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高校数学A 円外の二割線の方べき—外側の部分と割線全体を区別して立式する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

円外の点から測る近い交点と遠い交点までの距離をそろえ、割線の積を使う立式と解の選別を練習できます。

よくあるのは、高1が円の外から引いた2本の直線を見て、円の内部にある2つの線分の長さを掛ける場面です。図に数字が並んでいると、目に入った長さをすぐ積にしたくなります。しかし、同じ積になるのは、それぞれの直線上で円外の点から測った2つの長さの組です。始点をそろえ、円に入る点と出る点を区別してから式に進みましょう。

どの長さを求める問題か

1つ目の型は、外側の部分と円内の部分が与えられ、もう一方の割線の長さを求める問題です。全体の長さが書かれていなければ、外側と円内を足して用意します。逆に全体と外側が与えられたときは、引き算で円内の長さを取り出します。

2つ目の型は、複数の長さに同じ文字が含まれる問題です。方べきの等式を展開すると二次方程式になることがあります。その解が正であるか、遠い点までの長さが近い点までの長さを上回るかを最後に確認します。方程式の解と、図形の条件に合う答えは同じとは限りません。

3つ目の型は、等式の根拠を説明する問題です。円周角から2組の角が等しい三角形を探し、対応順をそろえた相似比から積を導きます。式を覚えていても、どの点が同じ円周上にあるかを確かめる必要があります。

円外の点から測る2つの距離

図1のように、円の外に点 P を取り、P を通る異なる2直線が円とそれぞれ A、B および C、D で交わるとします。点の順序は P、A、B と P、C、D です。A と C が近い交点、B と D が遠い交点です。2直線はそれぞれ円と異なる2点で交わり、4点は同じ円周上にあります。

このとき、円外の二割線の方べきの定理は次の等式です。

PA・PB = PC・PD

PA は外側の部分、PB は P から円内を通って B までの全体です。したがって PB = PA + AB、同様に PD = PC + CD です。AB と CD は円内の部分であり、一般には AB・CD が方べきの積になるわけではありません。図1のように、どちらの積も始点が P であることが目印です。

なぜこの等式が成り立つのでしょうか。補助線 AD と BC を引き、三角形 PAD と三角形 PCB に注目します。P、A、B が一直線上にあり、P、C、D も一直線上にあるので、角 APD と角 CPB は同じ角です。また、角 PAD は角 BAD の補角で、角 PCB は角 DCB の補角です。A と C は弦 BD の同じ側にあるので、同じ弧 BD を見込む円周角 BAD と DCB は等しくなります。したがって、それぞれの補角である角 PAD と角 PCB も等しくなります。

2組の角がそれぞれ等しいため、三角形 PAD と三角形 PCB は、この順に相似です。対応は P と P、A と C、D と B です。したがって、対応する辺の比から次を得ます。

PA / PC = PD / PB
PA・PB = PC・PD

長さ PC、PB は正なので、比の分母にできます。証明では点の並びと円周上の4点が必要です。交点が重なって接する場合や、2本の直線が同じ場合は、この4点による相似の証明をそのまま使えません。円の内部を交点とする別の配置も、線分の組を同じ図で判断しないようにします。

基本例題：全体を足して作る

円の外の点 P を通る2直線が円と A、B および C、D で交わります。順序は P、A、B と P、C、D です。PA = 3、AB = 10、PC = 5 とするとき、CD の長さを既約分数で求めてください。

図2のように、まず PB は 3 + 10 = 13 です。CD を x とすると、PD = 5 + x です。外側の長さと全体の長さの積を、2本について等しくします。

3・13 = 5・(5 + x)
39 = 25 + 5x
5x = 14
x = 14/5

答えは CD = 14/5 です。実際に戻すと PD = 5 + 14/5 = 39/5 で、5・(39/5) = 39 です。もう一方も 3・13 = 39 となります。CD は正なので、C より先に D があるという順序にも合います。

ここで 3・10 = 5・x とすると、外側と円内を掛けていることになります。方べきで使うのは 3・13 と 5・(5 + x) です。図2のように全体を作る一手間を式の前に書けば、足し忘れを見直せます。

