高校数学II 一般角—回転の向きと回数を分けて動径が一致する角を表す｜武蔵野個別指導塾

時計回りの角を一周分ずつ調整し、指定区間の端点まで確かめる鍵は一般角です。

よくあるのは、動径を時計回りに回した高2の人が、角に負の符号が付くからという理由で、到着した象限の読み方まで逆にしてしまう場面です。例えば右向きの半直線を時計回りに少し回せば、先端は右下にあります。第4象限という名前は座標平面の位置で決まるので、回転が負だから第1象限になるわけではありません。

回転の経路を表す角と、回転後の動径が指す位置は分けて考えます。1周余分に回しても動径は元の向きに戻りますが、角は1周分変わります。この違いを手がかりに、負の角、同じ動径を表す角の集まり、指定された区間の角を順に扱います。ここでは度を使い、角度には°を付けます。

回転の問題で何を選ぶか

問題には大きく3つの型があります。最初は、与えられた角の動径がどの象限や軸上にあるかを調べる型です。1周を表す360°を加えたり引いたりして、0°以上360°未満の角に直すと位置を読み取れます。ただし、軸上の動径を無理に象限へ入れてはいけません。

次は、ある動径と一致する角をすべて表す型です。出発する向きを同じにしたとき、動径が一致する2つの角の差は360°の整数倍です。整数を使って1本の式にすれば、正にも負にも何周でも回る場合を含められます。整数であることを書かないと、半周分などの余分な角まで式に入ってしまいます。

最後は、同じ動径を表す角のうち、指定された範囲に入るものを求める型です。式に整数を当てはめる前に、不等式で整数の範囲を出します。端に等号があるかどうかも問題ごとに異なります。候補の個数は図の印象で決めず、整数の範囲から確かめます。

向きと位置を切り離す

座標平面で原点から右向きに伸びる半直線を始線とし、それを原点のまわりに回した先の半直線を動径とします。反時計回りを正、時計回りを負と決めます。0°は回さない状態、360°は正の向きに1周した状態です。どちらも動径は右向きですが、回転の記録としての角は異なります。

図1のように、正の向きと負の向きは回転の道筋を示します。一方、象限は到着した動径の位置で判断します。横軸より上で縦軸より右が第1象限、上で左が第2象限、下で左が第3象限、下で右が第4象限です。軸そのものは、どの象限にも含めません。

図1では右向きの始線から正の向きへ回す矢印と、負の向きへ回す矢印を別に示しています。矢印の色は道筋の区別であり、象限の名前を変えるものではありません。例えば負の向きに90°より小さい角だけ回せば、動径は右下の第4象限にあります。

角αと同じ動径を表す角は、整数nを用いて次の形で表します。

α + 360°n    nは整数

n = 0ならαそのもの、n = 1なら正の向きに1周を追加した角、n = -1なら負の向きに1周を追加した角です。nが2や-2なら2周分を加減します。どちらの向きに回したかを保ったまま、最後の動径が一致する角をまとめたものが、この動径を表す一般角です。

なぜこの式で尽くせるのでしょうか。同じ始線から回して最後の半直線が一致するなら、一方の回転から他方の回転を差し引いた分は、向きを元に戻す整数回の周回です。したがって角の差は360°の整数倍です。逆に、360°の整数倍を加えても半直線は元の向きに戻るため、この式で表した角はどれも同じ動径を持ちます。

角そのものが等しいことと、動径が一致することは別です。例えば30°と390°の差は360°なので動径は一致しますが、角の値は同じではありません。どちらかを0°以上360°未満に直した値は、その範囲内での代表角です。範囲を別に指定すれば、代表として選ぶ角も変わります。

指定区間が0°以上360°未満なら、どの動径についても代表角はちょうど1つです。長さが1周分で左端を含み右端を含まないからです。両端を含む1周分の区間では、端の動径について両端がともに候補になることがあります。端を含むかの確認は、見た目より先に不等号で行います。

基本例題　負の角の到着位置を読む

問題。 右向きの始線を-240°回した動径について、0°以上360°未満の代表角を度で求め、動径がある象限を答えてください。さらに、この動径を表す一般角を度で示してください。

負の符号は時計回りを表します。図2のように右向きから時計回りに240°進むと、下側を通り左側を越えて左上に到着します。右下から数え始めることと、象限の番号を逆にすることは違います。

