高校数学II 対数不等式の基本—底の範囲で向きを決め真数条件との共通範囲を取る｜武蔵野個別指導塾

真数が0になる端点を除き、底の増減に応じて不等号を決めます。比較結果と定義域を重ね、等号を含む端点も判定します。

よくあるのは、高2が対数不等式を解き、真数が0になる境界まで等号つきで答える場面です。途中で「以上」と書かれていると、最後の区間の両端にも等号をつけたくなります。しかし、対数の中が0になる値では、もとの式の値が定まっていません。等号が許されるかは、境界ごとに確かめる必要があります。

要点（結論から）

• 真数は対数を使う前にそれぞれ正とします。
• 底が1より大きければ大小の向きは同じです。
• 底が正で1より小さければ大小の向きは逆です。

何を比べ、どこで区切るか

対数不等式には、対数と数を比べる型、同じ底の2つの対数を比べる型があります。前者では数を同じ底の対数に直し、後者では両方の真数をそれぞれ正にします。どちらも、対数関数の増減を使って真数の大小へ移したあと、真数条件と共通する範囲を取ります。

底が1より大きければ、真数の大きい側の対数値も大きくなります。底が正で1より小さければ、その順序は逆です。底の範囲を見ないまま対数の記号を消すと、後の計算が正しくても反対側の区間を選びます。また、同じ向きに変形してよい場合でも、真数の正の条件が消えるわけではありません。

使う道具は対数の定義、対数関数の増減、一次不等式と二次不等式です。底に文字が含まれる場合は扱わず、ここでは固定された底のもとで端点まで正確に決めます。対数関数の変化とグラフは数学IIの学習範囲です。

定義域と増減を重ねる

対数 logₐ M は、a>0、a≠1、M>0 のとき、aの何乗がMになるかを表します。したがって、対数の値が負になることはあっても、真数Mは必ず正です。真数が0のときや負のときには、その対数を実数として扱えません。

正の数M、Nについて、a>1ならlogₐ Mとlogₐ Nの大小はMとNの大小と同じです。一方、0<a<1なら大小は逆になります。例えば底が3なら3⁰<3¹ですから、真数1と3に対応する対数値も0<1です。底が1/3なら(1/3)⁰>(1/3)¹なので、真数1と1/3の順序と、対数値0と1の順序は逆です。

図1のように、真数の正という入口と、底による向きの判断を別々に置きます。図1で左右の矢印が表すのは真数を大きくしたときの対数値の変化です。底の種類にかかわらず、入口の条件は変わりません。

右辺が定数のときも同じ考えです。例えば底が5であれば、2はlog₅ 25と書けます。底が1/5であれば、2はlog₍₁/₅₎(1/25)に対応します。底の条件を確認し、指数の式へ戻せることを確かめてから真数を比べます。

対数が2つあれば、真数条件も2つ必要です。積が正であっても、2つとも負という場合があります。対数をまとめる前に、それぞれが正である範囲を連立します。境界では、真数が0なら不等号に等号がついていても除きます。真数が正で、もとの左右の値が等しい点なら、以上・以下では含め、超える・未満では除きます。

真数条件と比較結果が両立しない場合もあります。たとえば、ある変形からx>6とx≤2が必要だと出たなら、数直線上に共通部分はありません。このとき解なしと答えます。片方の条件を満たす数が存在しても、もう片方を満たさなければ元の不等式の解にはなりません。

また、真数条件から得た範囲の内部に比較の境界が入らない場合もあります。その境界で等号が成立するかを見る前に、そもそも元の対数が定義されるかを確認します。数直線に条件を別々の段で描けば、境界の左右のどちらを採用したかも見直せます。

同じ底の対数を比べる際は、底が同じであることも必要です。数を対数に直すときは、底の累乗を計算して、もとの数に戻ることを確認します。比較後の不等式だけでなく、最初の対数の式へ戻ることで、端点の欠落や余計な点を見つけられます。

