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高校数学C 複素数による面積—共役を使った式と向きから三角形の広さを求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

共役を掛けた積の虚部を座標から導き、頂点の順序と共線の場合まで三角形の面積を読み解きます。

よくあるのは、理系高3が複素数の積から負の値を得て、そのまま三角形の面積として答える場面です。計算に現れた符号には頂点をたどる向きの情報がありますが、広さそのものは負になりません。どの点を基準にし、どの順に差を掛けたかを記録すると、符号と面積を分けて扱えます。

どの形から手をつけるか

3頂点の複素数がそのまま与えられる場合は、まず1点を基準にして残りの2点との差を作ります。差は辺の向きと長さを表します。原点を頂点とする場合は、この引き算が見かけ上省けますが、基準点を決める考え方は同じです。

点の位置に実数の文字が含まれ、面積が指定される場合は、虚部を文字の式にしてから絶対値を外します。面積が正なら、符号付きの値が正の場合と負の場合を両方調べます。最後に候補を元の三角形へ戻して、求める広さになっているか確かめます。

3点が一直線上にある条件を問われる場合は、広さが0となる条件を使えます。点が重なる場合も積の虚部は0です。異なる3点という条件が付く問題では、共線の式とは別に重なりを除きます。

共役の積に入る向きと広さ

点 A、B、C を表す複素数をそれぞれ a、b、c とします。A を原点へ移すと、B、C に対応する数は u = b − a、v = c − a です。平行移動では三角形の広さは変わりません。u = p + qi、v = r + si とおき、p、q、r、s は実数とします。

図1のように、u を表す点から v を表す点へ反時計回りに向きを変える配置では、ps − qr は正です。図の横と縦は同じ縮尺で、原点からの2本が移動後の辺に対応します。

まず座標から符号付きの量 ps − qr が広さにつながる理由を見ます。u が0でないとき、u の長さは √(p² + q²) です。v の u に垂直な方向の成分の大きさは |ps − qr|/√(p² + q²) です。実際、u に垂直な長さ1の方向として (-q, p)/√(p² + q²) をとると、その方向への v の成分は (ps − qr)/√(p² + q²) です。底辺と高さの積の半分をとれば、面積 S は次のようになります。

S = (1/2)・√(p² + q²)・|ps - qr|/√(p² + q²)
  = |ps - qr|/2

u = 0 なら A と B が重なり、面積も ps − qr も0です。この場合も結果の式は成立します。垂直方向への成分は座標の積の和で計算しており、底辺を水平に描いた場合に限った公式ではありません。

u の共役は p − qi なので、次の積の虚部を見ます。

(u の共役)・v = (p - qi)(r + si)
                = pr + qs + (ps - qr)i

したがって Im を虚部の記号とすると、面積は S = |Im((u の共役)・v)|/2 です。共役を付ける位置を入れ替えた Im(u・(v の共役)) は符号が逆ですが、絶対値をとった面積は同じです。絶対値を付ける前の符号を向きの判断に使うなら、積の順序を固定します。

ps − qr が正なら A から B への向きから A から C への向きは、一直線の場合を除いて反時計回りに180度未満で重なります。負なら時計回りです。0なら面積は0で、3点は同一直線上にあります。3点が重なる場合も、同一直線上に置ける退化した配置として含めています。

基本例題：基準点を引いてから掛ける

点 A、B、C がそれぞれ a = 1 + i、b = 4 + 2i、c = 2 + 4i に対応するとき、三角形 ABC の面積を整数または分数で求めてください。また、A から B、A から C への順が表す向きも答えてください。

図2のように A を基準にすると、横と縦の増分をそのまま2つの複素数にできます。図2では元の点を座標に置き、2本の辺を描いています。

まず辺に対応する差を求めます。

u = b - a
  = (4 + 2i) - (1 + i)
  = 3 + i
v = c - a
  = (2 + 4i) - (1 + i)
  = 1 + 3i
u の共役 = 3 - i

この積は、実部と虚部を分けると次のとおりです。

(u の共役)・v = (3 - i)(1 + 3i)
                = 3 + 9i - i - 3i²
                = 6 + 8i
Im((u の共役)・v) = 8
S = |8|/2
  = 4

