高校数学II 常用対数の計算—整数部分と小数部分を分けて数の大きさと対応させる｜武蔵野個別指導塾

負の常用対数を整数部分と小数部分に分け、和が元の値に戻るか確かめます。積や商の計算では近似値の上下限も追います。

よくあるのは、負の常用対数を見た高2が、整数部分を零に近い整数で答えるという場面です。例えば -1.7を-1と0.7に分けると、足しても元の数に戻りません。整数部分をどちら側に取るかを数直線で見直すと、正の数と同じ約束で扱えます。対数の値の計算と、そこから元の正の数の範囲を読むことをつなげましょう。

要点（結論から）

• 真数は正、底は10です。
• 整数部分nはn ≤ y < n+1を満たします。
• 小数部分はy-nで、0以上1未満です。

どんな問いで使うか

常用対数は底が10の対数です。積や商を対数の和や差に直して値を求める問い、対数値の整数部分と小数部分を分ける問い、逆にその2つから元の数の範囲を読む問いがあります。まず底10の指数と対数を往復できること、正の数の積と商について対数の性質を使えることが出発点です。

近似値が与えられた場合には、計算された小数を厳密な値と混同しないことも必要です。近似の幅が整数をまたぐと整数部分は決められません。一方、幅全体が2つの連続する整数の間に入れば、近似値が少し動いても整数部分は変わりません。整数の桁数そのものはここでの主題にせず、10の累乗による数の大きさを扱います。

数学IIの学習範囲には対数の意味と性質、用語として常用対数が含まれます。以下の数値を使う問題は、条件を明記した自作の問いです。

整数部分は左の整数から測る

正の数Mについて、10のy乗がMであるとき、yをMの常用対数といい、log₁₀ Mと表します。10は正で1ではなく、真数Mは正です。Mが0以下なら、この実数の範囲の常用対数は定義されません。対数の値自体は負でもかまいません。例えば10⁻² = 1/100なので、log₁₀(1/100) = -2です。

実数yの整数部分をn、小数部分をrとすると、nは整数で、n ≤ y < n+1、r = y-nです。したがって0 ≤ r < 1です。小数部分という名前ですが、負の数の小数点以下をそのまま抜き出す操作ではありません。ちょうど整数なら小数部分は0です。

図1のように、負の値でもその点以下にある整数のうち最大のものを選びます。-1.7なら-2 ≤ -1.7 < -1なので、整数部分は-2、小数部分は0.3です。図1の矢印の長さが、左端の整数からの差を表します。

y = log₁₀ M = n+rならM = 10ⁿ・10ʳです。0 ≤ r < 1で底10の指数関数は増加するので、1 ≤ 10ʳ < 10、よって10ⁿ ≤ M < 10ⁿ⁺¹です。等号は左端に含まれ、右端には含まれません。例えばr = 0ならM = 10ⁿで、整数部分はnです。Mがその右の10の累乗に等しくなったら、整数部分はn+1へ移ります。

正のA、Bに対しては、log₁₀(AB) = log₁₀ A + log₁₀ B、log₁₀(A/B) = log₁₀ A − log₁₀ Bです。A = 10ᵘ、B = 10ᵛと置くと、指数法則から積は10の(u+v)乗、商は10の(u-v)乗となるので、この性質が成り立ちます。真数の和にはこの分解を使えません。計算を始める前に各真数が正か確かめます。

基本例題：小さい数の対数を分ける

正の数A = 0.002を考えます。log₁₀ 2 = 0.3010と近似して使うとき、log₁₀ Aの近似値、およびその整数部分と小数部分を求めてください。この例では近似値を計算に使い、その結果で整数部分が確定することを後で確かめます。真の値について0.3009 < log₁₀ 2 < 0.3011も与えます。

Aは正であり、0.002 = 2/1000です。商の性質を使い、1000 = 10³を用います。

log₁₀ A = log₁₀(2/1000)
          = log₁₀ 2 - log₁₀ 1000
          = log₁₀ 2 - 3
          ≒ 0.3010 - 3
          = -2.6990

