高校数学C レーダーチャートの読み方—尺度と項目の順序をそろえて特徴を比べる｜武蔵野個別指導塾

4項目を並べ替えると面積が変わる理由を計算し、共通尺度での比較から、形の印象で優劣を決める危うさを見抜きます。

よくあるのは、理系の高3が4項目の記録をレーダーチャートに描き直し、項目の順番を変えても面積は同じだと思う場面です。各項目の値は変わっていなくても、隣り合う項目が変われば辺の結び方が変わります。見た目の大きさに飛びつく前に、軸の意味と順序を表に戻して調べましょう。以下の数値は説明のために作ったデータで、実際の調査結果ではありません。

どんな読み取りが問われるか

1つ目は、表の値を共通の尺度で軸上に取り、点を結ぶ問題です。中心を0、外側を同じ最大値とし、各軸の同じ距離が同じ値を表すようにします。どの項目の点かを取り違えなければ、表と図を行き来できます。

2つ目は、2組の形を比べ、どの項目で差があるかを言葉にする問題です。比較する図では、項目の順序、軸の向き、目盛りと最大値をそろえます。値の大小は同じ項目の軸に沿って比べます。別の項目の点を、中心からの距離が同じという理由で同じ性質だと読むことはできません。

3つ目は、項目を並べ替えたときの形を検討する問題です。レーダーチャートの多角形の面積は、各値に加えて軸の角度や隣接関係に依存します。面積の大きい方を総合的に優れていると決めるには、項目の選び方や重み付けなど別の根拠が必要です。この図だけから将来の得点を保証することもできません。

軸、尺度、項目の順序を読む

レーダーチャートでは、中心から放射状に伸びる軸を項目に対応させます。各軸上に値を取り、隣接する軸の点を順に線分で結び、最後の点から最初の点へ戻ります。図1のように4軸が等間隔なら、隣り合う軸の角度は90度です。中心と隣接する2点が作る三角形に分けると、形を調べやすくなります。

図1では中心が0、外側が4で、等間隔の目盛り1つが1を表します。上から時計回りに項目A、B、C、Dを置きます。たとえばAの値3は中心から上向きに3目盛りの点です。項目名は単なる飾りではなく、その点の数値が何を表すかを決めます。

尺度をそろえるとは、同じ値を同じ中心からの距離で表すことです。2組のグラフを重ねる場合に片方だけ外側を8、もう片方を4にすると、同じ距離でも値が異なります。目盛りのない形だけを並べても、大小を適切に比較できません。軸の最大値を統一できない場合は、それぞれの尺度を明示し、見かけの長さをそのまま比較しないことが必要です。

異なる単位の項目を1つの図に載せるときは、元の数量をそのまま同じ軸に置くのではなく、共通の基準で換算した値を使います。換算の基準が違えば形も変わります。換算後の数値が同じでも元の単位の量が同じとは限らず、基準値自体が妥当かどうかは図とは別に考えます。

点の結び方にも注意が必要です。A、B、C、Dの順ならAの隣はBとDです。A、C、B、Dの順にすればAの隣はCとDになり、AとBの間にあった辺は消えます。各項目の値を保った並べ替えでも、囲まれる形は保たれません。回転や裏返しのように隣接関係が変わらない並べ替えでは面積は変わりませんが、任意の並べ替えについて同じとは言えません。

基本例題：表から4軸の図を描く

ある工作の記録を、同じ基準で0から4までの整数に換算しました。項目A、B、C、Dの値はそれぞれ3、1、4、2です。4軸を等間隔に置き、上から時計回りにA、B、C、Dとします。各値を図に表し、多角形の面積を、1目盛りを1単位とした平方単位で求めなさい。

まず上、右、下、左の軸に順番に3、1、4、2の点を取ります。図2のようにそれらを結びます。どの点も中心から外側までの4目盛りの範囲にあり、表の値に戻して確認できます。

隣接する軸は直角です。中心と隣接する点の作る三角形の面積を順に足すと、重なりなく多角形の面積になります。最後のDとAの組も忘れずに加えます。

面積 = 3・1/2 + 1・4/2 + 4・2/2 + 2・3/2
     = 3/2 + 2 + 4 + 3
     = 21/2

答えは21/2平方単位です。各項の2数は隣り合う軸上の距離であり、項目そのものの積を合計した値に物理的な意味があると決めたわけではありません。この面積は、指定した4軸の角度と目盛りで描いた図の幾何学的な面積です。

