高校数学C 距離比の軌跡—比が1の場合を分けて円と直線を判断する｜武蔵野個別指導塾

2点からの距離比を式にし、比が1のときの直線とそれ以外の円を判別し、条件から距離比の軌跡を描きます。

よくあるのは、理系高3が距離比1でも円の中心の公式へ代入し、分母が0になって手が止まる場面です。計算を続ける前に、二乗した項の係数が消えるかを見ます。消える場合は直線、消えない場合は平方完成で円を調べます。比の順序と商の分母も同時に確認すると、図に含める点まで決められます。

距離比を見たときの入口

出方の1つは、2つの固定点からの距離の比を与え、動点の軌跡を求める問題です。比が正で1と異なれば円、1なら垂直二等分線になります。ただし結論を覚えるだけでは、中心や半径、除外点は決まりません。式を作って逆向きまで確かめます。

もう1つは、絶対値の商が一定という形です。分母にある絶対値は0でない必要があります。距離の等式に直すと分母の条件が見えなくなるので、変形の前に書き留めます。比が正で固定点が異なるとき、実は分母を0にする点は等式自体を満たしません。それでも条件を先に確認することが論証の出発点です。

さらに、比に文字が入る問題では、その文字が1のときに二次の項が消えます。1以外で割って得た式に1を代入することはできません。値を場合分けしてからそれぞれの軌跡を求めます。ここでは等式による軌跡を扱い、不等式の領域には進みません。

2点と比から円が生まれる理由

相異なる固定点 A、B を表す複素数をそれぞれ a、b、動点 P を z とします。PA = |z − a|、PB = |z − b| です。正の実数 k に対して PA : PB = k : 1 という条件は、PB が0でないとき |z − a| = k|z − b| と書けます。a ≠ b なので、z = b では左辺が正、右辺が0となり、等式は成り立ちません。

図1のように、A と B を結ぶ直線上には、内分点と外分点が現れます。比が1以外なら、それらは異なる2点で、求める円と直線の交点です。例えば A = 0、B = 3、k = 2 なら、内分点は2、外分点は6です。この2点を直径の両端とする円の中心は4、半径は2です。図は縦横同じ縮尺で描いています。

この例で円上の点は |z| = 2|z − 3| を満たします。実際に z = x + yi とすれば、両辺は0以上ですから、二乗しても逆に戻せます。

x² + y² = 4((x - 3)² + y²)
3x² + 3y² - 24x + 36 = 0
(x - 4)² + y² = 4

図1の円は A を通らず B も通りません。A では距離比が0、B では分母が0だからです。円上の上端 4 + 2i では、距離の二乗がそれぞれ20と5なので、距離は正で比は2です。

一般に |z − a| = k|z − b| を二乗し、絶対値の二乗を共役との積で展開すると、次を得ます。z の共役を z̄、a の共役を ā、b の共役を b̄ と書きます。

(1 - k²)|z|² - z(ā - k²b̄) - z̄(a - k²b)
  + |a|² - k²|b|² = 0

k ≠ 1 なら中心 c = (a − k²b)/(1 − k²) とおいて平方を完成できます。半径は k|a − b|/|1 − k²| です。分母が0でないこと、k > 0 と a ≠ b によって半径が正であることを確かめます。中心の式は比の順序を反映しており、a と b を入れ替えると同じ式にはなりません。

一方、k = 1 なら |z|² の項が消えます。等距離の点全体は線分 AB の垂直二等分線です。A と B は異なるので、この直線は確かに存在し、A、B のいずれも通りません。中心公式に無理に代入せず、元の等距離の式から出発します。

基本例題：式から円の中心と半径を読む

点 A を 1、点 B を 5 で表します。|z − 1|/|z − 5| = 1/2 を満たす点 z の軌跡を、中心と半径を明示して求めてください。

まず z ≠ 5 が必要です。図2のように、A に近い側に円ができると予想できますが、予想だけで円の方程式は決まりません。z = x + yi として、両辺を2倍し、負でない距離を二乗します。

2|z - 1| = |z - 5|
4((x - 1)² + y²) = (x - 5)² + y²
4x² - 8x + 4 + 4y² = x² - 10x + 25 + y²
3x² + 3y² + 2x - 21 = 0
x² + y² + (2/3)x - 7 = 0
(x + 1/3)² + y² = 64/9

したがって、中心 -1/3、半径 8/3 の円です。図2では実軸上の交点 -3 と 7/3 が直径の両端になっています。実際に z = -3 なら PA = 4、PB = 8、z = 7/3 なら PA = 4/3、PB = 8/3 です。いずれも距離比は1 : 2です。