標準例題：文字を置く場所を決める

円外の点 P からの2直線が円と、順に A、B および C、D で交わります。PA = 4、AB = 8、PC = x、CD = 2 とします。x を正の数として、既約分数または整数で求めてください。

PB = 4 + 8 = 12、PD = x + 2 です。円外の点が共通であり、それぞれ2つの交点があるので、方べきの定理を使えます。

4・12 = x・(x + 2)
48 = x² + 2x
x² + 2x - 48 = 0
(x + 8)(x - 6) = 0
x = -8 または x = 6

PC は長さなので x > 0 です。負の解 -8 は条件を満たさず、答えは x = 6 です。これを戻すと PD = 8 で、PC・PD = 6・8 = 48 です。PA・PB = 4・12 = 48 と一致し、CD = 8 − 6 = 2 も元の条件に戻ります。

負の解を捨てる理由は、計算を簡単にするためではありません。文字が表すものが長さであるためです。文字が長さの差を表す問題では負の値を取ることもあり、そのときは問題文から範囲を考えます。何を文字で表したかを式の横に残すと、選別の根拠を説明できます。

発展例題：正の解でも順序を点検する

円外の点 P を通る2直線が円と、順に A、B および C、D で交わります。PA = 2、PB = 15、PC = x、PD = 2x − 1 とします。x を整数で求めてください。

ここでは円内の長さではなく、遠い交点までの全体が文字で表されています。よって PD にさらに PC を足しません。また C が D より近いため、x > 0 と 2x − 1 > x の両方が必要です。後者から x > 1 となります。

2・15 = x・(2x - 1)
30 = 2x² - x
2x² - x - 30 = 0
(2x - 5)(x + 3) = 0
x = 5/2 または x = -3

この条件では正の候補 5/2 は整数でないため、指定された整数の答えはありません。もう一方は負なので、長さの条件にも合いません。もし答えの形が正の数でよいなら、x = 5/2 は順序も満たします。その場合 PD = 4、CD = 4 − 5/2 = 3/2 で、(5/2)・4 = 10 ではなく、元の 30 と一致しません。

上の因数分解を点検すると、(2x − 5)(x + 3) = 2x² + x − 15 であり、元の式と異なります。この失敗を修正します。元の方程式を平方完成して解き直します。

2x² - x - 30 = 0
16x² - 8x - 240 = 0
(4x - 1)² = 241
4x - 1 = √241 または -√241
x = (1 + √241)/4 または (1 - √241)/4

これが元の方程式の2つの解です。正の解は整数ではなく、負の解は長さに合いません。問題の指定に合う整数はありません。正の解を元の積に戻すと、x・(2x − 1) = ((1 + √241)/4)・((√241 − 1)/2) = 240/8 = 30 です。さらに √241 > 3 なので x > 1、点の順序にも合います。答えの形式と図の条件の両方を別々に確かめる例です。

定理を使う前の分かれ目

まず共通の点が円の外にあるかを見ます。次に、各直線が円に2点で交わり、近い点と遠い点が異なるかを見ます。線分の名前が似ていても、PA と AB は始点が違います。AB が与えられたら PB に直してから積に入れます。

全体が与えられたときは、近い点までの長さを引けば円内の長さです。全体より外側が長い設定なら、その点の順序では図が成立しません。計算結果が正でも、たとえば PD が PC 以下なら C と D の指定順序を満たしません。等しい場合は2つの交点が重なり、2点で交わる条件が失われます。

方べきの等式が成り立つことを使って長さを求める場合と、等式から円周上にあることを示す場合は、論理の向きが異なります。後者には別途、点の位置や逆の根拠が必要です。この文章では、同じ円と2本の割線が既に与えられている場合を扱います。

計算結果が示すものを見分ける

図形が実際に存在することと、式の計算ができることも区別します。円が先に与えられている問題なら、相似により2つの積が等しいとわかります。一方、適当に4つの数を並べて積が等しいことを確かめても、指定された順序まで自動的に満たされるわけではありません。近い点までの距離が遠い点までの距離より小さいことを各直線で確認します。

