高校数学II 対数方程式の基本—真数条件を最初に書いて解の候補を元の式へ戻す｜武蔵野個別指導塾

真数がともに負の候補を除く理由を、積への変形と元の式への代入からたどる題材は対数方程式です。

よくあるのは、高2の生徒が二つの対数をまとめ、二次方程式を解いて、出た二つの値をそのまま答えにする場面です。積に直した式には代入できても、片方の値では元の二つの真数がともに負になっています。計算の途中で間違えたのではなく、元の式を使える範囲を置き去りにしたことが原因です。最初の条件と最後の検算をつなぎ、候補が解になるか判定しましょう。

どこで方程式に変わるか

対数方程式には、まず単独の対数を指数の形に直す型があります。例えば底が 3 のとき、log₃ A = 2 は A = 9 です。ただし真数 A が正であるという元の条件を忘れずに、求めた値を元の式で確認します。

二つ目は、同じ底の対数の和や差をまとめる型です。和は真数の積、差は真数の商に変えられます。式をまとめてから見ると一つの真数になりますが、元は二つの対数です。それぞれが正という条件を先に書いておきます。

三つ目は、積を展開した後に二次方程式になる型です。二つの根のうち一方だけが元の条件に入ることも、どちらも入らないこともあります。解の候補を出す計算と、その候補を採用できるかという判定は別の段階です。ここでは対数不等式や底に文字を含む方程式へは広げず、底が定数の方程式を扱います。

真数の条件を先に置く

底 a は a > 0、a ≠ 1 とします。正の数 A について、aの y 乗が A に等しいとき、その y を logₐ A と書きます。この定義から、logₐ A = b と A が正であることは、A = aの b 乗と対応します。正の底の実数乗は正なので、指数の式からも A > 0 が得られます。

同じ底 a の対数では、A > 0、B > 0 のもとで次の性質を使えます。

logₐ A + logₐ B = logₐ(AB)
logₐ A - logₐ B = logₐ(A/B)

式の右側の AB が正であることだけでは、左側を書けるとは限りません。A と B がともに負でも積は正になるからです。たとえば A = -2、B = -3 なら積は 6 ですが、元の二つの対数は実数の範囲では定義されません。商も同様に、負どうしの商は正になるので、商の正だけから個々の正を結論できません。

図1のように、A と B が正の領域は、積 AB が正の領域の一部です。左下の領域は積だけを見れば通過しますが、元の対数には使えません。実際の計算では、まず A > 0 と B > 0 をそれぞれ解き、その共通範囲を書いてから対数をまとめます。

条件を満たす範囲で変形を進めれば、等式の各段階は元の式と対応します。それでも、展開後の二次方程式を実数全体で解くと条件外の根を拾うことがあります。候補の一覧から条件に合う値を選び、最後に元の各真数と対数の値を確認するのが確実です。

条件が変形を支える

二つの真数が文字式であるときは、それぞれの不等式を別々の行に書きます。たとえば x + 7 > 0 と 3 − x > 0 なら、前者は x > -7、後者は x < 3 です。両方を同時に満たす部分は -7 < x < 3 となります。片方の条件を満たすだけでは、もう片方の対数が定義される保証はありません。

このとき端点 -7 と 3 は含めません。端点で片方の真数が 0 になり、対数をとれないためです。数直線に書くなら端点を白丸にし、二つの不等式で共通する部分を示します。条件を式として残しておくと、根号や分数が候補に現れても範囲との大小比較ができます。

等式の変形をたどる際は、どこまでが同値かも意識します。元の式が成り立つなら、真数条件を満たし、まとめた式も成り立ちます。反対に、真数条件を満たす値がまとめた式を満たすなら、対数の公式を逆に使い、元の式に戻れます。したがって、条件と変形後の式をセットで扱うことが解の抜けや余分な候補を防ぎます。

基本例題：二つの候補を分ける

次の方程式を解き、解を整数で答えてください。

log₂(x + 1) + log₂(x - 2) = 2

底 2 は正で 1 ではありません。二つの真数がそれぞれ正である必要があるため、最初に条件を書きます。

x + 1 > 0  より  x > -1
x - 2 > 0  より  x > 2
両方を満たす範囲は  x > 2

この範囲では積の公式を使えます。右辺 2 は 2² = 4 に対応するので、対数を外すと次のようになります。

log₂((x + 1)(x - 2)) = 2
(x + 1)(x - 2) = 4
x² - x - 2 = 4
x² - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3, -2

この段階では 3 と -2 は候補です。条件 x > 2 に入るのは 3 です。-2 では真数が -1 と -4 であり、積は 4 でも元の式の対数は定義されません。

図2では、2 の右側が二つの真数を同時に正にする範囲です。2 自身では x − 2 が 0 となるため、境界を含めません。候補 3 は範囲内で、候補 -2 は範囲外です。

最後に元の式へ 3 を戻します。真数は 4 と 1 で、どちらも正です。log₂ 4 = 2、log₂ 1 = 0 なので左辺は 2 + 0 = 2、右辺に一致します。したがって解は x = 3 です。二次方程式の根は因数分解で尽くしており、条件外の -2 を除いているので、他の解はありません。

