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高校数学A 接弦定理と相似の利用—接点を共有する三角形の対応から辺の比を出す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

接弦定理で見つけた等角から相似の頂点を対応させ、弦の長さと三角形の面積を求める式へつなげます。

よくあるのは、接線と弦がつくる角と円周角が等しいと見つけたのに、相似な三角形の辺の比を逆に置いてしまう場面です。角を見つけるところまでは合っています。そこで止まらず、角の頂点を順に並べ、その両端を結ぶ辺どうしを対応させると、式の向きまで決められます。

どこから比が現れるか

円周上の点 A に接線があり、A から別の円周上の点 B に弦を引きます。接線と弦の角は、弦 AB を見込む適切な円周角に移せます。そこにもう1組の等角があれば、2つの三角形が相似です。角の情報が辺の長さに変わるのは、この相似を通じてです。

出方の1つは、接線と円を横切る直線の交点からできる2つの三角形を比べる型です。もう1つは、円周上に点を足し、接線と平行な直線によって三角形を作る型です。長さを直接求める問いのほか、辺の比や面積比を問う場合もあります。いずれも、線が接線であることと、円周上の点の位置を確認してから角を選びます。

接弦定理は角の等しさを与えますが、それだけでは辺の長さは決まりません。別の等角を共通の角、平行線、または円周角から探します。相似を書いた後も、必要な辺がどの頂点の間にあるかを見直してください。

接点から頂点を並べる

図1のように、円の外の点 P から円に接線 PA を引き、P を通る別の直線が円と B、C の順に交わるとします。A は接点で、A、B、C は異なる円周上の点です。P、B、C はこの順に一直線上にあり、三角形 PAB と PCA はつぶれていません。

図1では、接弦定理により ∠PAB = ∠ACB です。C から見た半直線 CB と CP は同じ向きなので、∠ACB = ∠PCA です。また、半直線 PB と PC は同じ向きなので、∠APB = ∠CPA です。2組の角がそれぞれ等しいため、次の順序で相似が成立します。

△PAB ∽ △PCA

この順序は P ↔︎ P、A ↔︎ C、B ↔︎ A を意味します。したがって PA ↔︎ PC、AB ↔︎ CA、PB ↔︎ PA です。辺の名前を両方とも左から右へ読むのではなく、端点の対応から判断します。たとえば AB の端点 A、B に対応するのは C、A ですから、対応する辺は CA です。

対応をそのまま式に移すと、PA/PC = AB/CA = PB/PA です。どの比も、左の三角形の辺を分子、右の三角形の対応辺を分母にしています。全部を逆にして PC/PA = CA/AB = PA/PB と書いても正しいですが、1組だけ逆にすることはできません。

接弦定理では、接線のどちら向きの半直線を使うかと円周角の頂点が弦のどちら側にあるかが重要です。図1の角は、半直線 AP と AB がつくる角に対応する円周角を使っています。反対向きの接線を使うと、一般にはその角の補角になります。図を回転しても、弦と角の位置関係を追えば判断できます。

基本例題：対応する辺から弦を求める

円の外部に点 P があり、PA は接点 A における接線です。直線 PBC は円と B、C の順に交わります。PA = 6、PB = 4、AC = 9 のとき、弦 AB の長さを求めてください。答えは既約分数で表します。

図2のように、まず PA と AC を結びます。接弦定理から ∠PAB = ∠PCA、P の角は共通です。よって △PAB ∽ △PCA です。頂点の対応は P ↔︎ P、A ↔︎ C、B ↔︎ A ですから、AB ↔︎ CA、PB ↔︎ PA となります。

AB/CA = PB/PA
AB/9 = 4/6
AB/9 = 2/3
AB = 9・2/3
AB = 6

求めた AB = 6 を相似比に戻すと、AB/CA = 6/9 = 2/3、PB/PA = 4/6 = 2/3 です。また PA/PC = 2/3 から PC = 9 で、P、B、C の順序に必要な PC > PB も満たします。整数 6 は既約分数 6/1 として表せます。

この例では、AB と AC がどちらも A を含むため、同じ位置の辺だと見誤りがちです。比の前に、AB の両端に対応する文字を C、A と書けば、分母が CA と決まります。図の見かけの傾きや上下の位置では決めません。