答えは面積 4、向きは反時計回りです。座標に戻すと、A から B は右へ3、上へ1、A から C は右へ1、上へ3です。座標の式でも 3・3 − 1・1 = 8 となり、底辺と高さから得る広さは 8/2 = 4 です。正の値を得たので、絶対値を付けても数は変わりませんが、付け忘れてよい理由にはなりません。

標準例題：面積の条件から点を決める

A に -1 + 2i、B に 3 + 3i、C に t + 5i が対応します。t は実数です。三角形 ABC の面積が 5 となる t をすべて、整数または分数で求めてください。

A を基準とすると u = 4 + i、v = (t + 1) + 3i です。共役を掛けた虚部は次のようになります。

(u の共役)・v = (4 - i)((t + 1) + 3i)
                = 4(t + 1) + 12i - (t + 1)i - 3i²
                = 4t + 7 + (11 - t)i
S = |11 - t|/2

面積が5なので、|11 − t| = 10 です。絶対値の中身が正と負の2通りを解きます。

11 - t = 10  または  11 - t = -10
t = 1  または  t = 21

t = 1 では C は 1 + 5i で、2本の差は 4 + i と 2 + 3i です。座標から 4・3 − 1・2 = 10、面積は 5 です。t = 21 では C は 21 + 5i で、差は 4 + i と 22 + 3i です。4・3 − 1・22 = -10 となり、面積はやはり 5 です。正負の違いは直線 AB に対する C の側の違いに対応します。

例えば 11 − t = 10 だけを解くと、同じ広さを持つ反対側の点を落とします。逆に S = (11 − t)/2 と最初から置くと、負の側にある点を面積の条件から誤って排除します。両候補を元の点の位置に戻すところまでが解答です。

発展例題：面積と共線を同じ式で読む

A、B、C はそれぞれ 2 − i、-1 + 3i、(2 + 2t) + (-1 + t)i に対応します。t は実数です。面積が 11/2 となる t を整数または分数で求め、さらに3点が共線となる t を求めてください。

A を基準にとると u = -3 + 4i、v = 2t + ti です。u は0でなく、C は t = 0 のとき A と重なります。共線の条件を考えるときには、この重なりを勝手に捨てないことに注意します。

(u の共役)・v = (-3 - 4i)(2t + ti)
                = -6t - 3ti - 8ti - 4ti²
                = -2t - 11ti
Im((u の共役)・v) = -11t
S = |-11t|/2

面積が 11/2 の条件は |-11t| = 11 です。よって -11t = 11 または -11t = -11 となり、t = -1 または t = 1 です。t = -1 のとき v = -2 − i で、(-3)・(-1) − 4・(-2) = 11 です。t = 1 のとき v = 2 + i で、(-3)・1 − 4・2 = -11 です。どちらも絶対値の半分は 11/2 で、求めた値は元の広さに戻ります。

共線の条件は -11t = 0 なので t = 0 です。このとき C = A で、面積は確かに0です。もし問題が「相異なる3点が共線」と指定していれば、t = 0 は重なりのため不適となり、該当する値はありません。面積の式が0かどうかと、点が相異なるかどうかは別々に判定します。

この例では v が実数 t に比例しているため、虚部も t に比例しました。文字が2つの辺の両方に入る問題では、積を展開した後に次数が上がることもあります。その場合も虚部を求め、絶対値を外してから条件に戻す順番は変わりません。

負の値を面積にしてしまったら

A = 0、B = 2、C = -3i に対応する点を考えます。A から B、A から C の順で計算すると、(2 の共役)・(-3i) = -6i です。図3のように C は実軸の下側にあります。この値から「面積は -3」と答えるのが誤りです。

原因は、向きを含む虚部 -6 と、向きを含まない広さを同一視したことです。図3のように底辺の長さは2、高さは3なので、広さは 2・3/2 = 3 です。式でも |-6|/2 = 3 と直します。B と C を入れ替えると虚部は6ですが、面積は同じ3です。

