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高校数学I 偏差と二乗の表—平均との差が消えても散らばりが残る理由を調べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

偏差の和が0になる理由を確認し、重複した測定値を回数分数える表を作ります。偏差の二乗和が残ることから、散らばりの有無を判断できます。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、偏差の平均が0だから測定値は全部同じだと考える場面です。平均より小さい値の負の偏差と、平均より大きい値の正の偏差は、足すとつり合います。つり合うことと、ずれが存在しないことは別です。

例えば平均から左へ2、右へ2の値は、ずれの和が0でも離れています。符号を残した列と二乗した列を並べると、消えてしまう量と残る量の役割を見分けられます。以下の測定値は、計算を練習するために作ったものです。

表を使う問いの入り口

偏差の表が出る問いには、いくつかの型があります。まず、測定値が並び、平均と各偏差、偏差の二乗和を順に求める型です。平均を先に確定し、各値から同じ平均を引きます。二乗は引き算の後に行います。

次に、一部の測定値が同じ表で、同じ値が何回現れたかを使って二乗和を求める型です。1種類の値を1回だけ足すと、測定した回数が消えてしまいます。回数と積の列を作り、元の個数に戻して点検します。

さらに、平均が等しい2組の表を比較する型があります。個数まで同じなら二乗和が大きい組ほど、偏差の二乗の平均も大きくなります。個数が異なるときは二乗和をそのまま比べず、それぞれの個数で割って比べます。平均や個数の条件を見落とすと、表が正しくても結論を誤ります。

符号のあるずれと二乗の列

測定値をx、対象の全データの平均を「xの平均」とします。偏差は、各測定値から全体の平均を引いた値です。平均より小さければ負、等しければ0、大きければ正になります。平均が7のとき、4の偏差は4 − 7 = -3、10の偏差は10 − 7 = 3です。単位がcmなら、偏差の単位もcmです。

図1のように、平均の左右にある値は、異なる向きの偏差を持ちます。右へのずれを正、左へのずれを負で表すため、反対向きのずれは加えると相殺されます。図1の2点の平均は7であり、2つの偏差の和は0ですが、どちらの値も平均とは異なります。

データがn個で、その合計がSなら、nは正の整数で平均はS/nです。偏差を全部足すことは、元の合計Sから平均をn回引くことです。したがって、次のようになります。

偏差の和 = S - n・(S/n)
         = S - S
         = 0

これは特定の数を選んだ結果ではなく、平均の定義から成り立つ性質です。偏差の和が0かどうかは表の点検に使えます。ただし和が0でも、引く値が本当に平均か、測定値や符号を正しく転記したかまで別に確かめる必要があります。複数の誤りが打ち消し合うこともあるからです。

偏差を二乗すると、負のずれも正のずれも0以上になります。-3の二乗も3の二乗も9です。二乗した列には方向が残らない一方、大きく離れた値は大きく寄与します。例えば、ずれが1から2に倍増すると、その二乗は1から4になります。したがって二乗和は、単に距離の合計を表すものではありません。

二乗和が0なら、各二乗は0以上なので、どの二乗も0です。よってすべての偏差が0、つまり全データが平均と等しくなります。逆に全データが同じなら偏差はすべて0で、二乗和も0です。この判定には、偏差の和ではなく二乗和を使います。

二乗の単位は元の単位の二乗です。cmの値から作った二乗和はcm²です。二乗和を個数nで割ったものが分散で、異なる個数の集団を比べるときに使えます。ここでは偏差を表にする手順と二乗和に焦点を当て、分散を条件に未知の値を求める問題には進みません。

基本例題：4回の長さを表にする

同じ紙片について4回測った長さが、順に4 cm、6 cm、8 cm、10 cmでした。平均、各偏差、偏差の二乗、および偏差の二乗和を求めてください。平均と二乗和は整数で答え、単位も付けてください。

まず4回の合計から平均を求めます。4回それぞれが集計対象なので、分母は4です。

合計 = 4 + 6 + 8 + 10
     = 28 cm
平均 = 28/4
     = 7 cm

各値から7を引き、得られた偏差をそれぞれ二乗します。図2のように、測定値の行と偏差、二乗の行を縦に対応させます。図2の各列は1回の測定を表しています。

測定値（cm）	4	6	8	10
偏差（cm）	-3	-1	1	3
偏差の二乗（cm²）	9	1	1	9

例えば4 cmの列では、偏差は4 − 7 = -3 cm、二乗は(-3)² = 9 cm²です。負の数の二乗を正にするため、かっこを含めて考えます。各列の対応を保ったまま足すと、次の結果です。

偏差の和 = -3 - 1 + 1 + 3
         = 0 cm
二乗和 = 9 + 1 + 1 + 9
       = 20 cm²

答えは平均7 cm、偏差は順に-3 cm、-1 cm、1 cm、3 cm、二乗は順に9 cm²、1 cm²、1 cm²、9 cm²、二乗和は20 cm²です。偏差の和が0であることに加え、平均7 cmに各偏差を足すと4、6、8、10 cmに戻ります。合計も7・4 = 28 cmで、元の測定値の合計と一致します。二乗和が正なので、4つの値が同じという結論にはなりません。