標準例題：全体の長さを取り戻す

円の外部に点 P があり、PA は接点 A における接線です。直線 PBC は円と B、C の順に交わります。PB = 5、BC = 15、AB = 7 のとき、PA と AC の長さをそれぞれ正の根号を用いて求めてください。

まず点の順序から、PC は外側の PB と円の内部の BC の和です。PC = 5 + 15 = 20 です。接弦定理と P の共通角から、基本例題と同じ対応で △PAB ∽ △PCA です。PA ↔︎ PC、PB ↔︎ PA を選び、PA を x とします。

PA/PC = PB/PA
x/20 = 5/x
x² = 100
x = 10

x は長さなので正の値を取ります。続いて AB ↔︎ CA を使います。

AB/CA = PB/PA
7/AC = 5/10
7/AC = 1/2
AC = 14

答えは PA = 10、AC = 14 です。PA/PC = 10/20 = 1/2、PB/PA = 5/10 = 1/2、AB/AC = 7/14 = 1/2 となり、3組の対応辺の比が一致します。PC − PB = 20 − 5 = 15 なので、与えられた BC にも戻ります。さらに三角形 PAB の辺は 5、7、10 で、三角形 PCA の辺はその2倍の 10、14、20 です。三角形の各2辺の和が残りの辺を上回ることも確認できます。

ここで BC = 15 を PC に入れると、円の外側の部分 PB が抜けます。P から C までを指でたどり、途中の B で区切って足すことが、計算前の確認です。

発展例題：比と面積を一緒に追う

円の外部に点 P があり、PA は接点 A における接線です。直線 PBC は円と B、C の順に交わります。PB = 8、PC = 18、△PAB の面積が 20 のとき、PA の長さと △ABC の面積をそれぞれ整数で求めてください。

接弦定理と P の角により △PAB ∽ △PCA です。PA = x とおき、対応する辺の比を用います。

PA/PC = PB/PA
x/18 = 8/x
x² = 144
x = 12

長さは正なので PA = 12 です。相似比は小さい三角形 PAB から大きい三角形 PCA へ 12/18 = 2/3 です。対応する高さも 2/3 なので、面積比は (2/3)・(2/3) = 4/9 になります。

△PAB の面積/△PCA の面積 = 4/9
20/△PCA の面積 = 4/9
△PCA の面積 = 20・9/4
△PCA の面積 = 45
△ABC の面積 = 45 - 20
△ABC の面積 = 25

B は線分 PC の内部にあるため、△PCA は △PAB と △ABC に分かれます。面積を引く理由はこの位置関係です。別の確認として、両三角形 PAB と ABC は直線 PC への高さが共通で、底辺 PB : BC = 8 : 10 = 4 : 5 です。したがって面積も 20 : 25 = 4 : 5 となり、求めた値が元の配置に戻ります。PA/PC = 12/18 = 2/3 と PB/PA = 8/12 = 2/3 も一致します。

面積比に相似比をそのまま使うのは誤りです。高さにも同じ倍率がかかるため、底辺の倍率と高さの倍率を掛けます。一方、同じ高さを共有する △PAB と △ABC については、底辺比をそのまま面積比にできます。どの三角形を比べているかで根拠が変わります。

条件が変わるときの選択

P、B、C がこの順で一直線上にあることは、P の2つの角が等しいと述べるために使っています。B が P を挟んで C の反対側にあれば、半直線 PB と PC の向きは反対です。同じ文字の並びを機械的に使わず、実際の角を取り直します。

また A が接点でない場合、PA と AB の角に接弦定理を適用できません。直線が円に接することを見た目で決めず、問題の条件や接点に引いた半径との垂直から確認します。A、B、C が重なる場合には三角形が成立せず、上の相似も使えません。

接点と割線の長さの積を扱う関係は別に整理できます。ここでは公式を先に当てる代わりに、必要な2組の角と辺の対応を毎回確認します。比を作る前に、どの点がどの点に移るかを言葉で示せるかが分かれ目です。

誤答を角から修正する

図3のように △PAB ∽ △PCA で、PB = 4、PA = 6、AC = 9 とします。AB を求める際、AB/AC = PA/PB と書くと、AB/9 = 6/4 となり、AB = 27/2 という誤答になります。

