高校数学C 行列の和と差—同じ分類の表を重ねて合計と増減を表現する｜武蔵野個別指導塾

在庫表の列順をそろえると、合計と増減を表せるのが行列の和と差です。

よくあるのは、理系の高3が別の日の在庫表を足すとき、列の品目順が変わったことに気づかず、同じ位置の数を足してしまう場面です。計算自体が合っていても、異なる品目を混ぜた数には、求めたい在庫の意味がありません。まず表の見出しと単位を調べ、それから行列の和や差を使います。以下の数量は計算のために作ったものです。

在庫の表で何を問われるか

出方の1つは、別々の場所にある同じ分類の品物を合わせる問題です。同じ日、同じ単位で数えた表なら、対応する場所の成分を足して合計表を作れます。もう1つは、後の時点の在庫から前の時点の在庫を引き、品目と場所ごとの増減を求める問題です。負の数は在庫が負という意味ではなく、その区分の在庫が減ったことを表します。

さらに、表の行や列の順序が入れ替わっている場合があります。数の並びをそのまま足す前に見出しをそろえ、同じ分類を同じ位置に置き直します。型が同じという計算上の条件と、同じ分類・単位が対応するという場面上の条件を分けて確認することが、この問題の要点です。和や差に絞り、行列の積は使いません。

同じ位置に何が入るか

行列の型は行数と列数で表します。例えば2行3列の行列は、横に3個の成分が並ぶ行が2つあります。2つの行列の和や差は、行数と列数がそれぞれ等しいときに定義され、結果も同じ型です。同じ位置の成分を足す、または左側の成分から右側の成分を引きます。型が異なれば、余る成分を勝手に補って計算することはできません。

数量表として用いるときは、型に加えて見出しの順序をそろえます。図1のように、行を棚A、棚Bの順、列を紙、封筒の順に固定すると、右上は棚Aの封筒を表します。別の表でも右上が同じ数量なら、その2つを足すことに意味があります。単位も両方とも個にそろえます。

図1の色を付けた位置は、行と列が交わる場所です。棚Aの紙と棚Bの封筒は対角線上にあっても別の分類です。数字がたまたま等しくても、見出しまで一致するとは限りません。行だけでなく列も照合してから操作します。

差の向きは言葉で決まります。「後から前を引く」と決めれば、正は増加、負は減少、0は変化なしです。逆順なら符号が逆になります。また、増減は2時点の差なので、途中に入庫と出庫が両方あったかどうかまでは決まりません。例えば差が3個でも、3個の入庫だけだった場合と、5個入庫して2個出庫した場合を区別できません。

表の合計を求める際には、同じ数量を重ねて数えていないかも調べます。例えば同じ棚の朝と夕方の在庫を足した値は、2時点で記録した個数の和です。朝から夕方までに扱った別々の品物の総数とは限りません。和を作る操作が可能でも、その結果にどんな意味を与えられるかは元の記録の取り方で変わります。

差でも同様に、比較する対象の範囲が変われば、数の差をそのまま増減と呼べません。棚の移設や数える単位の変更がある場合は、その影響を記録から確認し、同じ対象にそろえてから比較します。条件が不足するなら、数を補って答えを決めることはできません。

基本例題：2か所の箱を合わせる

同じ日に、箱Pと箱Qにあるカードの枚数を調べます。行は赤、青の順、列は大、小の順です。箱Pの表をA、箱Qの表をBとし、両箱を合わせた枚数を同じ順の行列で求めてください。単位は枚です。

A = [ 4  7 ]     B = [ 3  2 ]
    [ 6  5 ]         [ 8  1 ]

AとBはともに2行2列で、行と列の分類、単位も一致します。図2のように赤の小は、それぞれの表の右上なので、7枚と2枚を合わせます。他の位置も同じように計算します。

A + B = [ 4 + 3  7 + 2 ]
        [ 6 + 8  5 + 1 ]
      = [ 7   9 ]
        [ 14  6 ]

答えは、行が赤、青、列が大、小の順で、上の行列の各成分に枚を付けたものです。例えば左下の14枚は青の大がPに6枚、Qに8枚あることに戻して確かめられます。結果の全成分を合計すると36枚で、箱Pの22枚と箱Qの14枚を合わせた36枚にも一致します。

この合計を作れるのは、それぞれのカードがPかQの一方に入っているからです。同じカードを両方の表で重複して数えていたら、和は記録された数の合計にはなっても、異なるカードの枚数にはなりません。計算の前に、何を1枚として数えたかも確認します。

