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高校数学C 偏角が一定の軌跡—円弧のどちら側かを角と除外点から決める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

商の偏角の向きと端点の除外から、円弧の上下を判定する偏角の軌跡をたどります。

よくあるのは、理系高3が偏角の条件から円を描き、同じ円の反対側の弧まで解に含める場面です。円周角の大きさが似ているため、向きの情報が消えたことに気づきにくいのです。商の分子と分母を点から出る2本の線分に対応させ、角の向き、端点、逆向きの確認まで順に追います。

要点（結論から）

商の分母から分子へ角の向きを測ります。
分子0と分母0を除き、偏角の代表値を指定します。
円の式に加えて虚部の符号で弧を選びます。

角の条件を読む入口

固定された異なる2点 A、B の複素数を a、b、動点 P の複素数を z とします。arg((z-a)/(z-b)) の値を指定する問題では、まず z が a と b のどちらにも等しくないことを確認します。分子が0なら商の偏角がなく、分母が0なら商そのものが定義されないからです。この2点は図の上で白丸にしておきます。

問われ方には、指定された角から弧を選ぶ型、円の式を先に作ってから弧を絞る型、複数の角の条件を同時に満たす点を求める型があります。いずれも出発点は同じです。分母の z-b の向きから分子の z-a の向きへ、反時計回りを正として測ります。角の大きさだけを使う円周角の定理は便利ですが、その時点で向きの情報が失われます。最後に符号を戻して候補を選ぶ必要があります。

偏角の代表値は以下では -π < arg w ≤ π とします。ただし w は0でない複素数です。角の差がこの区間に入らなければ、2πの整数倍を加減してから比べます。指定された角が0やπの場合は、円弧の公式をそのまま使わず、商が正または負の実数になる一直線上の位置を別に調べます。

商の虚部が弧の側を教える

P から A へ向かう複素数は a-z、P から B へ向かう複素数は b-z です。両方の符号を変えても商は変わらないため、(z-a)/(z-b) = (a-z)/(b-z) です。したがって商の偏角は、線分 PB の向きから線分 PA の向きへの向き付き角です。通常の内角は0からπまでの大きさですが、ここでは回す向きも区別します。

図1のように A = -2、B = 2 を実軸上に置いた場合を考えます。P が上側にあると、PB から PA への回転は時計回りで、偏角は負です。下側では反時計回りで正になります。図1の上下は、後で計算する商の虚部の符号とも一致します。

実際に z = x + yi とすると、z ≠ 2 のもとで分母に共役を掛けられます。

(z+2)/(z-2) = ((x+2)+yi)((x-2)-yi)/((x-2)²+y²)
             = (x²+y²-4-4yi)/((x-2)²+y²)

分母は正なので、商の虚部の符号は -y の符号です。0 < arg((z+2)/(z-2)) < π なら y < 0、-π < arg((z+2)/(z-2)) < 0 なら y > 0 です。偏角がπの場合は虚部が0となるので、実軸上の位置を調べます。固定点の配置が変わればこの符号の対応も変わるため、図だけを暗記せず商の順序を確かめます。実部と虚部を同時に使えば、直角以外でも円の方程式と弧の選別を行えます。

基本例題：直角の弧を選ぶ

A を -2、B を 2 とします。-π < arg w ≤ π として、arg((z+2)/(z-2)) = π/2 を満たす点 P の軌跡を、方程式と範囲で表してください。

まず z ≠ -2、z ≠ 2 です。上の商の表示で偏角が π/2 となる条件は、実部が0で虚部が正であることです。分母は正なので、次の条件と同値です。

x² + y² - 4 = 0
-4y > 0
y < 0

よって答えは x² + y² = 4、y < 0 です。中心が原点、半径が2の円の下半分で、両端 A、B は含みません。図2では下側の弧が条件に合い、上側は逆向きの角になります。

逆も確かめます。円上で y < 0 なら z は2点と異なり、商の実部は0、虚部は正です。したがって偏角は指定区間で π/2 となり、下半円の各点が実際に条件を満たします。たとえば P = -2i では、商は i です。PB から PA への向きも反時計回りの直角なので、計算と図が一致します。