-3 ≤ -2.6990 < -2です。したがって近似値の整数部分は-3、小数部分は-2.6990 − (-3) = 0.3010です。図2のように、-3から右へ0.3010進むと近似値に着きます。図2の右端は含まれず、その点では整数部分が-2に変わります。

与えられた幅から、真の対数値は-2.6991より大きく-2.6989より小さいとわかります。この区間全体が-3と-2の間にあるため、真の値の整数部分も-3です。真の小数部分は0.3009より大きく0.3011より小さく、その近似値が0.3010です。

元の数に戻しても、10⁻³ = 0.001、10⁻² = 0.01であり、0.001 < 0.002 < 0.01です。これは整数部分-3と整合します。単に負号を消して0.6990を小数部分とする方法では、-3に足して元の値へ戻れません。

標準例題：積と商を近似の幅で追う

正の数B = 7/400を考えます。0.8450 < log₁₀ 7 < 0.8452、0.3010 < log₁₀ 2 < 0.3011とします。log₁₀ Bの範囲を小数第4位までの端点を使って表し、真の整数部分と小数部分の範囲を求めてください。与えられた不等式の端点は含みません。

400 = 4・100 = 2²・100です。すべての真数は正なので、商と積の性質を順に使えます。

log₁₀ B = log₁₀ 7 - log₁₀ 400
          = log₁₀ 7 - log₁₀(2²・100)
          = log₁₀ 7 - 2log₁₀ 2 - 2

下側を作るには、引く数が大きい側を使います。上側では引く数の小さい側を使います。

log₁₀ B > 0.8450 - 2・0.3011 - 2
          = -1.7572
log₁₀ B < 0.8452 - 2・0.3010 - 2
          = -1.7568

範囲全体が-2以上-1未満なので、整数部分は-2です。両端に2を足せば小数部分は0.2428より大きく0.2432より小さいと求まります。端点はいずれも含みません。元のBは7/400 = 0.0175であり、0.01 < B < 0.1も成り立ちます。対数の整数部分-2と一致します。

別の計算順として、まずlog₁₀ 400の幅を求めてから引いても同じです。幅を持つ数どうしの差で、両方の下端を引き算すると下限とは限りません。符号が負になった項は、大小の向きが反転することを確認します。

発展例題：精度が足りるかを判定する

正の数C = 3/8を考えます。0.4770 < log₁₀ 3 < 0.4772、0.3010 < log₁₀ 2 < 0.3011を使い、log₁₀ Cとその小数部分の範囲を小数第4位までの端点で求めてください。さらに、与えられた精度で小数部分を小数第3位まで四捨五入した値が一意に決まるか判定してください。

8 = 2³であり、真数はどれも正です。商と累乗の性質から、次のように進みます。

log₁₀ C = log₁₀ 3 - log₁₀ 8
          = log₁₀ 3 - 3log₁₀ 2
log₁₀ C > 0.4770 - 3・0.3011
          = -0.4263
log₁₀ C < 0.4772 - 3・0.3010
          = -0.4258

この区間は-1と0の間なので整数部分は-1です。小数部分は1を足して、0.5737より大きく0.5742より小さいとわかります。範囲全体が0.5735以上0.5745未満に入るため、小数第3位まで四捨五入すれば0.574に決まります。元の数も1/10 < 3/8 < 1なので、整数部分-1に対応します。

もし与えられた幅が丸めの境界をまたぐなら、その幅からは一意に決められません。中心の値だけを計算して断定せず、より狭い範囲を求めるか、判定できないと答えます。同様に、対数値の範囲が整数をまたぐときは、整数部分についても追加の精度が必要です。誤差の幅は、何を答えられるかを決める条件です。

間違いを式に戻して直す

log₁₀ D = -1.7のとき、整数部分を-1、小数部分を0.7とする誤答を考えます。図3のように、この組は-1 + 0.7 = -0.3となり、元の-1.7に戻りません。負の符号を整数部分にだけ付け、残りを正の小数と見てしまったことが原因です。

修正は、まず-2 ≤ -1.7 < -1と書くことです。整数部分は-2、残りは-1.7 − (-2) = 0.3です。図3の正しい組では-2 + 0.3 = -1.7となります。さらに0 ≤ 0.3 < 1も満たします。