標準例題：同じ値が重なる表

5枚のカードの長さが3 cm、5 cm、5 cm、7 cm、10 cmでした。値ごとの回数を用いて平均と偏差の二乗和を求めてください。答えは整数とし、単位を付けます。

5 cmは2枚に対応し、他の値はそれぞれ1枚です。回数を合計して1 + 2 + 1 + 1 = 5枚となり、対象の枚数と一致します。元の長さを回数倍して足します。

長さの合計 = 3・1 + 5・2 + 7・1 + 10・1
           = 3 + 10 + 7 + 10
           = 30 cm
平均 = 30/5
     = 6 cm

平均6 cmを各値から引き、二乗した後に回数を掛けます。5 cmの偏差は-1 cmで、これが2回現れます。

長さ（cm）	回数（枚）	偏差（cm）	偏差の二乗（cm²）	二乗と回数の積（cm²）
3	1	-3	9	9
5	2	-1	1	2
7	1	1	1	1
10	1	4	16	16

偏差の和 = (-3)・1 + (-1)・2 + 1・1 + 4・1
         = -3 - 2 + 1 + 4
         = 0 cm
二乗和 = 9・1 + 1・2 + 1・1 + 16・1
       = 9 + 2 + 1 + 16
       = 28 cm²

平均は6 cm、偏差の二乗和は28 cm²です。偏差を平均に戻すと3、5、5、7、10 cmとなり、5枚の合計は再び30 cmです。5 cmの行では二乗1を2回数えることが、一覧を短くまとめても元の5枚を集計するための条件です。

発展例題：人数と平均をそろえて比べる

2組の棒の長さを調べました。A組は2 cm、6 cm、6 cm、10 cmの4本、B組は4 cm、4 cm、8 cm、8 cmの4本です。各組の平均と偏差の二乗和を整数で求め、どちらの偏差の二乗の平均が大きいか答えてください。単位も示してください。

両組の個数が等しいことを先に確認します。平均も計算してから比べれば、それぞれどの位置からのずれを測った表か明確になります。

A組の合計 = 2 + 6 + 6 + 10
          = 24 cm
A組の平均 = 24/4
          = 6 cm
B組の合計 = 4 + 4 + 8 + 8
          = 24 cm
B組の平均 = 24/4
          = 6 cm

A組の偏差は-4、0、0、4 cmで、B組の偏差は-2、-2、2、2 cmです。元に戻すと、平均6 cmに各偏差を足してそれぞれ問題の4本になります。個数と合計もいずれも4本、24 cmです。

A組の二乗和 = 16 + 0 + 0 + 16
             = 32 cm²
B組の二乗和 = 4 + 4 + 4 + 4
             = 16 cm²
A組の二乗の平均 = 32/4
                 = 8 cm²
B組の二乗の平均 = 16/4
                 = 4 cm²

答えは、両組の平均が6 cm、二乗和がA組32 cm²、B組16 cm²です。二乗の平均はA組8 cm²、B組4 cm²なのでA組が大きくなります。A組では2本が平均と一致する一方、残る2本のずれが大きく、二乗和への寄与はそれぞれ16 cm²です。平均と一致する本数だけでは、二乗の平均の大小を決められません。

この比較の分かれ目は個数です。例えば同じ4本ずつの組なら、二乗和の大小と4で割った値の大小は一致します。異なる本数なら除数も異なり、二乗和の大きい組が必ず二乗の平均も大きいとは限りません。練習の最後では、その条件を実際に比べます。

誤答を列ごとに直す

基本例題で「-3 − 1 + 1 + 3 = 0だから、4回とも7 cm」と答えたとします。誤りは足し算にあるのではなく、偏差の和0を、各偏差が0だと読み替えたことにあります。図3のように、-3と3、-1と1はそれぞれ打ち消し合いますが、4つの偏差のうち0はありません。

修正するときは、和から各値を推測せず、平均7 cmに各偏差を戻します。7 − 3 = 4、7 − 1 = 6、7 + 1 = 8、7 + 3 = 10となり、元の測定値が違うと確認できます。二乗の列を作ると9、1、1、9で、合計20 cm²が残ります。図3の表では、符号付きの和と二乗和が別の量であることを右端で示しています。

別の誤りは、偏差-3の二乗を-3²と書き、-9を表へ入れることです。-3²は-(3²)なので-9ですが、偏差全体の二乗を表す式は(-3)² = (-3)・(-3) = 9です。正しい二乗の列に負の値があれば、その列の計算を見直します。逆に、二乗が正でも元の偏差の符号が正しい保証はないため、先に測定値から平均を引いた列も点検します。

同じ値が繰り返される表では、回数を忘れる失敗にも注意します。標準例題の5 cmは2枚なので、偏差の和には-1を2回、二乗和には1を2回加えます。回数の合計が元の枚数に一致するかを確かめてから各積を作れば、抜けを見つけやすくなります。