たとえばBが1から2になり、他の値と軸を固定した場合は、AとB、BとCの2つの三角形が変わります。増加分は3・1/2 + 1・4/2 = 7/2平方単位です。Bが変わるとき隣の値が増加分に関わるため、面積の増加だけをBの変化の大きさとして扱えません。

標準例題：同じ項目を同じ軸で比べる

2つの架空の班P、Qについて、4項目A、B、C、Dを共通の基準で0から5に換算しました。Pの値は順に4、2、3、1、Qの値は順に3、4、2、2です。上から時計回りにA、B、C、Dを配置し、両方とも中心0、外側5、目盛り間隔を同じにして描くものとします。各項目で値の大きい班を答え、4項目の値の合計と図の面積をそれぞれ求めなさい。面積の単位は平方単位です。

軸を対応させると、Aは4と3、Bは2と4、Cは3と2、Dは1と2の比較です。したがってAとCはP、BとDはQが大きいです。合計は次のように求めます。

Pの合計 = 4 + 2 + 3 + 1 = 10
Qの合計 = 3 + 4 + 2 + 2 = 11

Qは11であり、合計は同じではありません。各項目の差を表に戻して足すと、PからQへの変化は -1、+2、-1、+1で、合計は1増えることも一致します。面積は隣接する4組について計算します。

Pの面積 = (4・2 + 2・3 + 3・1 + 1・4)/2
        = (8 + 6 + 3 + 4)/2
        = 21/2
Qの面積 = (3・4 + 4・2 + 2・2 + 2・3)/2
        = (12 + 8 + 4 + 6)/2
        = 15

Qの面積はPより9/2平方単位大きいですが、この事実だけで班の優劣を決めることはできません。AとCではPの値が大きいからです。項目ごとの意味や、どの項目を重視するかが定まっていない以上、合計にも面積にも自動的に総合評価としての意味は生まれません。

また、図は各項目の傾向を一目でつかむ補助になりますが、正確な差を読みたいときは元の表が役立ちます。QのBがPより2大きいことは軸上でも示せますが、細かな目盛りを目測するより、表の4と2を引く方が確かです。図と表の役割を分けて使います。

発展例題：値を変えずに面積を変える

ある架空の展示の4項目A、B、C、Dの値をそれぞれ4、1、3、2とします。各軸は等間隔で、中心0、外側4、1目盛りを1単位とします。上から時計回りにA、B、C、Dとする図と、A、C、B、Dとする図を描いたとき、それぞれの面積を平方単位で求めなさい。値は項目に付いたまま移し、並びを変えた影響を説明しなさい。

最初の図は隣接する組がAB、BC、CD、DAです。各組の積を足し、直角三角形の面積にするため2で割ります。

最初の面積 = (4・1 + 1・3 + 3・2 + 2・4)/2
           = (4 + 3 + 6 + 8)/2
           = 21/2

並べ替え後の隣接する組はAC、CB、BD、DAです。BとCの順が入れ替わっても、それぞれの値1と3は変えません。

並べ替え後の面積 = (4・3 + 3・1 + 1・2 + 2・4)/2
                 = (12 + 3 + 2 + 8)/2
                 = 25/2
面積の差 = 25/2 - 21/2
         = 2

並べ替え後が2平方単位大きくなります。変化した隣接組はABとCDからACとBDへの部分です。その差も (4・3 + 1・2 − 4・1 − 3・2)/2 = 2となり、面積の差に戻ります。値の合計はどちらも4 + 1 + 3 + 2 = 10です。表が同じでも面積が変わるため、この例は面積を項目の値だけで決まる総合点として読むことへの反例になります。

一般に4軸が直交し、順番の値をa、b、c、dとすれば、面積は (ab + bc + cd + da)/2 です。a、c、b、dの順なら (ac + cb + bd + da)/2 なので、後者から前者を引くと (a − d)(c − b)/2 です。これは2組の軸を入れ替えた場合の関係であり、軸の数や角度が異なる図にそのまま使うことはできません。差が0となるのはa = dまたはb = cの場合です。この条件も、それぞれの差を式に代入して確かめられます。

誤答から結び方を直す

図2の工作のデータについて、「A、B、C、Dの並びをA、C、B、Dに変えても値は3、1、4、2のままだから面積は21/2のまま」とする答えを考えます。値を保存した点は正しいですが、隣り合う組が変わることを見落としています。図3のように項目と値を一緒に動かし、新しい辺を結び直します。

図3では新しい順に値が3、4、1、2となります。面積の計算を元の図から流用せず、隣接する組を並べ直します。

新しい面積 = (3・4 + 4・1 + 1・2 + 2・3)/2
           = (12 + 4 + 2 + 6)/2
           = 12