標準例題：列順を直して増減を求める

ある保管室の部品数を、朝と夕方に記録しました。行はいずれも棚A、棚Bの順です。朝の列はねじ、ナットの順、夕方の列はナット、ねじの順です。単位は個で、朝の表をC、夕方の表をDとします。夕方から朝を引いた増減表を、行は棚A、棚B、列はねじ、ナットの順で求め、各成分の意味を述べてください。

C = [ 12  8 ]     D = [ 11  15 ]
    [  7  9 ]         [  6   5 ]

まずDの列を入れ替え、求める順序にそろえます。見出しと数を一緒に動かすので、棚Aのねじは15個、棚Bのナットは6個です。順序を直した表をD′とします。

D′ = [ 15  11 ]
     [  5   6 ]
D′ - C = [ 15 - 12  11 - 8 ]
          [  5 -  7   6 - 9 ]
       = [  3   3 ]
         [ -2  -3 ]

棚Aではねじが3個、ナットが3個増えました。棚Bではねじが2個、ナットが3個減りました。検算は、朝の各数に増減を戻します。棚Aは12 + 3 = 15、8 + 3 = 11、棚Bは7 − 2 = 5、9 − 3 = 6です。これらを夕方の元の表の見出しと照らすと、ねじ・ナットそれぞれの個数に戻ります。

差の表から途中の動きは特定できません。棚Bのねじは最終的に2個減ったといえますが、入庫がなかったとは限りません。朝と夕方が同じ単位、同じ棚の範囲で数えられていることも、比較する前提です。

発展例題：欠けた記録と成立する条件

2つの倉庫X、Yについて、行をX、Y、列を部品a、部品bの順とする朝の個数表Eと、夕方の個数表Fを考えます。夕方から朝を引いた増減表Gが次のとおりです。朝のXの部品bは6個、Yの部品aは9個です。残りは文字で示します。夕方のXの部品aが10個、Yの部品bが4個になるとき、x、yを求め、朝と夕方の表を個数の行列で答えてください。

E = [ x  6 ]     G = [  2  -1 ]
    [ 9  y ]         [ -3   1 ]
F - E = G

各位置で「夕方 − 朝 = 増減」です。したがって夕方は朝に増減を加えた表です。対応する成分を使い、条件を代入します。

F = E + G
  = [ x + 2  6 - 1 ]
    [ 9 - 3  y + 1 ]
  = [ x + 2  5 ]
    [ 6      y + 1 ]
x + 2 = 10
x = 8
y + 1 = 4
y = 3

よって朝と夕方の表は次のとおりです。

E = [ 8  6 ]     F = [ 10  5 ]
    [ 9  3 ]         [  6  4 ]
F - E = [ 10 - 8  5 - 6 ]
        [  6 - 9  4 - 3 ]
      = [  2  -1 ]
        [ -3   1 ]

各成分は非負の整数なので、個数としても条件に合います。Xの部品aは朝8個から2個増えて10個、Yの部品bは朝3個から1個増えて4個です。残りの2区分も朝6個から1個減って5個、朝9個から3個減って6個となり、与えられた増減を再現します。

この確認は形式上の計算と数量の条件を分けるために必要です。例えば別の条件から朝の個数が負になるなら、行列の式が作れても、その条件を満たす在庫は存在しません。また、増減表が欠けている区分まで勝手に0と置くと、変化が不明であることと変化がないことを混同します。

誤答から順序を直す

標準例題で、夕方の元のDからCをそのまま引くと、次の計算になります。

D - C = [ 11 - 12  15 - 8 ]
        [  6 -  7   5 - 9 ]
      = [ -1   7 ]
        [ -1  -4 ]

数の引き算としては正しく、2つの行列の型も同じです。しかし左上は夕方の棚Aのナット11個から朝の棚Aのねじ12個を引いています。求めたい同じ品目の増減ではありません。図3のように、夕方の見出しごと列を入れ替えてから引きます。

図3で線が交差するのは、2列の位置を入れ替えるためです。直した左上は15 − 12 = 3で、棚Aのねじの増加3個になります。引く順序も逆にすると、同じ3個でも減少を表す符号になってしまいます。列の対応と差の向きは別々に点検します。

型が違う場合も、足りない成分を0として扱ってはいけません。0はその区分に数量がないという記録であり、そもそも区分がない、あるいは記録が欠けていることとは異なります。必要な分類と値を問題の条件から確認できなければ、求める数量表は決まりません。

