武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学C 等距離の軌跡—二点からの距離を式にして垂直二等分線を得る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

二点からの距離を二乗した後、得られた直線上の点について逆向きにも確かめるのが等距離です。

よくあるのは、理系の高3が二点までの距離を二乗して一次式を得たところで、軌跡の証明を終える場面です。計算が合っていても、その直線上の点が本当に元の等距離の条件を満たすかを説明しなければ、求めた集合が広すぎる可能性は残ります。距離が負にならないことを使い、式の行き先と帰り道をそろえましょう。

要点（結論から）

距離 PA は |z − a| と表し、差の絶対値を取ります。
両距離は0以上なので、二乗して得た等式から元の等距離へ戻れます。
異なる2点に等距離の点は垂直二等分線全体です。

どの条件から出発するか

等距離の問題には、大きく分けて3つの入り口があります。固定された2点への距離が等しい点を求める型、等距離に加えて別の直線上にある点を決める型、固定された2点が重なる可能性を含む型です。いずれも、まず距離を測る相手がどの点かを図に書きます。

例えば点 P の表す複素数を z、固定点 A、B を表す複素数をそれぞれ a、b とします。PA = PB は |z − a| = |z − b| です。|z| は原点から P までの距離なので、|z| − |a| を PA と置き換えることはできません。差を先に作ってから絶対値を取ります。

A と B が異なる場合、候補は線分 AB の垂直二等分線です。さらに条件があれば、候補の直線とその条件の共通部分を調べます。一方 A と B が重なる場合は距離が常に等しく、線分の向きを決められないため、垂直二等分線を答えにしてはいけません。

等距離と直線を往復する

複素数平面で a = p + qi、b = r + si、z = x + yi と置き、p、q、r、s、x、y は実数とします。点と複素数を対応させると、距離の二乗は次の形です。

|z - a|² = (x - p)² + (y - q)²
|z - b|² = (x - r)² + (y - s)²

両辺の距離は0以上です。そのため、距離が等しいことと距離の二乗が等しいことは同値です。逆向きでも、0以上の2つの数の二乗が等しければ、元の2つの数は等しいと使えます。符号を無視して一般の実数の二乗を比較するのとは違います。

二乗の式を展開し、両辺に共通する x² と y² を消すと、

-2px - 2qy + p² + q² = -2rx - 2sy + r² + s²
2(r - p)x + 2(s - q)y = r² + s² - p² - q²

を得ます。a と b が異なれば r − p と s − q は同時に0にならず、この式は直線を表します。2点が一致すれば式は 0 = 0 となり、平面上のどの点も条件に合います。

図1のように、異なる A、B の中点を M とすると、M から A、B までの距離は等しくなります。M を通り AB に垂直な直線上の点 P では、直角三角形 PMA と PMB の3辺を考えると PA² = PM² + MA²、PB² = PM² + MB² です。MA = MB なので PA = PB です。逆に PA = PB なら、三角形 PMA と PMB は3辺がそれぞれ等しく合同です。M の左右の角は等しく、合わせて一直線の角なので両方とも直角です。P = M の場合も垂直二等分線上にあります。これで幾何からも両方向を説明できます。

図1では赤い2本の線分が等距離を表し、緑の直線がそのような点の集まりです。固定点を入れ替えても同じ直線になることも、距離の条件から確認できます。

基本例題：斜めの二点を結ぶ

複素数 -2 + i、4 + 3i を表す点を A、B とします。PA = PB を満たす点 P の軌跡を、P を表す複素数 z = x + yi の実部 x、虚部 y を使った直線の方程式で求めてください。x、y は実数です。

A = (-2, 1)、B = (4, 3) なので異なる2点です。距離を式に置き、両辺が0以上であることを確認してから二乗します。

|z - (-2 + i)| = |z - (4 + 3i)|
(x + 2)² + (y - 1)² = (x - 4)² + (y - 3)²
x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1 = x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9
12x + 4y = 20
3x + y = 5