基本例題を別の順に見る

同じ問題では、x > 2 のもとで x + 1 > 3、x − 2 > 0 です。二つの真数の間には差が 3 あるので、片方を決めればもう片方も定まります。例えば x − 2 を t と置けば、t > 0 かつ x + 1 = t + 3 です。積が 4 という式は次の二次方程式になります。

t(t + 3) = 4
t² + 3t - 4 = 0
(t - 1)(t + 4) = 0
t = 1, -4

置いた値には t > 0 が必要なので t = 1 です。x − 2 = 1 から x = 3 と戻ります。t = -4 を採らない理由は、置換前の真数 x − 2 が正という条件です。x の条件を直接使う方法と、置いた文字の範囲を使う方法は、同じ情報を異なる文字で表しています。

いずれの方法でも、計算後に真数 4 と 1 を元の式へ戻します。置換の式だけで正しい値になっていても、置いた式と元の式の対応を取り違えていれば誤答になるからです。元の二つの対数を別々に確かめると、その取り違えにも気づけます。

標準例題：商を作る前に分母も調べる

次の方程式を解き、解を分数で答えてください。

log₃(x + 4) - log₃(x - 1) = 2

底 3 は正で 1 ではありません。真数の条件をそれぞれ解き、その共通範囲を求めます。

x + 4 > 0  より  x > -4
x - 1 > 0  より  x > 1
共通範囲は  x > 1

この範囲では分母 x − 1 も正なので、商への変形と両辺への掛け算ができます。対数の差をまとめ、3² = 9 を使います。

log₃((x + 4)/(x - 1)) = 2
(x + 4)/(x - 1) = 9
x + 4 = 9(x - 1)
x + 4 = 9x - 9
13 = 8x
x = 13/8

13/8 > 1 なので条件内です。元の真数は 45/8 と 5/8 で、両方正です。また (45/8)/(5/8) = 9 ですから、元の左辺は差の公式により log₃ 9 = 2 となり、右辺と一致します。よって解は x = 13/8 です。

この問題では、商の方程式を交差して掛けるときに分母が 0 でないことも必要です。真数条件 x − 1 > 0 を先に書いておけば、その確認も同時に済みます。逆に条件を書かずに商だけを見て解くと、元の二つの真数がともに負の範囲を取り込むおそれがあります。

商の条件を逆向きに使わない

標準例題で、もし商 (x + 4)/(x − 1) が正という条件だけを使うと、x > 1 に加えて x < -4 も含まれます。後者では分子も分母も負なので商は正ですが、元の対数の真数にはできません。商を正にする範囲は、元の二つの条件より広くなることがあります。

また、分母が 0 になる x = 1 は商そのものが定義されないだけでなく、元の log₃(x − 1) も定義されません。x = -4 でも最初の真数が 0 です。両方の境界を明示しておくと、式の途中で分母を払うときの根拠と、元の式の定義域とを一緒に確認できます。

求めた 13/8 は、真数が整数にならなくても正確に扱えます。45/8 と 5/8 の比がちょうど 9 なので、対数の近似値は必要ありません。元の真数の正しさと、対数の差が 2 になることは、正確な分数のまま検算できます。

発展例題：解が一つも残らない場合

次の方程式を解き、解がなければ「解なし」と答えてください。

log₄(x - 1) + log₄(5 - x) = 2

底 4 は正で 1 ではありません。両方の真数を正とすると、次の範囲に限られます。

x - 1 > 0  より  x > 1
5 - x > 0  より  x < 5
共通範囲は  1 < x < 5

この範囲で積の公式を使い、4² = 16 として変形します。

log₄((x - 1)(5 - x)) = 2
(x - 1)(5 - x) = 16
-x² + 6x - 5 = 16
x² - 6x + 21 = 0
(x - 3)² + 12 = 0

実数の平方は 0 以上ですから、左辺は 12 以上で 0 にはなりません。候補そのものが存在せず、解はありません。条件の範囲内をいくら探しても、元の式を満たす値は見つからないと結論できます。

別の見方では、積を直接平方完成します。

(x - 1)(5 - x) = 4 - (x - 3)²
4 - (x - 3)² ≤ 4

真数の積は最大でも 4 なので、必要な 16 に届きません。端点 1 と 5 では片方の真数が 0 になり、対数は定義されません。最大値を調べるこの方法は、積の大きさから解なしを見通したいときに便利です。式の変形で出た結論と、元の真数がとれる範囲の両方が一致しています。

誤答を直す：積の正と個々の正

基本例題で、次のように答えたとします。

(x + 1)(x - 2) = 4
x = 3, -2
答え  x = 3, -2

因数分解までは正しいのですが、答えに -2 を入れたのが誤りです。原因は、対数をまとめた後の積だけを見て、変形前の真数を調べなかったことです。-2 を代入すると x + 1 = -1、x − 2 = -4 です。どちらも負なので、積が 4 であっても元の二つの対数は存在しません。