円周角の定理からも候補の円を見つけられます。直径 AB を見込む角が直角だからです。ただし通常の角が直角という情報は上半円にも当てはまります。商の偏角が正という条件を使うまで、下半円に決めてはいけません。円の式が必要条件であることと、選んだ弧の全点が十分であることは別々に確認します。

標準例題：直角以外で円を作る

A を -1、B を 1 とします。-π < arg w ≤ π として、arg((z+1)/(z-1)) = π/4 を満たす点の軌跡を方程式と範囲で表してください。

z = x + yi と置きます。z ≠ ±1 のもとで、共役を使って次を得ます。

(z+1)/(z-1) = ((x+1)+yi)((x-1)-yi)/((x-1)²+y²)
             = (x²+y²-1-2yi)/((x-1)²+y²)

偏角が π/4 であることは、実部と虚部が等しく、どちらも正であることと同値です。したがって

x² + y² - 1 = -2y
-2y > 0
x² + (y+1)² = 2
y < 0

答えは中心 -i、半径 √2 の円のうち y < 0 の部分です。実軸との交点は A、B であり、不等号が厳密なので両端を含みません。中心が下にあるため、この弧は円の半分より長い弧です。図を描くときに「下側だから短い弧」と決めないことが大切です。

逆にこの円上で y < 0 なら、商の実部と虚部は等しく正です。商は0でなく、偏角は π/4 です。例えば x = 0、y = -1-√2 は条件を満たします。実際、実部の分子は y²-1 = -2y で正、虚部の分子も -2y で正です。式の上でも点の位置でも元の条件へ戻りました。

分かれ目は、円周角から候補を描くか、商の実部と虚部から直接求めるかです。直角なら実部0が短い道です。π/4 なら実部と虚部の等しさを使えます。ただし等しいという方程式には両方が負の偏角 -3π/4 も含まれるので、正負の確認が必要です。

発展例題：2つの条件の共通点

A を -3、B を 3 とします。-π < arg w ≤ π として、arg((z+3)/(z-3)) = -π/2 かつ |z-2i| = 1 を満たす z を、根号を用いて求めてください。

第1条件の分母は0でなく、分子も0でありません。z = x + yi と置いて整理します。

(z+3)/(z-3) = (x²+y²-9-6yi)/((x-3)²+y²)

偏角が -π/2 となるには実部が0、虚部が負です。よって第1条件は x² + y² = 9、y > 0 と同値です。第2条件を二乗すると x² + (y-2)² = 1 です。2式を比較します。

x² + y² = 9
x² + y² - 4y + 4 = 1
9 - 4y + 4 = 1
y = 3
x² = 0
x = 0

候補は z = 3i です。y > 0 を満たし、±3 でもありません。元の商は (3i+3)/(3i-3) = -i なので、偏角は -π/2 です。また |3i-2i| = 1 です。2つの円が接するこの例では、代入後に x² = 0 となるので交点は1点です。二乗して作った円の交点だけで終えると、反対側の弧や除外点を拾う場合があります。最後に両方の元の条件を確かめます。

反対側の弧を含める誤り

基本例題で「x² + y² = 4 だから円全体」と答えるのは誤りです。原因は、実部が0という条件から偏角の向きを判定せずに終えたことです。実部0の非零複素数には、正の純虚数と負の純虚数の両方があります。前者の偏角は π/2、後者は -π/2 です。

図3のように上側の P = 2i を調べると、(2i+2)/(2i-2) = -i です。下側の -2i は i でしたから、同じ円でも符号が逆です。図3の白丸は端点であり、どちらも偏角の式に代入できません。

修正するときは、円の式の横に虚部の符号を書き足します。さらに不等号に等号をつけて端点を混ぜないようにします。例えば y ≤ 0 とすると ±2 が入り、分子0または分母0となります。点を1つ代入する検査は弧の側を発見する手助けになりますが、全点が条件を満たす証明にはなりません。一般の x、y で符号を確認し、逆向きも述べます。

もう1つの誤りは、商を逆にして角の符号を変えることです。PB から PA へ測るのか、PA から PB へ測るのかを式の分母から分子の順に読み直します。0やπのときは上下の弧ではなく直線上の位置が対象になるので、正負の実数条件に戻ります。

