高校数学II 常用対数と整数の桁数—10の累乗による上下の不等式から桁数を決める｜武蔵野個別指導塾

10の累乗の端点と近似値の誤差を手がかりに、累乗で表した正の整数の桁数を判定し、境界で決まる整数の桁数です。

よくあるのは、高2が常用対数の値が整数になったところで、その整数をそのまま桁数にしてしまう場面です。たとえば1の後ろに零を並べた数は、指数の数だけ零があっても、先頭の1の分だけ桁が増えます。対数を計算した後、元の整数がどの10の累乗以上、どの10の累乗未満かへ戻してみましょう。

桁数を問う問題の形

出方は大きく3つあります。正の整数そのものが与えられ、10の累乗ではさむ形、2や3などの大きな累乗について常用対数を使う形、近似値の精度が与えられて判定できるかを考える形です。最後の形では、計算機に表示された値をそのまま整数部分として扱う前に、誤差の幅が整数をまたぐか調べます。

必要なのは、10進法での位取り、指数法則、底が10の対数の性質と増加の関係です。底10は正で1ではなく、対象とする正の整数は真数の条件を満たします。対数の値が整数かどうかを含めて判断し、境界に等号を付ける場所まで答えの根拠にします。

学習指導要領の数学IIには常用対数が含まれています。ここでは整数の桁数に絞り、小数の最初の零でない数字の位置や最高位の数字の判定には踏み込みません。

まず10の累乗ではさむ

正の整数Nがn桁であることと、次の不等式は同じ意味です。ここでnは1以上の整数です。

10の(n-1)乗 ≤ N < 10のn乗

左端はn桁の最小の整数で、右端は(n+1)桁の最小の整数です。左端を含み、右端を含まないことが要です。1桁の場合も10の0乗 = 1なので、1 ≤ N < 10となり、1から9までが入ります。0は正の整数ではなく、この式の対象から外します。

図1のように、境目の数は右側の区間へ入ります。999は3桁ですが、1000は4桁です。1000を3桁の区間に含めると、位取りと矛盾します。

底が10の対数は、正の範囲で数が大きくなると値も大きくなります。したがって、上の不等式の各辺に常用対数を取ると次のようになります。

n - 1 ≤ log₁₀ N < n

逆にこの対数の不等式から元の不等式にも戻れます。よって、log₁₀ N以上ではない最大の整数、すなわち整数部分をkとすると、桁数はk + 1です。整数部分は、整数そのものの場合にもその数です。log₁₀ N = 3ならN = 1000で、桁数は3ではなく4です。

対数の近似値が境界から十分離れていれば、整数部分を決められます。ただし、表示が3.000というだけでは、真の値が3より少し小さい可能性もあります。計算に入る前に与えられた誤差を確認し、端点を含む区間で計算しても同じ整数部分になるか調べます。

桁数を求めるときは、最初から大きな整数の各数字を書き出す必要はありません。隣り合う10の累乗の間にあると示せれば、途中の数字がどのように並ぶかを知らなくても桁数が決まります。逆に、その範囲を示せないまま概算値だけを見ると、境界付近で1桁ずれる可能性が残ります。下限と上限を別々に確かめる習慣を付けましょう。

基本例題：整数をそのまま挟む

正の整数N = 2の12乗の桁数を整数で求めてください。対数の近似値は使わず、10の累乗との比較を示します。

まず累乗を計算します。各段階で指数法則を使っています。

2の4乗 = 16
2の8乗 = 16² = 256
2の12乗 = 256・16 = 4096

4096を隣り合う10の累乗と比べます。

1000 ≤ 4096 < 10000
10³ ≤ 4096 < 10の4乗

したがって答えは4桁です。図2では1000を含む区間に4096を置いています。数直線は大小関係を示し、距離を数値の差に比例させたものではありません。

対数を使うなら、真数4096は正なので両辺に常用対数を取れます。

3 ≤ log₁₀ 4096 < 4

整数部分は3ですから、同じく4桁です。元の数4096を実際に位ごとに数えても4桁であり、不等式からの答えと一致します。整数を直接計算できるときは、この比較が近似誤差のない確認になります。