別の誤りは、a、b、c に対して a の共役と b を掛け、C を使わずに面積を求めることです。原点が頂点とは限らないので、まず b − a と c − a を書きます。基準点を B に変えるなら c − b と a − b のように順序も明示し、同じ面積になるか照合できます。

また、積が実数だから広さがその実部だと読むのも誤りです。必要なのは虚部です。虚部が0なら面積は0で、3点が共線または重なる配置です。計算結果が0になったときに計算失敗と決めつけず、点の配置へ戻します。

自分で試す5問

面積は整数または既約分数で答えてください。文字は実数とし、共線には点が重なる場合も含めます。

A = 0、B = 5 + i、C = 1 + 2i に対応するとき、三角形 ABC の面積を求めてください。
A = -2 + i、B = 1 + 4i、C = 3 − i に対応するとき、三角形 ABC の面積を求めてください。
A = i、B = 2 + i、C = t + 4i に対応するとき、面積が3となる t をすべて求めてください。
A = 1 − 2i、B = 4 + i、C = (1 + t) + (2t − 2)i に対応するとき、3点が共線となる t を求めてください。
A = 2 + i、B = -1 + 5i、C = (2 + t) + (1 + 2t)i に対応するとき、面積が 7 となる t をすべて求めてください。

5問の答えと確かめ

u = 5 + i、v = 1 + 2i です。

(u の共役)・v = (5 - i)(1 + 2i)
                = 7 + 9i
S = |9|/2
  = 9/2

元の座標では 5・2 − 1・1 = 9 なので、面積は 9/2 です。原点が頂点であることを確かめたうえで差を省いています。

A を基準にすると u = 3 + 3i、v = 5 − 2i です。

(u の共役)・v = (3 - 3i)(5 - 2i)
                = 9 - 21i
S = |-21|/2
  = 21/2

元の点からの増分は右へ3、上へ3と、右へ5、下へ2です。3・(-2) − 3・5 = -21 で、広さは 21/2 と確かめられます。

u = 2、v = t + 3i なので、(u の共役)・v = 2t + 6i です。虚部は t によらず6で、面積は常に3です。したがって答えはすべての実数 t です。実際に底辺 AB の長さは2で、C から直線 AB までの高さは t によらず3です。
u = 3 + 3i、v = t + 2ti です。

(u の共役)・v = (3 - 3i)(t + 2ti)
                = 9t + 3ti
3t = 0
t = 0

元の座標へ戻すと t = 0 で C = 1 − 2i = A です。よって面積は0であり、指定された共線の扱いに合います。相異なる点を要求されていれば、この値は除きます。

u = -3 + 4i、v = t + 2ti です。

(u の共役)・v = (-3 - 4i)(t + 2ti)
                = 5t - 10ti
S = |-10t|/2
  = 5|t|
5|t| = 7
t = 7/5  または  t = -7/5

t = 7/5 では C から A を引いた座標は (7/5, 14/5) です。(-3)・(14/5) − 4・(7/5) = -14 なので面積は7です。t = -7/5 では差が両成分とも逆符号となり、対応する値は14、面積は7です。どちらも問題の広さに合います。

手元に残す要点

1点を基準に2つの差 u、v を作ります。
面積は |Im((u の共役)・v)|/2 です。
虚部の符号は順序に伴う向き、絶対値は広さを表します。
虚部が0なら共線または重なりを調べます。
面積から文字を求めた後、候補を元の配置へ戻します。

途中式からつまずきを見分ける

答えが負なら、まず積の計算と最後の絶対値を分けて見ます。虚部の符号まで正しくても、広さへの変換で誤ることがあります。積の虚部が合わない場合は、基準点を引いた2つの差と、共役の虚部の符号を順に確かめます。

個別指導で確認するときは、計算を隠さず、まず u と v の実部・虚部を図の横と縦の移動に対応させます。次に ps − qr の2つの積がどこから出たかを説明し、最後に頂点を入れ替えたときの符号と広さを比べます。共線の答えでは、点の重なりが問題の条件に入るかを本人の言葉で確かめます。頂点の順序を記録すれば、符号付きの値から三角形の広さへ迷わず移れます。