練習：5つの表を自分で埋める

各問の値は練習用に作ったものです。答えを小数に丸めず、指定の形で書いてください。偏差は元の並び順に答えます。

4個の木片の長さは2 cm、5 cm、5 cm、8 cmです。平均、各偏差、偏差の二乗和を整数で求め、単位を付けてください。
5回の移動距離は1 m、3 m、3 m、5 m、8 mです。平均と二乗和を整数で求め、3 mの回数を表でどう扱うか説明してください。単位も付けます。
C組の3本のひもの長さは7 cm、7 cm、7 cm、D組は5 cm、7 cm、9 cmです。各組の平均と二乗和を整数で求め、偏差の和が同じでも散らばりが違う理由を述べてください。単位も付けます。
4つの部品の長さは11 mm、14 mm、16 mm、a mmで、平均は14 mmです。aと各偏差、二乗和を整数で求め、単位を付けてください。
E組の3枚の板の長さは2 cm、4 cm、6 cm、F組の6枚は3 cm、3 cm、3 cm、5 cm、5 cm、5 cmです。各組の平均、二乗和、偏差の二乗の平均を整数または既約分数で求め、二乗の平均の大小を比べてください。単位も付けます。

練習の答えと計算

1. 重なった値を含む4個

合計 = 2 + 5 + 5 + 8
     = 20 cm
平均 = 20/4
     = 5 cm
偏差 = 2 - 5、5 - 5、5 - 5、8 - 5
     = -3、0、0、3 cm
二乗和 = 9 + 0 + 0 + 9
       = 18 cm²

平均は5 cm、偏差は順に-3、0、0、3 cm、二乗和は18 cm²です。5 cmに偏差を戻すと2、5、5、8 cmで、4個の合計は20 cmです。偏差の和が0でも2個は平均と異なります。

2. 回数を掛ける

合計 = 1 + 3・2 + 5 + 8
     = 20 m
平均 = 20/5
     = 4 m
偏差 = -3、-1、-1、1、4 m
二乗和 = 9 + 1・2 + 1 + 16
       = 28 m²

平均は4 m、二乗和は28 m²です。3 mの回数は2なので、偏差-1 mとその二乗1 m²をそれぞれ2回数えます。平均4 mに偏差を戻すと問題の5回分となり、合計20 mと一致します。

3. 二乗和が0の組

C組の平均 = (7 + 7 + 7)/3
          = 7 cm
C組の二乗和 = 0 + 0 + 0
            = 0 cm²
D組の平均 = (5 + 7 + 9)/3
          = 7 cm
D組の二乗和 = (-2)² + 0² + 2²
            = 4 + 0 + 4
            = 8 cm²

両組の平均は7 cm、二乗和はC組が0 cm²、D組が8 cm²です。C組の偏差は0、0、0 cm、D組は-2、0、2 cmで、和はいずれも0 cmです。D組では正負の偏差が相殺されます。平均に各偏差を足すと元の3本に戻り、どちらも合計21 cmです。

4. 平均から不足分を戻す

平均14 mmで4個あるので、4個の合計は次のように決まります。既知の3個を引くと、残りの長さが得られます。

4個の合計 = 14・4
          = 56 mm
既知の合計 = 11 + 14 + 16
           = 41 mm
a = 56 - 41
  = 15 mm
偏差 = -3、0、2、1 mm
二乗和 = 9 + 0 + 4 + 1
       = 14 mm²

aは15 mm、偏差は順に-3、0、2、1 mm、二乗和は14 mm²です。15を元の列に戻すと11 + 14 + 16 + 15 = 56 mmで、4で割れば条件の14 mmに戻ります。偏差の和も-3 + 0 + 2 + 1 = 0 mmです。

5. 個数が違うとき

E組の合計 = 2 + 4 + 6
          = 12 cm
E組の平均 = 12/3
          = 4 cm
E組の二乗和 = (-2)² + 0² + 2²
            = 8 cm²
E組の二乗の平均 = 8/3 cm²
F組の合計 = 3・3 + 5・3
          = 24 cm
F組の平均 = 24/6
          = 4 cm
F組の二乗和 = (-1)²・3 + 1²・3
            = 6 cm²
F組の二乗の平均 = 6/6
                = 1 cm²

平均は両組とも4 cm、二乗和はE組8 cm²、F組6 cm²、二乗の平均はE組8/3 cm²、F組1 cm²です。8/3 > 1なのでE組のほうが大きいと答えます。E組の偏差-2、0、2を4に戻すと2、4、6 cm、F組は-1が3個と1が3個なので3 cmが3枚、5 cmが3枚に戻ります。個数は3枚と6枚で、合計も12 cmと24 cmです。

この例では二乗和も二乗の平均もE組のほうが大きい結果です。しかし個数が異なる以上、二乗和だけでは比較の根拠が足りません。例えばF組の各長さをもう1枚ずつ加えると、平均は4 cmのまま、二乗和は12 cm²、二乗の平均は12/12 = 1 cm²です。二乗和はE組より大きくなりますが、二乗の平均はなおE組のほうが大きいままです。