必要条件として、P は直線 3x + y = 5 上にあります。ここで計算を止めず、逆にこの直線上の任意の点を取ります。最後の式から変形を逆にたどると、2つの距離の二乗が等しくなります。距離はともに0以上なので PA = PB です。よって軌跡は直線 3x + y = 5 全体で、除く点はありません。

図2のように中点は M = (1, 2) で、3 + 2 = 5 を満たします。また直線の方向に x を1増やすと y は3減り、AB の横と縦の変化 6、2 と直交します。点 P = (0, 5) でも PA² = 2² + 4² = 20、PB² = (-4)² + 2² = 20 です。中点以外も元の距離に戻して調べると、直線の位置を確かめられます。

標準例題：もう1本の条件を重ねる

A = 1 + 2i、B = 7 − 2i とし、点 P は実軸上にあります。PA = PB を満たす P の複素数を、整数または分数の形で求めてください。

実軸上なので z = x と置き、x は実数です。距離の二乗を等しくします。

|x - (1 + 2i)|² = |x - (7 - 2i)|²
(x - 1)² + 4 = (x - 7)² + 4
x² - 2x + 1 = x² - 14x + 49
12x = 48
x = 4

候補は z = 4 です。もとの場面では PA² = (4 − 1)² + (0 − 2)² = 13、PB² = (4 − 7)² + (0 + 2)² = 13 です。両距離は0以上で等しく、点は実軸上にもあります。したがって答えは z = 4 です。

この型では、最初に一般の垂直二等分線を求めてから実軸との交点を調べても構いません。実軸上という条件を先に使えば未知数が1つ減ります。どちらを選んでも、交点が存在しない場合や、2直線が一致して点が無数にある場合を見落とさないようにします。

発展例題：固定点が動いて重なる場合

実数 t に対し、A を t + i、B を 2 − ti で表します。原点 O が A、B から等距離となる t をすべて求め、各 t で A と B が異なるかも調べてください。答えは整数または分数で示します。

まず原点からの距離を二乗します。絶対値は負にならないので、二乗前後の等式は同値です。

|t + i| = |2 - ti|
t² + 1 = 4 + t²
1 = 4

最後の式は成り立ちません。したがって条件を満たす実数 t はありません。異なるかどうかも調べると、A = B なら実部の比較から t = 2、虚部の比較から 1 = -t、すなわち t = -1 です。両方を満たす t は存在せず、どの実数 t でも2点は異なります。解がないのは2点が重なったためではなく、原点からの距離の二乗に常に3の差があるためです。

もう少し条件を変えた場合も考えます。A = t + i、B = 2 + ti なら、2点が重なるには実部から t = 2、虚部から t = 1 が必要なので、やはり一致しません。この確認は、文字が動くときに垂直二等分線を無条件に使っていないか見分ける手順です。等距離の条件が与えられるたびに、固定点が異なるという仮定を確かめます。

誤答を直す：必要条件で止まらない

基本例題で、次のような答案を考えます。「距離を二乗すると 3x + y = 5 だから、軌跡はこの直線である」。式自体は正しくても、直線上の点が元の条件を満たす説明が書かれていません。二乗が同値になる理由を添えて逆にたどれば、直線全体が答えだと示せます。

別の誤りは、A と B の実部の中点が1だから、軌跡を x = 1 とすることです。この直線は確かに中点 M = (1, 2) を通ります。しかし AB は水平ではないので、x = 1 は AB に垂直ではありません。中点を通るだけでは垂直二等分線と決まりません。

図3のように、x = 1 上の Q = (1, 4) を試すと、QA² = 3² + 3² = 18、QB² = (-3)² + 1² = 10 です。2つの距離は等しくありません。修正するには、二乗して 3x + y = 5 を導き、逆向きも示します。Q は 3 + 4 = 7 なので、この正しい直線にも入りません。