数直線の端点が同じ位置に重なるときは、両方の条件がその点を含む場合に限って共通部分にも含めます。片方でも厳密な不等号なら、その点は共通部分から外れます。線の太さや丸の色だけで決めず、各条件の記号を確認します。端点が解に入るかは、この照合で決まります。

基本例題：右端と左端の役割を分ける

次の不等式を解き、解を不等号で表してください。

log₂(x − 1) ≤ 2

底2は正で1より大きいので、対数関数は増加します。まず真数が正でなければ、左辺が定義されません。

x - 1 > 0
x > 1

次に2 = log₂ 4を使い、正の真数を比較します。底が1より大きいため、不等号の向きは保たれます。

log₂(x - 1) ≤ log₂ 4
x - 1 ≤ 4
x ≤ 5

両方を満たす範囲は次のとおりです。

1 < x ≤ 5

図2のように、真数条件の左端1は白丸、比較から得た右端5は黒丸で示します。図2の重なりを読むと、1は含まず5は含むことが見えます。白丸はその点が解でないこと、色のついた丸は解であることを表します。

もとの問題に戻すと、x=5では真数が4で、左辺は2です。等号が成立するので5を含めます。x=1では真数が0で左辺が定義されず、含められません。例えばx=3では真数が2、左辺は1で、2以下です。x=6では真数が5となり、増加性から左辺は2より大きいので除きます。

この例では真数条件が下限、対数の比較が上限を作りました。境界の記号を機械的にそろえるのではなく、それぞれが何から生じたかを見ると、開いた端と閉じた端を区別できます。

標準例題：底が1未満なら向きを反転する

次の不等式を解き、解を不等号で表してください。

log₍₁/₄₎(2x + 3) > -1

底1/4は正で1より小さいので、対数関数は減少します。真数条件は次のとおりです。

2x + 3 > 0
x > -3/2

また、(1/4)の-1乗は4です。したがって右辺-1を同じ底の対数に直し、減少性によって不等号を逆向きにします。

log₍₁/₄₎(2x + 3) > log₍₁/₄₎ 4
2x + 3 < 4
2x < 1
x < 1/2

真数条件との共通範囲は次のようになります。

-3/2 < x < 1/2

左端では真数が0なので定義されません。右端では真数が4となり、左辺が-1に等しくなりますが、問題は「より大きい」なので除きます。中のx=0では真数3は1と4の間にあり、減少性より対数値は-1より大きくなります。右側のx=1では真数5が4より大きく、対数値は-1より小さいので解ではありません。

別の見方として、対数の定義から「左辺が-1より大きい指数なら、底1/4の累乗は4より小さい」と考えることもできます。どちらの説明でも、真数が正であることは別に必要です。指数を比べる順序と、真数を比べる順序を混ぜないようにします。

発展例題：2つの真数条件を連立する

次の不等式を解き、解を不等号で表してください。

log₍₁/₂₎(x + 2) ≥ log₍₁/₂₎(7 − 2x)

底1/2は正で1より小さく、減少する対数関数です。比較する前に、左右の真数をそれぞれ正にします。

x + 2 > 0
x > -2
7 - 2x > 0
x < 7/2

定義される範囲は -2 < x < 7/2 です。その中で減少性を使うと、対数値の大小と真数の大小は逆になります。

x + 2 ≤ 7 - 2x
3x ≤ 5
x ≤ 5/3

両者を重ねると、解は次の範囲です。

-2 < x ≤ 5/3

x=5/3では、両方の真数が11/3で正です。もとの左右の対数値は等しく、以上の条件を満たします。x=-2では左の真数が0で、対数が定義されません。範囲内のx=0では真数が2と7で、底が1/2の減少性から左辺が右辺より大きくなります。x=2では真数が4と3でともに正ですが、対数値の向きが逆になり、条件を満たしません。

この例で右の真数条件x<7/2は、最終結果の上限より外側にあります。それでも、比較を行う前の条件として必要です。別の数に変わればその条件が最終区間の端になることもあるため、不要に見える条件を最初から省かないでください。