図3のように、-1 と -4 の積が正になる事実と、それぞれの対数が定義されるかは別の判定です。修正するには、最初に x > 2 を書き、二次方程式の根を出した後にその範囲と照合します。範囲内の 3 は元の式へ戻して等式を確かめます。

もう一つの誤りは、logₐ(A + B) を logₐ A + logₐ B とすることです。加法公式があるのは対数の値の和であり、真数の和を分ける公式ではありません。例えば底 2 で A = 2、B = 2 とすると、log₂ 4 = 2 に対して log₂ 2 + log₂ 2 = 2 で偶然一致しますが、これは一般的な根拠にはなりません。A = 1、B = 1 なら左辺は log₂ 2 = 1、右辺は 0 + 0 = 0 で一致しません。どこに足し算があるかを確認しましょう。

候補がない場合と候補を捨てる場合

基本例題では二次方程式に 2 個の実数の根があり、そのうち 1 個が元の条件から外れました。発展例題では平方完成した式が常に正なので、条件を調べる前に実数の候補がないと判定できます。どちらも答えを選ぶときの根拠が異なります。

答案では、候補を捨てる場合はその値がどの条件に反するかを書きます。候補が存在しない場合は、平方が負になれないなどの理由を添えます。単に「不適」と書くより、何を調べて結論を出したかが読み手に伝わります。

練習問題

各問の底は正で 1 ではありません。真数条件を先に書き、求めた候補を元の式へ戻してください。整数または分数で答え、解がない場合は「解なし」と答えます。

1. log₅(2x − 1) = 2 を解いてください。
2. log₂(x + 3) + log₂(x − 4) = 3 を解いてください。
3. log₂(x + 5) − log₂(x − 2) = 3 を解いてください。
4. log₃(x − 2) + log₃(6 − x) = 2 を解いてください。
5. log₅(x + 2) = log₅(4x − 7) を解いてください。

練習の答えと解き方

1. 指数の形に直す

真数条件は 2x − 1 > 0、つまり x > 1/2 です。5² = 25 なので、対数の定義から次のように解きます。

2x - 1 = 25
2x = 26
x = 13

13 > 1/2 を満たします。元の真数は 2・13 − 1 = 25 で、log₅ 25 = 2 です。解は x = 13 です。

2. 積に直した後で条件外を除く

x + 3 > 0 と x − 4 > 0 の共通範囲は x > 4 です。この範囲で対数の和をまとめ、2³ = 8 を使います。

(x + 3)(x - 4) = 8
x² - x - 12 = 8
x² - x - 20 = 0
(x - 5)(x + 4) = 0
x = 5, -4

5 は条件内ですが、-4 は条件外です。-4 では真数が -1 と -8 となり、元の対数は定義されません。5 では真数が 8 と 1 で、左辺は 3 + 0 = 3 です。解は x = 5 です。

3. 差から商へ

x + 5 > 0 と x − 2 > 0 の共通範囲は x > 2 です。この範囲で差を商にまとめ、2³ = 8 とします。

(x + 5)/(x - 2) = 8
x + 5 = 8x - 16
21 = 7x
x = 3

3 > 2 なので条件内です。元の真数は 8 と 1、左辺は log₂ 8 − log₂ 1 = 3 − 0 = 3 です。解は x = 3 です。

4. 積が目標に届かない

条件は x − 2 > 0、6 − x > 0 なので 2 < x < 6 です。積を作り 3² = 9 を使います。

(x - 2)(6 - x) = 9
-x² + 8x - 12 = 9
x² - 8x + 21 = 0
(x - 4)² + 5 = 0

平方に 5 を加えた値は正ですから、実数の候補はありません。元の積も 4 − (x − 4)² で 4 以下となり、9 には届きません。したがって解なしです。

5. 同じ底なら真数を比べる

真数条件は x + 2 > 0、4x − 7 > 0 です。共通範囲は x > 7/4 です。同じ底の対数が等しいので、両辺をその底の指数とみると真数が等しくなります。

x + 2 = 4x - 7
9 = 3x
x = 3

3 > 7/4 を満たします。元の両方の真数は 5 で、両辺とも log₅ 5 = 1 です。解は x = 3 です。

覚えておくこと

• 底は正で 1 でなく、元の真数はそれぞれ正です。
• 和は積、差は商にまとめ、指数の形へ直します。
• 方程式の根は候補として出し、共通の真数条件で選びます。
• 残った候補は元の真数と等式に戻して確かめます。

つまずきを見分ける問い

対数をまとめる手は動くのに答えが合わないときは、二つの真数が負となる候補を示し、「積が正なのに、なぜ元の式では使えないか」を言葉で説明してみてください。逆に条件を正しく書けても候補を落とす場合は、共通範囲を数直線に表し、境界を含まない理由まで確かめると判断をたどれます。

個別指導では、公式の暗記だけでなく、元の式から各真数の条件を取り出す行と、候補を元へ代入する行をそれぞれ見ます。途中で積に変えた後も最初の条件が残ると説明できれば、計算が二次方程式になっても、解として採用する範囲を自分で判断できます。