さらに、2点が同じ場合に「中点を通る垂線」と答えることも誤りです。区別できる2点を結んで初めて線分の方向を定められます。たとえば A = B = 3 − i なら |z − A| = |z − B| はどの z でも成り立ち、軌跡は平面全体です。図を描く前に、2点が異なるかという条件へ戻りましょう。

練習問題

次の5問は、それぞれ別の条件です。軌跡は x、y の方程式または平面全体と書き、点を求める場合は複素数を整数または分数で示してください。z = x + yi とし、x、y は実数です。

A = -3 + 2i、B = 5 + 2i とします。PA = PB を満たす点 P の軌跡を求めてください。
A = 2 − 4i、B = -2 + 2i とします。PA = PB を満たす点 P の軌跡を求めてください。
A = -1 − 3i、B = 3 + i とします。PA = PB かつ P は虚軸上にあるとき、P を表す複素数を求めてください。
A = 6 + 2i、B = 6 − 4i とします。PA = PB かつ P は実軸上にあるとき、P を表す複素数をすべて求めてください。
実数 t に対し A = t + 2i、B = 3 + ti とします。A と B が一致する実数 t があれば求め、一致する場合としない場合で PA = PB の軌跡をそれぞれ述べてください。

練習の答えと戻し方

1の解き方

(x + 3)² + (y - 2)² = (x - 5)² + (y - 2)²
x² + 6x + 9 = x² - 10x + 25
16x = 16
x = 1

答えは直線 x = 1 です。逆に x = 1 なら横方向の差は4と-4、縦方向の差はどちらも y − 2 なので、距離の二乗が等しくなります。距離は0以上なので、元の PA = PB に戻ります。中点 (1, 2) を通り、水平な AB に垂直という図形的な確認もできます。

2の解き方

(x - 2)² + (y + 4)² = (x + 2)² + (y - 2)²
x² - 4x + 4 + y² + 8y + 16 = x² + 4x + 4 + y² - 4y + 4
-8x + 12y + 12 = 0
2x - 3y = 3

答えは直線 2x − 3y = 3 です。直線上の任意の点について変形を逆にたどれば、2つの距離の二乗は等しく、元の等距離の条件も満たします。中点 (0, -1) は 0 + 3 = 3 を満たし、そこから両点までの距離の二乗はいずれも13です。

3の解き方

P は虚軸上なので z = yi です。距離を表す式に x = 0 を入れます。

1 + (y + 3)² = 9 + (y - 1)²
1 + y² + 6y + 9 = 9 + y² - 2y + 1
8y = 0
y = 0

答えは z = 0 です。原点は虚軸上で、A と B までの距離の二乗はそれぞれ 1 + 9 = 10、9 + 1 = 10 です。等式の解を元の位置と距離に戻しても条件を満たします。

4の解き方

実軸上の点は z = x と表せます。2点の虚部が違うため、距離の縦方向の成分を残して計算します。

(x - 6)² + 2² = (x - 6)² + 4²
4 = 16

これは成り立たないので、答えは該当する点なしです。実際に実軸上のどの点でも、2つの距離の二乗の差は12で、等距離にはなりません。等距離の直線は y = -1 であり、実軸 y = 0 と平行で交わらないという見方でも確認できます。

5の解き方

A = B とするには、実部と虚部をそれぞれ比べます。

t = 3
2 = t

両方を満たす t はないので、2点が一致する場合はありません。任意の実数 t で距離の二乗を比較すると、

(x - t)² + (y - 2)² = (x - 3)² + (y - t)²
-2tx - 4y + t² + 4 = -6x - 2ty + 9 + t²
2(3 - t)x + 2(t - 2)y = 5

2つの係数が同時に0となるには t = 3 と t = 2 が同時に必要で、不可能です。したがって、どの実数 t に対しても答えはこの一次方程式が表す直線です。逆にこの式を満たす任意の点では、式変形を戻せば2つの距離の二乗が等しく、距離自体も等しくなります。たとえば t = 2 では直線は x = 5/2 で、A = 2 + 2i、B = 3 + 2i の中点を通ります。