誤答を境界から直す

基本例題に対して、次のような答えを考えます。

log₂(x - 1) ≤ 2
x - 1 ≤ 4
1 ≤ x ≤ 5

比較の部分は正しいものの、左端に等号をつけた点が誤りです。真数条件はx − 1 ≥ 0ではなくx − 1 > 0です。0の対数は定義されないため、x=1を入れることはできません。右端の5は真数が正で、もとの不等式で等号が成立するので含みます。

図3のように、誤った左端を白丸へ直し、右端の丸は残します。図3の2つの端は、どちらも境界ですが、由来が異なります。一方は式が定義される範囲の境界、もう一方は大小が等しくなる境界です。

もう一つの誤りは、底が1未満でも対数記号を消して向きを保つことです。標準例題で2x + 3 > 4とすると、x=1を解に含めてしまいます。しかし真数5に対する底1/4の対数は-1より小さく、もとの条件に反します。底の範囲を式の近くに書いてから、増加か減少かを判断すると修正できます。

自分で試す5問

それぞれ解を不等号で表してください。底はすべて正で1ではありません。

1. log₃(x + 4) < 1
2. log₍₁/₃₎(x − 2) ≤ -2
3. log₅(2x − 1) ≥ log₅(x + 3)
4. log₍₁/₅₎(x + 1) > log₍₁/₅₎(9 − x)
5. log₂(x² − 4) ≤ 3

練習の答えと考え方

1

真数条件はx + 4 > 0、つまりx > -4です。底3は1より大きく、1 = log₃ 3ですから向きを保ちます。

x + 4 < 3
x < -1

答えは -4 < x < -1 です。左端では真数が0、右端では対数値が1なので、どちらも含みません。x=-2を元の式へ入れると真数2は3未満で、左辺は1未満です。

2

真数条件はx − 2 > 0、すなわちx > 2です。底1/3は1未満で、(1/3)の-2乗は9ですから向きを逆にします。

x - 2 ≥ 9
x ≥ 11

共通範囲は x ≥ 11 です。x=11では真数9に対する対数値が-2となり、等号を含みます。x=3では真数1、左辺は0であり、-2以下ではありません。

3

2つの真数条件は2x − 1 > 0とx + 3 > 0です。共通範囲はx > 1/2です。底5は増加するので、真数の大小を同じ向きで比べます。

2x - 1 ≥ x + 3
x ≥ 4

答えは x ≥ 4 です。x=4では真数がともに7で正、等号が成り立ちます。x=1では両真数が1と4なので左辺は右辺より小さく、解には入りません。

4

真数条件はx > -1とx < 9です。底1/5は減少するので、真数の不等号を逆にします。

x + 1 < 9 - x
2x < 8
x < 4

共通範囲は -1 < x < 4 です。x=4では両真数が5で等しく、厳密な不等号を満たしません。x=0では真数が1と9なので、もとの左辺は右辺より大きくなります。

5

底2は増加し、3 = log₂ 8です。真数条件と比較結果をそれぞれ解きます。

x² - 4 > 0
x² > 4
x < -2 または x > 2
x² - 4 ≤ 8
x² ≤ 12
-2√3 ≤ x ≤ 2√3

重なりを取ると、答えは -2√3 ≤ x < -2 または 2 < x ≤ 2√3 です。外側の端では真数8となり、もとの左辺は3です。内側の端では真数が0なので含みません。x=3では真数5で8以下、x=0では真数が負で定義されません。2つの区間に分かれる場合も、それぞれの端を元の式で点検します。

要点を手元に

• 真数は対数を使う前にそれぞれ正とします。
• 底が1より大きければ大小の向きは同じです。
• 底が正で1より小さければ大小の向きは逆です。
• 比較結果と真数条件の共通範囲を取ります。
• 各端点を元の式へ戻し、等号の可否を決めます。

説明が止まる場所を見つける

答えの区間が合わないときは、まず真数条件を書いた行を見直します。次に、底を指して増加か減少かを言葉にし、比較の向きを説明できるか確かめます。個別指導では、白丸と色のついた丸の理由をそれぞれ尋ね、もとの式に端点を代入して確かめます。端点の意味を区別できれば、対数不等式の答えは一段とはっきりします。