別の誤りとして、log₁₀(A+B)をlog₁₀ A + log₁₀ Bとすることがあります。A = 1、B = 9なら左辺はlog₁₀ 10 = 1、右辺はlog₁₀ 9です。右辺が1なら9 = 10となってしまうので等しくありません。積を和に直す性質であり、真数が和のままなら使えないと区別します。

練習：式と条件を往復する

次の5問を解いてから、まとめて下の解答を見てください。対数はすべて常用対数です。

1. log₁₀ E = -3.25である正の数Eについて、対数値の整数部分と小数部分を求め、Eを2つの連続する10の整数乗で挟んでください。
2. F = 0.0005について、log₁₀ 5 = 0.6990を近似値とし、log₁₀ Fの近似値と、その近似値の整数部分・小数部分を求めてください。
3. G = 9/20について、0.4771 < log₁₀ 3 < 0.4772、0.3010 < log₁₀ 2 < 0.3011を使い、log₁₀ Gの範囲と整数部分を求めてください。範囲は小数第4位までの端点で表します。
4. 正の数Hの常用対数の整数部分が2、小数部分が0.4です。log₁₀ Hを求め、Hを2つの連続する10の整数乗で挟んでください。
5. 正の数Jについて、-2.0002 < log₁₀ J < -1.9998とだけわかっています。この情報から整数部分が決まるか、理由とともに答えてください。

練習の答えと解き方

1. -4 ≤ -3.25 < -3なので整数部分は-4です。小数部分は-3.25 − (-4) = 0.75です。和は-3.25に戻り、0 ≤ 0.75 < 1です。底10の指数関数は増加するため、10⁻⁴ < E < 10⁻³です。両端は与えられた値と異なるので等号は付きません。

2. Fは正で、F = 5/10000です。商の性質から、

log₁₀ F = log₁₀ 5 - log₁₀ 10000
          = log₁₀ 5 - 4
          ≒ 0.6990 - 4
          = -3.3010

近似値は-4以上-3未満なので、その整数部分は-4、小数部分は0.6990です。実際に0.0001 < 0.0005 < 0.001です。ここで与えたのは近似値だけなので、真の小数部分が厳密に0.6990であるとは主張しません。

3. Gは正です。9 = 3²、20 = 2・10を使うと、

log₁₀ G = 2log₁₀ 3 - log₁₀ 2 - 1
log₁₀ G > 2・0.4771 - 0.3011 - 1
          = -0.3469
log₁₀ G < 2・0.4772 - 0.3010 - 1
          = -0.3466

範囲は-0.3469より大きく-0.3466より小さいので、整数部分は-1です。元のG = 0.45は1/10と1の間にあり、この判断と合います。引く項の上下を入れ替えて幅を作ることが要点です。

4. 定義によりlog₁₀ H = 2 + 0.4 = 2.4です。2 < 2.4 < 3だから、100 < H < 1000です。小数部分0.4は0以上1未満で、元の条件を満たします。

5. この情報からは決まりません。例えば許された範囲内の-2.0001は整数部分が-3、-1.9999は整数部分が-2です。それぞれを対数値に持つ正の数として10の-2.0001乗、10の-1.9999乗を考えられます。どちらも条件を満たすので、近似の中心が-2だからといって結論を固定できません。

要点

• 真数は正、底は10です。
• 整数部分nはn ≤ y < n+1を満たします。
• 小数部分はy-nで、0以上1未満です。
• 近似の幅が境界をまたぐか確かめます。
• 10ⁿ ≤ M < 10ⁿ⁺¹で元の数に戻します。

説明を聞いて確かめるところ

整数部分を答えられても、負の数でなぜ左の整数を選ぶかを説明できなければ、別の値で再び迷うことがあります。個別指導では、数直線に点を置き、小数部分を足して元の値に戻す説明を聞きます。積や商では真数の正の条件と、引く近似値の上下をどう選んだかも式に書いてもらいます。境界をまたぐ幅では答えを保留できることまで確かめると、常用対数の計算と数の大きさが結びつきます。