逆に、この円上の任意の点は最後の等式を満たします。式を逆にたどれば 4|z − 1|² = |z − 5|² です。両距離は0以上なので 2|z − 1| = |z − 5| となります。z = 5 は円の式を満たさないため分母は0になりません。よって円上の点はすべて元の商の条件を満たし、除外する点はありません。

ここで必要条件だけなら「条件を満たす点はこの円上にある」までです。十分条件として円上の点を元の条件へ戻して初めて、円全体が軌跡だと結論できます。二乗の前後で距離が非負であることも、その逆算を支える条件です。

標準例題：実軸にない2点でも同じ手順

A を 1 + i、B を 4 + i とします。PA : PB = 2 : 1 を満たす P の軌跡を、中心と半径を明示して求めてください。

z = x + yi とすると、B は A と異なります。与えられた比は正なので、PB = 0 の点は条件に入らないことに注意して式を作ります。

|z - (1 + i)| = 2|z - (4 + i)|
(x - 1)² + (y - 1)² = 4((x - 4)² + (y - 1)²)
(x - 1)² - 4(x - 4)² - 3(y - 1)² = 0
-3x² + 30x - 63 - 3(y - 1)² = 0
x² - 10x + 21 + (y - 1)² = 0
(x - 5)² + (y - 1)² = 4

答えは中心 5 + i、半径2の円です。中心公式でも c = ((1 + i) − 4(4 + i))/(1 − 4) = 5 + i、半径は 2・3/3 = 2 と一致します。公式を使う場合も、比が2であって1ではないことが先です。

円上の点 5 + 3i を距離に戻すと、PA² = 4² + 2² = 20、PB² = 1² + 2² = 5 です。ともに正なので PA : PB = 2 : 1 です。また B の座標は円の中心から距離1にあり、半径2とは異なるため円上にありません。平方完成を逆にたどれば円上のどの点も距離比を満たし、B を別途取り除く必要はありません。

この例では両固定点の虚部が同じなので、y − 1 をひとまとまりにすると計算が短くなります。虚部が異なる場合は x と y の両方を展開し、それぞれ平方完成します。中心を図だけから推測すると、比の向きを逆にした円を選ぶ危険があります。

発展例題：文字が1になる場合を残す

相異なる点 A = -2、B = 2 に対し、正の実数 t を用いて |z + 2| = t|z − 2| とします。t の値で場合分けし、軌跡を中心と半径または直線の方程式で表してください。

z = x + yi として二乗すると、次のようになります。

(x + 2)² + y² = t²((x - 2)² + y²)
(1 - t²)(x² + y²) + 4(1 + t²)x + 4(1 - t²) = 0

ここで t = 1 なら二次の項と定数項が消え、8x = 0 です。答えは直線 x = 0 です。この直線上では左右の固定点までの距離の二乗がどちらも 4 + y² なので、逆も成り立ちます。B = 2 は直線上にありません。

次に t ≠ 1 とします。正の t に対し 1 − t² ≠ 0 ですから、これで割れます。

x² + y² + 4(1 + t²)x/(1 - t²) + 4 = 0
(x + 2(1 + t²)/(1 - t²))² + y²
  = 4(1 + t²)²/(1 - t²)² - 4
  = 16t²/(1 - t²)²

したがって中心は -2(1 + t²)/(1 − t²)、半径は 4t/|1 − t²| です。t > 0 なので半径は正です。例えば t = 2 では中心 10/3、半径 8/3 です。実軸上の点 2/3 は A から 8/3、B から 4/3 の距離にあり、比2 : 1を満たします。

逆に円上の点は平方完成を戻すと二乗した距離の等式を満たします。両辺の距離は非負なので、元の等式にも戻ります。B では左辺が4、右辺が0ですから、どの正の t でも B は軌跡に入りません。比が1に近づくと中心と半径は大きくなりますが、1のときに中心を代入して求めることはできません。分かれ目は式の係数が0かどうかです。

誤答を分解する

図3のように A = -2、B = 2、距離比1 : 1を考えます。誤答は「中心 -2(1 + t²)/(1 − t²) に t = 1 を代入し、中心が無限大の円とする」です。分母が0なので、この式は t = 1 では定義されません。値が定義されないことと、通常の円が求まったことは別です。

原因は、t ≠ 1 を仮定して割った段階の条件を忘れたことです。修正すると、元の式 |z + 2| = |z − 2| に戻り、x² + 4x + 4 + y² = x² − 4x + 4 + y² から x = 0 を得ます。図3の点 i でも両距離の二乗が5で等しく、原点でも両距離は2です。直線上の任意の点についても同じ計算が通ります。

別の誤りは |z − a|/|z − b| = 2 を |z − b| = 2|z − a| と直すことです。正しくは |z − a| = 2|z − b| です。例えば図1の内分点2では A まで2、B まで1なので、元の商は2です。逆に書いた式では 1 = 4 となり、この点を失います。商の分子に対応する距離を左側に置くと順序を追いやすくなります。