図2の到着点を計算でも確かめます。1周を正の向きに追加しても動径は変わらないので、次のようにします。

-240° + 360° = 120°

120°は0°以上360°未満です。また90°より大きく180°より小さいので、動径は第2象限にあります。負の回転であっても、到着位置は左上です。

この動径を表す一般角は、nを整数として次のようになります。

120° + 360°n    nは整数

元の-240°を基準にして「-240° + 360°n、nは整数」と書いても同じ集まりです。実際、前者のn = -1で-240°が得られ、後者のn = 1で120°が得られます。式の見かけが違っていても、基準の角の差が360°の整数倍なら同じ動径の集まりを表します。

答えを回転の場面へ戻しましょう。時計回りに240°は、まず下向きまで90°、左向きまでさらに90°、そこからさらに60°です。左向きから上へ60°進んだ位置は、正の向きに120°の位置と一致します。計算結果と、時計回りにたどった道筋の両方が第2象限を示しています。

標準例題　区間に入る角を列挙する

問題。 70°と同じ動径を表す角のうち、-500° < θ ≤ 600°を満たすすべてのθを、度で小さい順に求めてください。

始線を同じにした動径が一致するため、nを整数としてθ = 70° + 360°nと置けます。指定区間に入ることが条件なので、この式を不等式へ代入します。

-500° < 70° + 360°n ≤ 600°
-570° < 360°n ≤ 530°
-19/12 < n ≤ 53/36

360°は正なので、割っても不等号の向きは変わりません。この範囲の整数は-1、0、1です。各整数をθの式へ戻すと、順に-290°、70°、430°です。答えは次の3つです。

θ = -290°、70°、430°

確認すると、どの角から70°を引いても360°の整数倍になり、3つとも指定区間の内側にあります。隣の整数n = -2では-650°となって左端より小さく、n = 2では790°となって右端より大きいので候補に入りません。不等式が整数の範囲を尽くしているため、間に別の候補もありません。

この問題の端点は、どちらも70°と同じ動径ではありません。それでも、左端に等号がないことと右端に等号があることは式に正確に移します。端点が候補になる問題へ変わったときに、この差が答えの個数を左右するからです。

発展例題　両端と軸上の動径を扱う

問題。 角θの動径は負のx軸に一致します。-540° ≤ θ < 540°を満たすθを度で小さい順にすべて求め、各角が表す回転を説明してください。

負のx軸を指す動径の基準は180°です。軸上なので、どの象限かを答える問題ではありません。nを整数としてθ = 180° + 360°nと置き、範囲に代入します。

-540° ≤ 180° + 360°n < 540°
-720° ≤ 360°n < 360°
-2 ≤ n < 1

この範囲の整数は-2、-1、0です。したがって求める角は、次の3つです。

θ = -540°、-180°、180°

-540°は時計回りに1周半、-180°は時計回りに半周、180°は反時計回りに半周した角です。いずれも動径は左向きになり、問題の負のx軸へ戻ります。左端の-540°は等号があるので含みます。右端の540°も左向きですが、θ < 540°に反するので含みません。

もし右端にも等号があれば、n = 1に対応する540°が追加されます。動径が一致するかという条件と、区間に入るかという条件を別々に確認すると、端点を除く理由を説明できます。負の角であること自体は、候補を捨てる理由になりません。

誤答を動径と区間に戻して直す

負の角を見たときに、よくある誤答は「時計回りに60°だから第1象限」です。図3のように、正の60°の動径は右上ですが、-60°の動径は右下にあります。正負の印を象限の番号に結び付けたことが原因です。

修正するときは、始線を右向きに描き、負の角なら時計回りの矢印をたどります。図3の-60°は第4象限です。計算でも-60° + 360° = 300°となり、270°と360°の間にあるので同じ結論です。正の60°の動径と取り違えていないか、矢印の向きと最後の位置を別々に指さして確かめます。

もう一つの誤答は、一般角を「α + 180°n」とすることです。n = 1なら半周後の反対向きの半直線が混ざります。動径は向きまで含めた半直線なので、同じ直線上にあるだけでは一致しません。1周分の360°を使い、nが整数であることを明記します。

また「一般角を求める」と「ある区間の角をすべて求める」を混同すると、後者に整数を残したまま答えを終えてしまいます。一般角の式は候補を作る道具です。区間を与えられたらnの範囲を出し、許される整数を列挙して角の値に戻します。逆に、一般角を求める問題で数個だけを書いて終えると、他の周回が抜けます。