標準例題：近似値の範囲から桁数を決める

3の20乗の桁数を整数で求めてください。ただし、0.47712 < log₁₀ 3 < 0.47713を使います。この両端は指定された厳密な上下限です。

3の20乗は正の整数なので、常用対数を取れます。指数の性質を使い、正の数20を各辺に掛けます。

log₁₀ (3の20乗) = 20 log₁₀ 3
20・0.47712 < 20 log₁₀ 3 < 20・0.47713
9.5424 < log₁₀ (3の20乗) < 9.5426

この範囲は9以上10未満に収まります。したがって整数部分は9、答えは10桁です。小数の数字を途中で丸めて9.54と書くだけでなく、上下限の両方が同じ整数の間に入ると確認することが根拠です。

元の数へも戻します。3の10乗は59049なので、3の20乗は59049² = 3486784401です。10⁹ = 1000000000、10の10乗 = 10000000000ですから、確かに前者以上、後者未満です。10桁という結論が元の問題の数に合っています。

もし上限が10を超えるほど粗ければ、この方法の途中まで正しくても9を整数部分と断定できません。桁数が存在しないという意味ではなく、与えられた範囲からは判定が完了しないという意味です。精度の高い上下限を追加するか、整数の累乗を直接比較します。

発展例題：境界に等しい場合と近い場合

正の整数A = 2の15乗・5の15乗とB = 2の16乗・5の15乗の桁数を、それぞれ整数で求めてください。対数の近似値は使いません。

Aは指数がそろっているので、積をまとめます。

A = (2・5)の15乗
A = 10の15乗

これは1の後ろに零が15個ある数です。等号を含む下側の境界に当たるため、次の範囲に入ります。

10の15乗 ≤ A < 10の16乗

よってAは16桁です。対数でもlog₁₀ A = 15なので、整数部分15に1を加えて16桁です。

BはAの2倍です。まず積の形を整理します。

B = 2・2の15乗・5の15乗
B = 2・10の15乗

1 ≤ 2 < 10に正の10の15乗を掛けると、次の不等式です。

10の15乗 ≤ B < 10の16乗

Bも16桁です。Aは下端に一致し、Bはその内側にありますが、どちらも同じ桁数です。元の数はそれぞれ1または2の後ろに零が15個並ぶので、直接数えても16桁と確かめられます。

近似値を使う前に、積をまとめると10の整数乗になるか探すと、端点を正確に扱えます。特に2と5が同じ個数ずつ掛かる部分は10にまとめられます。一方、同じ個数とは限らないので、余った因数を落とさずに残してください。

誤答を境界まで戻して直す

たとえばN = 10⁴について「log₁₀ N = 4だから4桁」とする答えは誤りです。元の数は10000で、5桁あります。図3のように、4という対数値は4桁の終わりではなく、5桁の区間の始まりに対応します。

原因は、10⁴の指数と、先頭の1を含む桁数を同一視したことです。直すときは、桁数をnと置いて不等式を先に書きます。

10⁴ ≤ N < 10の5乗
n - 1 = 4
n = 5

もう一つの誤りは、近似値が整数に丸められたことを、真の対数値がその整数に等しい証拠とすることです。たとえば真の値が4.000の前後にあり得るなら、4より小さい側と4以上の側で桁数が変わります。区間が境界をまたぐときは、追加の精度や正確な比較が必要です。反対に区間全体が4以上5未満に入るなら、厳密な小数値が不明でも整数部分は4と決まります。

等号に注意するのは、計算の形式を守るためだけではありません。右端の10の累乗を前の桁数へ入れてしまうと、整数が2つの桁数に重なります。下端を含み上端を含まない区間に分けることで、どの正の整数にも桁数を重複なく対応させられます。