また、二乗した式を得たところで「円全体」と決めるのも不十分です。距離以外の式では二乗が余分な解を作る場合があります。ここでは両辺が非負であることを明記して逆算し、商の分母が0にならないことも確認します。最初の条件を最後にもう一度読むことで、変形の途中で消えた制約を拾えます。

練習問題

各問は軌跡を求め、円なら中心と半径、直線なら方程式を示してください。商では分母が0でないことも調べてください。

1. |z + 3|/|z − 1| = 3 を満たす点を求めてください。
2. |z − (2 + 2i)| = |z − (6 + 2i)| を満たす点を求めてください。
3. |z − i| = (1/3)|z − (4 + i)| を満たす点を求めてください。
4. 正の実数 s に対し |z| = s|z − 6| を満たす点を、s = 1 と s ≠ 1 に分けて求めてください。
5. |z − (1 − i)|/|z − (1 + 3i)| = 2 を満たす点を求めてください。

練習の解答と戻し方

1. z ≠ 1 とし、z = x + yi とします。両距離は非負です。

|z + 3| = 3|z - 1|
(x + 3)² + y² = 9((x - 1)² + y²)
8x² - 24x + 8y² = 0
(x - 3/2)² + y² = 9/4

中心 3/2、半径 3/2 の円です。z = 1 はこの円上にないので除外点はありません。円上の z = 0 では両距離が3と1で、元の比に戻ります。逆に円の式を戻し、非負の平方根を取れば元の等式になります。

2. z = x + yi として二乗します。

(x - 2)² + (y - 2)² = (x - 6)² + (y - 2)²
-4x + 4 = -12x + 36
8x = 32
x = 4

直線 x = 4 です。この直線の任意の点では、距離の二乗がともに 4 + (y − 2)² です。例えば 4 + 2i から両点への距離は2で、条件を満たします。固定点はどちらも直線上にありません。

3. 3|z − i| = |z − (4 + i)| として二乗します。

9(x² + (y - 1)²) = (x - 4)² + (y - 1)²
8x² + 8x + 8(y - 1)² - 16 = 0
(x + 1/2)² + (y - 1)² = 9/4

中心 -1/2 + i、半径 3/2 の円です。円上の 1 + i は A から1、B から3の距離にあります。B は円上にありません。円の式を逆に変形し、距離が非負であることを使えば十分性も得られます。

4. z = x + yi とすると、二乗した式は次です。

x² + y² = s²((x - 6)² + y²)
(1 - s²)(x² + y²) + 12s²x - 36s² = 0

s = 1 なら 12x − 36 = 0 なので直線 x = 3 です。直線上では両距離の二乗が 9 + y² です。s ≠ 1 なら割って平方完成します。

x² + y² + 12s²x/(1 - s²) - 36s²/(1 - s²) = 0
(x + 6s²/(1 - s²))² + y² = 36s²/(1 - s²)²

中心は -6s²/(1 − s²)、半径は 6s/|1 − s²| です。s > 0 により半径は正です。例えば s = 2 では円上の4について、原点から4、6から2で、比は2です。一般の場合も完成した平方を戻し、非負の距離の平方根を取れば逆が成り立ちます。z = 6 は元の等式を満たさず、いずれの軌跡にも入りません。

5. z ≠ 1 + 3i とします。z = x + yi として計算します。

|z - (1 - i)| = 2|z - (1 + 3i)|
(x - 1)² + (y + 1)² = 4((x - 1)² + (y - 3)²)
3(x - 1)² + 3y² - 26y + 35 = 0
(x - 1)² + (y - 13/3)² = 64/9

中心 1 + (13/3)i、半径 8/3 の円です。分母を0にする 1 + 3i は中心から 4/3 の距離にあり、円上にありません。円上の 1 + (5/3)i では2つの距離が 8/3 と 4/3 で、比は2です。逆向きにも平方完成を戻し、両距離の非負性を使うと円全体が条件を満たします。

手元に残す要点

距離比の順序を、絶対値の分子と分母に対応させます。
比が1なら二次の項が消え、垂直二等分線です。
比が1以外なら平方完成で中心と半径を求めます。
最後に逆算と分母非零を確かめます。

手が止まる場所を見分ける

中心の分母が0になる答案では、最初に比が1かどうかを判断したかを確かめます。円は描けても比の向きが怪しい場合は、円と固定点を結ぶ直線との交点を1つ選び、2つの距離を別々に計算すると誤りが見えます。個別指導では、生徒に等式の両辺がそれぞれどの距離を表すかを説明してもらい、二乗から戻すときの非負性と分母の条件を式の横に書けるかを確認します。円や直線の形を出した後も、元の距離へ戻す一手が軌跡の範囲を決めます。