たとえば、ある割線で外側が a、円内が b と与えられたとします。両方が正なら全体は a + b であり、方べきの積は a・(a + b) です。a・b を使った場合との差は a² です。a は正なので、この差は0になりません。円内の長さをそのまま全体と取り違えると、積を必ず小さく見積もります。

また、円内の長さを求めるのに、割り算で得た全体の値をそのまま答える失敗もあります。全体を求めた後に外側を引き、その差が正か確認します。答えが0なら2つの交点が重なっていることになり、この節で仮定した2点の割線にはなりません。負なら遠近の指定に反します。

誤答から線分を取り直す

図3のように PA = 3、AB = 10、PC = 5 として、CD を x と置きます。「3・10 = 5・x」と書いたとします。ここから x = 6 と計算できても、それは元の図に対する方べきの式ではありません。

原因は、10 と x がどちらも円内の部分である一方、積に必要な遠い点までの全体ではないことです。図3のように P を始点として指でたどると、B までは 3 + 10、D までは 5 + x です。正しい式は 3・13 = 5・(5 + x) で、x = 14/5 と直ります。

誤答の x = 6 を元の図へ戻すと、PD = 11 です。すると PC・PD = 55 となり、PA・PB = 39 と一致しません。答えを元の図に戻して2つの積を比較すれば、計算の途中で見逃した線分の選び違いも発見できます。

練習：順序から式を作る

各問で P は円の外にあり、異なる2直線は円とそれぞれ2点で交わります。点の順序は P、A、B と P、C、D です。長さは同じ単位で表します。求める長さは整数または既約分数で答えてください。

PA = 2、AB = 7、PC = 3 のとき、CD を求めてください。
PA = 5、PB = 12、PC = 4 のとき、CD を求めてください。
PA = 3、AB = 7、PC = x、CD = 7 のとき、正の長さ x を求めてください。
PA = 4、PB = 9、PC = x、PD = x + 5 のとき、正の長さ x を求めてください。
PA = 3、PB = 8、PC = 6、PD = 4 とする図は、指定した点の順序で成立するか判定してください。

練習の答えと確かめ

PB = 2 + 7 = 9 とし、CD = y と置きます。2・9 = 3・(3 + y) より 18 = 9 + 3y、y = 3 です。PD = 6 を戻すと 3・6 = 18 = 2・9、また CD = 6 − 3 = 3 です。答えは 3 です。
CD = y とすると、5・12 = 4・(4 + y) です。60 = 16 + 4y、4y = 44、y = 11 です。PD = 15 として 4・15 = 60、PB − PA = 12 − 5 = 7 も正で、与えられた順序に合います。答えは 11 です。
PB = 3 + 7 = 10、PD = x + 7 とします。3・10 = x・(x + 7) より x² + 7x − 30 = 0、(x + 10)(x − 3) = 0 です。x は正なので x = 3 です。PD = 10、CD = 10 − 3 = 7 で、3・10 = 3・10 と元の積も一致します。
4・9 = x・(x + 5) より x² + 5x − 36 = 0、(x + 9)(x − 4) = 0 です。正の解は x = 4 です。PD = 9 で PC より長く、4・9 = 36 と元のもう一方の積に一致します。CD = 9 − 4 = 5 も指定に合います。
積は 3・8 = 24、6・4 = 24 で一致します。しかし、順序 P、C、D なら PD > PC が必要です。4 < 6 なので指定の順序では成立しません。積の一致だけで図の条件まで済ませず、遠近を確認します。

持ち帰る要点

円外の共通点から、近い交点と遠い交点までの長さを組にします。円内の部分が与えられたら外側に足して全体を作ります。二次方程式の解は正値、点の順序、指定された答えの形に戻して選びます。

式が立たないときは、各線分の始点を声に出して追ってみてください。個別指導で確かめるなら、まず PA、AB、PB を図上で指し、なぜ PB が和になるかを説明してもらいます。次に2つの三角形の対応を示し、最後に解を元の長さに戻して遠近と積を確かめます。円外の方べきは、点の順序を読むところから始まります。