自分で確かめる5問

1. 7の4乗の桁数を整数で求め、隣り合う10の累乗で挟んでください。
2. 10の8乗の桁数を整数で求め、下端の等号を含む不等式を書いてください。
3. 2の30乗の桁数を整数で求めてください。ただし0.30102 < log₁₀ 2 < 0.30104を厳密な上下限として使います。
4. 2の9乗・5の7乗の桁数を整数で求めてください。10の累乗との比較を示してください。
5. 正の整数Pについて、与えられた情報が4.9998 < log₁₀ P < 5.0002だけのとき、桁数が一意に決まるか答えてください。決まらない場合は、条件を満たす異なる桁数の整数をそれぞれ1つ示してください。

解答と考え方

1

7² = 49を使って計算します。

7の4乗 = 49²
7の4乗 = 2401
1000 ≤ 2401 < 10000

よって4桁です。2401は千の位から一の位まで4つの位を持ち、元の数でも確かめられます。

2

10の8乗は正の整数で、次の範囲に入ります。

10の8乗 ≤ 10の8乗 < 10の9乗

答えは9桁です。1の後ろに零が8個あるので、元の表記を数えても9桁です。左端の等号を消すと、この数の居場所がなくなります。

3

底10は正で1ではなく、2の30乗は正です。与えられた不等式に正の30を掛けます。

9.0306 < 30 log₁₀ 2 < 9.0312
9.0306 < log₁₀ (2の30乗) < 9.0312

区間全体が9以上10未満なので、答えは10桁です。直接計算すると2の30乗 = 1073741824です。10⁹以上10の10乗未満であり、元の数からも10桁と確認できます。

4

7組の2と5をまとめ、余った2を残します。

2の9乗・5の7乗 = 2²・(2・5)の7乗
= 4・10の7乗

1 ≤ 4 < 10なので、10の7乗 ≤ 4・10の7乗 < 10の8乗です。答えは8桁です。元の値は40000000で、4の後ろに零が7個あることからも一致します。

5

一意には決まりません。P = 99999とP = 100000は、それぞれ5桁と6桁です。後者の対数は5で、与えられた範囲に入ります。前者も下限より大きいことを確かめます。

実際、99999/100000 = 1 − 1/100000です。二項展開で、0 < x < 1なら(1 − x)の正整数m乗 ≥ 1 − mxです。x = 1/100000、m = 5000とすると、(99999/100000)の5000乗 ≥ 0.95 > 0.1です。したがって常用対数の増加性から次が成り立ちます。

5000 log₁₀ (99999/100000) > -1
log₁₀ (99999/100000) > -0.0002
log₁₀ 99999 > 4.9998

また99999 < 100000なのでlog₁₀ 99999 < 5 < 5.0002です。2つの整数はいずれも条件を満たしますから、与件だけでは桁数を決定できません。追加の情報を得る前に、どちらかへ丸めて答えることはできません。

要点を短く

正の整数Nがn桁である条件は、10の(n-1)乗 ≤ N < 10のn乗です。
log₁₀ Nの整数部分に1を加えると桁数です。
対数が整数の場合も、その整数に1を加えます。
近似値の上下限が整数をまたぐ場合は、追加の精度か正確な比較を使います。

説明を聞いて確かめたいところ

答えが1桁ずれたときは、まず「その数を挟む2つの10の累乗は何か」と尋ねます。10の累乗そのものをどちらの区間へ入れるかを本人の言葉で説明できれば、式の等号と位取りを結び付けられます。近似を用いた答案では、上下限を掛けた後に整数をまたぐかを示せるかも見ます。

個別指導では、同じ計算結果でも、元の整数へ戻して検算できるかを確かめます。境界をまたぐ情報しかない問いには、答えを急がず異なる可能性を示す練習が役立ちます。桁数は、10の累乗を境に区切った整数の居場所から決まります。