原因は、AB/AC では左の三角形の辺を分子にしたのに、PA/PB では右の三角形の辺を分子にしたことです。図3の対応は B ↔︎ A なので、PB に対応するのは PA です。AB/AC と同じ向きにそろえるなら PB/PA と書きます。

AB/AC = PB/PA
AB/9 = 4/6
AB = 6

修正した値は AB/AC = 6/9 = 2/3 で、PB/PA = 4/6 = 2/3 に一致します。誤答の 27/2 では AB/AC = 3/2 となり、同じ向きの比 2/3 と合いません。計算の途中で比の値が1より大きいか小さいかを比べると、逆転にも気づけます。ただし大小が合うだけでは十分ではなく、端点の対応まで確かめます。

練習問題

次の1〜5では、円の外部の点 P から円に接線 PA を引き、直線 PBC は円と B、C の順に交わります。A は接点で、A、B、C は異なります。長さは正とします。各問は独立です。

PB = 3、PA = 9、AC = 24 のとき、AB を既約分数で求めてください。
PB = 2、BC = 16、AB = 5 のとき、PA と AC を整数で求めてください。
PB = 9、PC = 25、△PAB の面積が 18 のとき、PA と △ABC の面積を整数で求めてください。
PA = 8、PC = 32、AB = 7 のとき、PB と AC を整数で求めてください。
PB = 6、PC = 24、△ABC の面積が 21 のとき、PA と △PAB の面積を整数で求めてください。

練習問題の解答と確認

どの問題も接弦定理から ∠PAB = ∠PCA、共通の P の角から △PAB ∽ △PCA です。対応は P ↔︎ P、A ↔︎ C、B ↔︎ A です。面積を扱うときは B が線分 PC の内部にあることも使います。

AB ↔︎ AC、PB ↔︎ PA より、AB/24 = 3/9 = 1/3 です。したがって AB = 8 です。8/24 = 3/9 で元の比を満たします。さらに PA/PC = 1/3 より PC = 27 > PB となり、点の順序と合います。
PC = PB + BC = 2 + 16 = 18 です。PA = x とすると x/18 = 2/x なので、x² = 36、x = 6 です。5/AC = 2/6 = 1/3 より AC = 15 です。6/18 = 2/6 = 5/15 で対応比が一致し、18 − 2 = 16 で BC も戻ります。
PA = x とすると x/25 = 9/x なので、x² = 225、x = 15 です。相似比は 15/25 = 3/5、面積比は 9/25 です。△PCA の面積は 18・25/9 = 50 ですから、△ABC の面積は 50 − 18 = 32 です。BC = 25 − 9 = 16 で、底辺比 PB : BC = 9 : 16 と面積比 18 : 32 が一致します。
8/32 = PB/8 なので PB = 2 です。また 7/AC = 2/8 = 1/4 より AC = 28 です。8/32 = 2/8 = 7/28 で元の比に戻り、2 < 32 なので B は P と C の間に置けます。
PA = x とすると x/24 = 6/x、x² = 144、x = 12 です。BC = 24 − 6 = 18 で、△PAB と △ABC は直線 PC への高さが共通です。面積比は PB : BC = 6 : 18 = 1 : 3 なので、△PAB の面積は 21/3 = 7 です。7 : 21 = 6 : 18、また 12/24 = 6/12 となり、面積と長さの条件に戻ります。

手元に残す4行

接線と弦の角を、位置の合う円周角に移します。等しい角の頂点を対応順に並べ、相似を書きます。対応辺の分子と分母の向きをそろえます。点の順序と長さ、面積を元の条件に戻します。

つまずきの見分け方

角は正しく取れるのに辺の比が逆になるなら、相似の式をいったん隠し、AB の両端 A、B がそれぞれどの頂点に対応するか説明してみてください。対応する辺を答えられなければ、図に戻って角の印を付け直します。角の選択で迷う場合は、接線の半直線の向きと、弦を見込む円周角の頂点の位置を確認します。

個別指導で確かめるときは、学習者に「なぜ P の角が共通なのか」「BC と PC の違いは何か」を図上で説明してもらいます。数字を変えたときも同じ対応が保たれるか、また面積では高さを共有するのか相似比を使うのかを言い分けられれば、式を選ぶ根拠が見えてきます。接点から始めた角の対応が、最後の長さまでつながります。