練習問題

各問で -π < arg w ≤ π とします。軌跡は方程式と範囲で表し、点を求める問は厳密な値で答えてください。

arg((z+4)/(z-4)) = -π/2 を満たす点の軌跡を求めてください。
arg((z+5)/(z-5)) = π/2 と |z+4i| = 1 を同時に満たす z を求めてください。
arg((z+2)/(z-2)) = 0 を満たす点の軌跡を求めてください。
arg((z+6)/(z-6)) = π を満たす点の軌跡を求めてください。
arg((z+3)/(z-3)) = -π/4 を満たす点の軌跡を求めてください。

練習の解答と戻し方

z = x + yi とすると、商は (x²+y²-16-8yi)/((x-4)²+y²) です。分母は正です。実部0、虚部負より x²+y² = 16、y > 0 を得ます。逆にこの範囲では分子も分母も0でなく商は負の純虚数です。したがって上半円の各点は指定角を満たします。
商が正の純虚数となる条件は x²+y² = 25、y < 0 です。もう一方は x²+(y+4)² = 1 です。展開して前の式を代入すると 25 + 8y + 16 = 1、y = -5、x² = 0 です。答えは z = -5i です。商は i、距離は |-5i+4i| = 1 で、元の2条件に戻ります。
分母が0でないところで商の虚部が0となるには -4y = 0、つまり y = 0 です。さらに商が正の実数であるには (x+2)/(x-2) > 0 です。符号を分けると x < -2 または x > 2 です。逆にこの範囲では商は正で、偏角は0です。端点はそれぞれ分子0、分母0なので含みません。
虚部0から y = 0 です。指定区間では偏角 π は負の実数に対応します。(x+6)/(x-6) < 0 を解くと -6 < x < 6 です。逆にその範囲では商が負なので偏角は π です。両端を含めず、線分の内部を答えます。
商は (x²+y²-9-6yi)/((x-3)²+y²) です。偏角 -π/4 では実部が正、虚部がその負です。したがって x²+y²-9 = 6y、y > 0 です。平方完成して x²+(y-3)² = 18、y > 0 を得ます。逆にこの条件なら実部の分子は 6y > 0、虚部の分子は -6y < 0 で大きさが等しいため、偏角は -π/4 です。±3 は y > 0 に入らず除外されています。

要点

商の分母から分子へ角の向きを測ります。
分子0と分母0を除き、偏角の代表値を指定します。
円の式に加えて虚部の符号で弧を選びます。
選んだ点を元の条件へ戻して逆も示します。

弧の長さと指定角の関係

同じ端点を持つ円弧でも、中心が直線 AB のどちら側にあるかで、条件に合う弧が半円より長くなる場合があります。標準例題では円の中心が -i なので、実軸の下に中心があります。最下点は -i(1+√2)、最上点は i(√2-1) です。実軸より下の部分は半周より長く、それでも各点で指定される向き付き角は π/4 です。下側という言葉だけから短い弧を選ぶと、この部分を落とします。

端点の近くの点は条件を満たしても、端点そのものでは線分の向きが定まりません。近づけることと含めることは区別します。

円の式を作る際には、両辺を二乗する操作や分母を払う操作が逆向きにも正しいかを意識します。距離の二乗は非負ですが、偏角の方程式では実部と虚部の比だけを等しくすると符号が消えます。実部が正か負か、虚部が正か負かを別に残せば、π だけ異なる角を区別できます。指定された角が代表値の範囲に入っていない場合も、2π の整数倍で調整できるかを最初に確かめます。

途中の説明から見えるつまずき

円は描けるのに弧を決められないときは、商の分母と分子がそれぞれどの線分の向きかを口に出して確認します。図の上下を固定的な規則として覚えている場合は、A と B を入れ替え、商が逆数となって偏角の符号が反転することを試します。個別指導では、端点を代入できない理由と、選んだ弧の任意の点で虚部の符号が保たれる理由を式で説明できるかを確かめます。偏角の軌跡は、円と向きの両方で定まります。