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高校数学II 対数方程式の置換—対数値を文字に置いて二次式を解き真数を求め直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 指数関数と対数関数を掘り下げる

対数値を置いた文字の範囲は実数全体です。二次方程式の負の根も残し、真数を経由して元の文字の解を選びます。

よくあるのは、高2が対数方程式を解く途中で、置き換えた文字にも正の条件を付けてしまう場面です。真数が正でなければならないことを覚えていても、その真数の対数値まで正とは限りません。例えば底が1より大きいとき、1より小さい正の真数の対数値は負です。条件が付く場所を区別すると、消してはいけない解が見えてきます。

何を置き換え、何を求めるか

出方は主に3型あります。対数値の二次式がそのまま現れる型、累乗の性質を使って同じ対数値にそろえる型、文字を含む真数をまとめて置き換える型です。どれも最後に求めるのは元の文字であり、二次方程式の文字を求めただけでは終わりません。

必要な道具は、対数と指数の対応、正の真数に対する累乗の性質、二次方程式の因数分解です。置換する前に底と真数を確かめ、置換後に文字の範囲を書き、元の文字に戻して元の式を調べます。符号の判定で止まったら、その文字が真数なのか対数値なのかを言葉にしてみてください。

学習範囲として、対数の意味と性質、対数関数の変化を使います。ここでは対数値の二次方程式に焦点を当て、対数不等式や最大最小には進みません。

真数と対数値の役割を分ける

底aが正で1でなく、真数Mが正のとき、logₐ M = tは、aのt乗がMであることを意味します。逆に、任意の実数tに対してaのt乗は正なので、それを真数に持つ対数の値はtです。この往復から、真数Mは正の範囲を動き、対数値tは実数全体を動くとわかります。

例えば底が3なら、真数1に対する値は0、真数1/3に対する値は-1です。負の値が現れても、真数1/3は正です。底が1より大きい場合は真数が1未満のとき対数値が負ですが、底が1より小さい場合は符号の対応が逆になります。どちらの底でも、対数値の範囲は実数全体です。

図1のように、左側の正という条件と、右側の実数という範囲を別の欄に書きます。式を指数の形に戻す矢印は、二次方程式の候補を元の真数に変換する手順も表します。

図1の対応は底が1より小さくても成立します。底によって大小の向きは変わりますが、方程式で値を指数に戻す手順は同じです。

表記にも注意します。(logₐ x)²は対数の値を2乗したものです。一方、logₐ(x²)はx²を真数とする対数です。前者はx>0のもとでt²になり、後者はx>0なら2tです。たとえばxが底と等しければ、前者は1、後者は2となり、同じ式ではありません。

元の式がlogₐ(x²)だけを含む場合、その定義域はx≠0です。負のxも可能なので、最初からlogₐ xを置くと負の部分を失います。その場合はx²をひとまとまりにして扱うなど、元の定義域を守る必要があります。これに対し、元の式にlogₐ xがあればx>0です。置換の可否は、変形した後ではなく元の式に照らして判断します。

基本例題：負の候補を残す

次の方程式を解き、xを分数または整数で答えてください。

(log₂ x)² + log₂ x - 6 = 0

底2は正で1ではなく、真数条件はx>0です。t = log₂ xと置くと、tの範囲は実数全体です。したがって元の方程式は次のようになります。

t² + t - 6 = 0
(t + 3)(t - 2) = 0
t = -3 または t = 2

積が0になるのは、いずれかの因数が0になるときです。負の-3も対数値として許されます。それぞれを指数の形に戻します。

log₂ x = -3 のとき x = 2⁻³ = 1/8
log₂ x = 2 のとき x = 2² = 4

図2のように、二次方程式から得た2つの値は、どちらも正の真数に対応します。置換後の候補と、最終的に答えるxの値を同じ欄に混ぜないことが要点です。

図2の2本の対応を元の式に戻して確かめます。x = 1/8なら対数値は-3で、9 − 3 − 6 = 0です。x = 4なら対数値は2で、4 + 2 − 6 = 0です。両方とも真数が正ですから、答えはx = 1/8、4です。因数分解で二次方程式の候補を尽くし、指数との対応で各候補からxが1つに決まるため、他の解はありません。

標準例題：累乗の真数をそろえる

次の方程式を解き、xを分数または整数で答えてください。

(log₃ x)² - log₃(x³) - 4 = 0

底3は正で1ではなく、元の式の両方の真数が正となる条件はx>0です。この範囲で累乗の性質を使えます。t = log₃ xと置くと、tは任意の実数であり、log₃(x³) = 3tです。

t² - 3t - 4 = 0
(t - 4)(t + 1) = 0
t = 4 または t = -1

指数の式に戻すと、次の2つを得ます。

t = 4 のとき x = 3⁴ = 81
t = -1 のとき x = 3⁻¹ = 1/3

x = 81では対数値が4、x³の対数値が12なので、元の左辺は16 − 12 − 4 = 0です。x = 1/3では対数値が-1、x³の対数値が-3なので、左辺は1 − (-3) − 4 = 0です。どちらもx>0を満たし、答えはx = 81、1/3です。

この問題では、同じ対数値が繰り返されるため、先に置換すると式の形を見通せます。先に累乗の性質で書き直してから置換しても、x>0を確かめていれば同じ結果です。反対に、(log₃ x)²をlog₃(x²)に変えてしまうと、二次式を一次式に取り違えます。

発展例題：真数をひとまとまりにする

次の方程式を解き、xを整数または根号を用いて答えてください。

(log₄(x² - 5))² - 2log₄(x² - 5) - 3 = 0

底4は正で1ではありません。元の真数条件はx² − 5 > 0です。これはx < -√5またはx > √5を意味します。ここで正に限定されるのはx² − 5であり、x自体には負の範囲もあります。