練習問題

いずれも数は自作の条件です。行列の答えには行・列の順と単位を添えてください。

1. 2つの教室の教材数を、行を冊子、地図、列を大型、小型の順で記録しました。個数表がそれぞれ [2, 5; 3, 4]、[6, 1; 2, 7] のとき、合計表を求めてください。ここでセミコロンは行の区切りです。
2. 花壇の苗の数を、行を東、西、列を白、黄の順で記録しました。朝は [10, 8; 6, 12]、夕方は [7, 11; 9, 10] です。夕方から朝を引いた増減表を求め、負の成分を言葉で表してください。単位は株です。
3. 文具の数を、行を机A、机Bの順で記録しました。午前の列は鉛筆、消しゴム、午後の列は消しゴム、鉛筆の順です。午前は [4, 9; 7, 3]、午後は [5, 8; 6, 10] です。午後から午前を引いた増減表を鉛筆、消しゴムの順で求めてください。単位は個です。
4. 2行3列の表と3行2列の表があります。両方に6個の成分があるとき、行列として和を定義できるか、理由とともに答えてください。
5. 行を棚C、棚D、列を箱、袋の順とする朝の個数表が [p, 4; 5, q]、夕方から朝を引いた増減表が [-2, 3; 1, -4] です。夕方の棚Cの箱が7個、棚Dの袋が2個のとき、p、qと夕方の表を求めてください。

練習の解答と解き方

1

同じ位置の教材を合わせます。

[ 2  5 ] + [ 6  1 ] = [ 2 + 6  5 + 1 ]
[ 3  4 ]   [ 2  7 ]   [ 3 + 2  4 + 7 ]
                      = [ 8   6 ]
                        [ 5  11 ]

行は冊子、地図、列は大型、小型で単位は個です。地図の小型は4 + 7 = 11個です。合計も14個と16個を合わせた30個になり、結果の成分の合計30個と一致します。

2

夕方から朝の順に引きます。

[ 7  11 ] - [ 10   8 ] = [  7 - 10  11 - 8 ]
[ 9  10 ]   [  6  12 ]   [  9 -  6  10 - 12 ]
                         = [ -3   3 ]
                           [  3  -2 ]

行は東、西、列は白、黄で単位は株です。東の白は3株減り、西の黄は2株減りました。朝の各数にこの表を足すと7、11、9、10となり、夕方の各区分に戻ります。

3

午後の列を鉛筆、消しゴムの順に直し、午前を引きます。

午後 = [  8  5 ]
       [ 10  6 ]
増減 = [  8 - 4  5 - 9 ]
       [ 10 - 7  6 - 3 ]
     = [ 4  -4 ]
       [ 3   3 ]

行は机A、机B、列は鉛筆、消しゴムで単位は個です。例えば机Aの消しゴムは9個から5個となり4個減です。午前の各数に増減を足すと、午後の元の記録を見出しに従って再現します。

4

和は定義できません。2行3列と3行2列では行数も列数も異なり、同じ行と列の位置を対応させられないためです。成分の総数が同じであることは、型が同じであることを意味しません。

5

夕方は朝に増減を足した表です。指定された位置からpとqを求めます。

p - 2 = 7
p = 9
q - 4 = 2
q = 6
夕方 = [ 9 - 2  4 + 3 ]
       [ 5 + 1  6 - 4 ]
     = [ 7  7 ]
       [ 6  2 ]

行は棚C、棚D、列は箱、袋で単位は個です。朝の表に各増減を戻すと、指定の7個と2個を含む夕方の表になります。朝と夕方の数は非負の整数で、個数の条件にも合います。

覚えておくこと

• 和と差は行数と列数がそれぞれ等しい行列で定義します。
• 数量表では行・列の分類順と単位もそろえます。
• 増減は後の数量から前の数量を引き、負なら減少です。
• 答えを各区分の元の数量に戻して確かめます。

記録からつまずきを見分ける

答えの数字だけでなく、見出しを書いた表と途中の式を見ます。型は合っているのに違う品目を引いたなら、列の見出しに印を付け、並べ替えた後の表を書いてから再計算します。正負が反対なら「後 − 前」を各成分の横に書き、元の在庫に差を戻します。

個別指導では、数値の正誤に加えて、どの棚のどの品目を1成分が表すかを口頭でも確かめます。欠けた記録を0とした場合は、その0が実際に与えられた数なのかを問題文へ戻って調べます。見出しの対応を残した計算は、在庫の変化を読み違えにくくします。