元の21/2平方単位との差は3/2平方単位です。元のデータAが3、Bが1、Cが4、Dが2であることと、新しい図の各ラベルを照合すれば、値を軸の位置に残したまま項目名だけ動かす誤りも防げます。

別の誤りは、2つの図で外側の目盛りが異なるのに、点の距離だけで値を比べることです。外側が4の図の半径の半分は2ですが、外側が10の図の半径の半分は5です。修正するにはまず数値を読み取り、共通の尺度に描き直します。描き直せないときは各軸の値を表に戻して比較し、見た目の面積には判定を任せません。

練習問題

いずれも自作の架空データです。面積は4軸が等間隔で、1目盛りを1単位とした平方単位で答えます。計算が必要なものは分数または整数で答えなさい。

1. 観察記録のA、B、C、Dが順に2、3、1、4です。上から時計回りにA、B、C、Dとし、中心0、外側4の図を描きます。4つの隣接する組と面積を求めなさい。
2. 作業記録のA、B、C、Dが順に5、2、4、1です。順序A、B、C、DとA、C、B、Dの面積と、その差を求めなさい。中心0、外側5とします。
3. 2組の記録R、Sは、同じ項目E、F、G、Hの順にRが2、5、4、3、Sが3、3、4、5です。共通尺度で比較したとき、各項目で大きい組と同じ項目を答え、両組の合計を求めなさい。
4. ある軸で中心0、外側8の図と、中心0、外側12の図があります。いずれも等間隔の尺度で、中心から外側までの距離の4分の3の点を示しています。それぞれの値を求め、距離だけで比較できるか答えなさい。
5. 4項目の値が順に6、2、x、1で、順序をそのまま使った面積が16平方単位です。xは0以上6以下です。xを求め、元の面積に戻して確かめなさい。

練習問題の解答と解き方

1. 隣接する組はAB、BC、CD、DAです。表に戻すと距離の組は順に(2, 3)、(3, 1)、(1, 4)、(4, 2)です。

面積 = (2・3 + 3・1 + 1・4 + 4・2)/2
     = (6 + 3 + 4 + 8)/2
     = 21/2

答えは21/2平方単位です。4つの三角形を順に足し、最後のDからAへの辺も数えています。

2. A、B、C、Dの順では隣の値を掛け合わせます。A、C、B、Dの順では、値も5、4、2、1に並べます。

前の面積 = (5・2 + 2・4 + 4・1 + 1・5)/2
         = 27/2
後の面積 = (5・4 + 4・2 + 2・1 + 1・5)/2
         = 35/2
差 = 35/2 - 27/2 = 4

後の図が4平方単位大きいです。値は各項目に戻しても5、2、4、1のままで、変わったのは隣接関係です。

3. EはS、FはR、Gは同じ、HはSが大きいです。合計はRが2 + 5 + 4 + 3 = 14、Sが3 + 3 + 4 + 5 = 15です。差を項目ごとに並べるとSからRを引いた値は1、-2、0、2で、その和1は合計の差と一致します。

4. 値は順に8・3/4 = 6、12・3/4 = 9です。同じ割合の距離でも値が異なるので、距離だけでは比較できません。6/8と9/12はいずれも3/4となり、与えられた位置に戻ります。

5. 隣接する4組の面積を足して式を作ります。

(6・2 + 2・x + x・1 + 1・6)/2 = 16
18 + 3x = 32
3x = 14
x = 14/3

14/3は0以上6以下です。元の面積に戻すと (12 + 28/3 + 14/3 + 6)/2 = (18 + 14)/2 = 16平方単位となり、条件を満たします。整数に丸めると元の面積が変わるので、分数のまま答えます。

覚えておくこと

• 比較する図は項目、順序、中心、最大値、目盛りをそろえます。
• 各値は対応する軸で比べ、元の表にも戻します。
• 項目の順序を変えると隣接関係と面積が変わり得ます。
• 面積だけから総合的な優劣や将来の得点を決めません。

つまずきを見分けるには

点の位置が違う場合は、まず元の表、軸の項目名、目盛りを順番に指してもらいます。正しい数を使っていても項目名だけ移していれば、並べ替えの後に表と図が対応しません。計算の記録では、最後の点と最初の点の組が抜けていないかも確かめます。

個別指導では、同じ表から異なる順序の2枚を描いた記録を見て、変わった辺を色ではなく項目名で説明できるかを確かめます。さらに、尺度の違う2図から元の値を読み直し、比較できる条件を言葉にしてもらいます。表に戻る操作ができれば、形の印象に左右されずに項目ごとの違いを捉えられます。