真数全体をM = x² − 5と見て、t = log₄ Mと置きます。Mは正で、tは実数全体です。二次方程式を解きます。

t² - 2t - 3 = 0
(t - 3)(t + 1) = 0
t = 3 または t = -1

まずt = 3のとき、真数は4³ = 64です。元の文字について解きます。

x² - 5 = 64
x² = 69
x = √69 または x = -√69

次にt = -1のとき、真数は4⁻¹ = 1/4です。

x² - 5 = 1/4
x² = 21/4
x = √21/2 または x = -√21/2

いずれも真数が正なので、最初の条件を満たします。前の2つでは真数が64、対数値が3となり、元の左辺は9 − 6 − 3 = 0です。後の2つでは真数が1/4、対数値が-1となり、左辺は1 + 2 − 3 = 0です。答えはx = ±√69、±√21/2です。

この問題では二次方程式の2候補から、それぞれxが2つずつ生まれます。対数値から真数への変換は1対1ですが、真数x² − 5からxへの変換は1対1ではないためです。別の進め方として、先にu = x² − 5 > 0と置き、uの方程式を解いてからxに戻してもかまいません。その場合もxの正負を最後に調べます。

間違いをたどって直す

基本例題でt² + t − 6 = 0を解いた後、「t>0だからt = 2」とする答案を考えます。計算自体は合っていますが、1/8という解を失います。原因は、x>0という真数の条件をt = log₂ xに移してしまったことです。

図3のように、真数の正と対数値の符号は別々に確認します。t = -3を指数の式に戻すとx = 1/8で、元の条件x>0を満たします。負の対数値を捨てる前に、その値から正の真数ができるか確かめてください。

図3で条件を直すと、t = -3とt = 2の両方が候補に残ります。なおtが負なら常に真数が1未満と決めることもできません。底が1より小さければ、負の指数に対応する真数は1より大きくなります。

もう1つの失敗は、元の式にない条件を勝手に付けることです。logₐ(x²)の真数条件はx≠0であり、x>0ではありません。xが負でもx²は正です。対数値を置く前に、どこまでが真数か括弧で確認し、許されるxの範囲を元の式から書き出します。

さらに、元の式の真数が正であっても、平方した対数値が正とは限りません。平方は0にもなり得ますし、平方する前の対数値には正負があります。二次方程式の根を符号で選別する必要があるかどうかは、置いた文字の範囲を確認してから決めます。

練習問題

問題を先に5問解き、その後で解答を見てください。各問題は実数xについて解き、指定された形で答えます。

(log₅ x)² + 2log₅ x − 3 = 0。xを分数または整数で答えてください。
(log₂ x)² − log₂(x⁴) + 3 = 0。xを整数で答えてください。
(log₁/₂ x)² − log₁/₂ x − 2 = 0。ただし底は1/2です。xを分数または整数で答えてください。
(log₃(x + 2))² + log₃(x + 2) − 2 = 0。xを分数または整数で答えてください。
(log₂(x² − 7))² + 3log₂(x² − 7) + 2 = 0。xを根号を用いて答えてください。

解答と考え方

底5は正で1ではなく、真数条件はx>0です。t = log₅ xは実数全体を動きます。

t² + 2t - 3 = 0
(t + 3)(t - 1) = 0
t = -3 または t = 1
x = 1/125 または x = 5

元の式での対数値はそれぞれ-3、1です。左辺は9 − 6 − 3 = 0、1 + 2 − 3 = 0となります。どちらも真数が正なので、両方採用します。

底2は適切で、元の式の真数条件はx>0です。この条件でlog₂(x⁴) = 4log₂ xとできます。t = log₂ xと置きます。

t² - 4t + 3 = 0
(t - 1)(t - 3) = 0
t = 1 または t = 3
x = 2 または x = 8

x = 2では元の2つの対数値が1と4であり、1 − 4 + 3 = 0です。x = 8では3と12であり、9 − 12 + 3 = 0です。いずれもx>0です。

底1/2は正で1ではなく、真数条件はx>0です。t = log₁/₂ xと置くとtは実数全体です。底が1より小さくても負のtを除きません。

t² - t - 2 = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t = 2 または t = -1
x = 1/4 または x = 2

x = 1/4の対数値は2で、4 − 2 − 2 = 0です。x = 2の対数値は-1で、1 + 1 − 2 = 0です。どちらも正の真数です。底が1未満なので、負の対数値に対応する真数は1より大きくなりました。

底3は適切で、真数条件はx + 2 > 0、すなわちx > -2です。t = log₃(x + 2)と置きます。

t² + t - 2 = 0
(t + 2)(t - 1) = 0
t = -2 または t = 1
x + 2 = 1/9 または x + 2 = 3
x = -17/9 または x = 1

前者の真数は1/9で対数値は-2、後者の真数は3で対数値は1です。元の左辺はそれぞれ4 − 2 − 2 = 0、1 + 1 − 2 = 0です。負のxも、真数x + 2が正なら許されます。

底2は適切で、真数条件はx² − 7 > 0です。t = log₂(x² − 7)と置くと、tは実数全体です。

置換後の方程式：t² + 3t + 2 = 0
左辺を因数分解：(t + 1)(t + 2) = 0
対数値の候補：t = -1、t = -2
x² - 7 = 1/2 または x² - 7 = 1/4
x² = 15/2 または x² = 29/4
x = ±√30/2 または x = ±√29/2

前の2値の真数は1/2で対数値は-1、後の2値の真数は1/4で対数値は-2です。元の左辺はそれぞれ1 − 3 + 2 = 0、4 − 6 + 2 = 0となります。4値とも真数条件を満たし、二次方程式と平方根の候補を尽くしています。