端点を扱う際には、等号を片方にまとめて付けないことも必要です。左端を含むかと右端を含むかは独立した条件です。候補が端に一致する場合、元の問題の不等号へ戻して採否を決めます。軸上の角なら「第1象限と第4象限の間」と説明しても、どちらかの象限に所属するという意味にはなりません。

練習問題

各問では始線を正のx軸とします。答えは度で表し、一般角では整数の条件も書いてください。

1. -155°の動径について、0°以上360°未満の代表角と象限を求めてください。
2. 正のy軸と一致する動径を表す一般角を求めてください。また、その式から時計回りの角を1つ挙げてください。
3. 225°と同じ動径を表す角のうち、-600° ≤ θ < 300°を満たすものを小さい順にすべて求めてください。
4. 角A = -475°、角B = 605°の動径が一致するかを判定してください。差と回転の意味を使って理由を述べてください。
5. 第3象限に動径があり、-720° < θ ≤ 0°を満たす角の範囲を、度を使った不等式ですべて表してください。軸上は含めません。

練習問題の解答と考え方

1. 時計回りの位置

-155°に360°を加えると、代表角が得られます。

-155° + 360° = 205°

205°は180°と270°の間なので、第3象限です。時計回りに155°進む場面へ戻すと、下向きまで90°、そこからさらに65°進むので左下にあります。正の205°の動径と位置が一致します。符号だけを見て第1象限とすることはできません。

2. 正のy軸への周回

正のy軸は90°の動径です。したがって、求める一般角は次の式です。

90° + 360°n    nは整数

例えばn = -1とすると-270°です。時計回りに下向き、左向き、上向きと4分の3周進むので、実際に正のy軸へ到着します。90°のように正に回す場合も、-270°のように負に回す場合も同じ一般角の式に含まれます。

3. 左端を含む区間

θ = 225° + 360°nと置きます。nは整数です。指定区間に代入して、不等式を変形します。

-600° ≤ 225° + 360°n < 300°
-825° ≤ 360°n < 75°
-55/24 ≤ n < 5/24

範囲内の整数は-2、-1、0です。角に戻すと、答えは-495°、-135°、225°です。各角と225°の差はそれぞれ-720°、-360°、0°なので、3つとも問題の動径に一致します。n = -3とn = 1はそれぞれ区間の外で、他の整数も不等式を満たしません。

4. 回転の回数を比べる

BからAを引くと、差は次のようになります。

605° - (-475°) = 1080°
1080° = 360°・3

差が正の向きの3周分なので、動径は一致します。実際に、Aへ360°を2回加えると245°、Bから360°を1回引いても245°です。どちらも左下を指します。角の数値は違いますが、始線からの回転の差がちょうど3周なので、到着する半直線は同じです。

5. 象限を区間へ戻す

0°以上360°未満で第3象限にある角は、両端を含まない180° < α < 270°です。軸上を除くため、両側とも等号は付きません。同じ位置を負の範囲に移すには、360°または720°を引きます。

-180° < θ < -90°
-540° < θ < -450°

答えはこの2つの範囲です。例えばそれぞれの中の-135°と-495°は、どちらも225°と同じ左下の動径になります。-180°、-90°、-540°、-450°は軸上なので入りません。さらに1周引いた範囲は-720°より小さく、1周加えた範囲は0°より大きくなります。指定された範囲に他の第3象限の部分はありません。

覚えておくこと

正は反時計回り、負は時計回りです。 同じ動径は基準角に360°の整数倍を加えて表します。 象限は回転の符号ではなく到着位置で決め、軸上は分けます。 指定区間では整数を列挙し、両端の等号を確かめます。

どこで迷ったかを見分ける

負の角で間違えたら、まず「どちら向きに回すか」を言葉にしてもらい、次に「動径は平面のどこにあるか」を別に尋ねます。回転の方向は正しくても象限の名前だけがずれている場合と、矢印そのものが逆の場合では、確認すべき箇所が異なります。軸に着く例も混ぜると、象限への分類と軸上の扱いを区別できているかが見えます。

一般角の式が書けたら、nに0、正の整数、負の整数を入れ、それぞれ何周に当たるかを説明できるか確かめます。区間の問題では、式を不等式へ代入した後、整数の範囲と元の角の範囲を照合します。個別指導では、答えだけでなく、端点を採る理由や候補の外側を除く理由まで順に確認します。回転の履歴と動径の位置を分けて読むと、負の角も同じ規則で扱えます。