 4 = 20 です。

|z - (-4 + 2i)|² = 20 - 11
                        = 9
|z - (-4 + 2i)| = 3

中心 -4 + 2i、半径 3 の円です。例えば z = -1 + 2i は中心から距離 3 です。元の式では z(z の共役) = 5、(4 + 2i)z = -8 + 6i、もう一方は -8 − 6i なので、5 − 8 + 6i − 8 − 6i + 11 = 0 となります。

3. 右辺が零の場合

中心の候補 a は 3 − i、その共役は 3 + i です。|a|² = 10 なので、

|z - (3 - i)|² = 10 - 10
                    = 0
z = 3 - i

集合は 3 − i を表す1点です。元の式に戻すと、z(z の共役) = 10、2つの積はいずれも 10 なので、10 − 10 − 10 + 10 = 0 です。距離の二乗が零なら差は零ですから、別の点はありません。

4. 右辺が負の場合

中心の候補は -1 − 2i です。その共役 -1 + 2i に負号を付けると z の係数 1 − 2i と一致します。絶対値の二乗は 5 なので、

|z - (-1 - 2i)|² = 5 - 8
                      = -3

左辺は零以上なので、条件を満たす点はありません。候補の中心を元の式へ代入しても、5 − 5 − 5 + 8 = 3 であり零にはなりません。中心の候補が求まることと、実際に円が存在することは別の判定です。

5. 実数の係数で場合を分ける

中心の候補は 2 で、平方完成すると、

|z - 2|² = 4 - s

となります。s < 4 なら中心 2、半径 √(4 − s) の円です。s = 4 なら z = 2 の1点、s > 4 なら点なしです。s = 3 では半径 1 で、円上の z = 3 を元の式に入れると 9 − 6 − 6 + 3 = 0 です。s = 4 で z = 2 を代入すれば 4 − 4 − 4 + 4 = 0、s > 4 では左辺の距離の二乗が負になれないので解は存在しません。