高校数学II 弧度法—度とラジアンの対応を比で捉えて角の単位を変換する｜武蔵野個別指導塾

180°とπの対応を基準に、負の回転角を換算し、一般角を指定区間に収める手順を確かめます。

よくあるのは、ラジアンで書かれた π/3 を見て、その数をそのまま度の数と考える場面です。π/3°と書けば小さな角ですが、π/3 は 60°に当たります。数字の見た目が似ていても、角を測る単位が違えば回転の大きさは変わります。どの単位の数なのかを先に確かめ、半回転という共通の基準を使って換算しましょう。

どの向きに換算するか

問題の出方は大きく3つあります。度で与えられた角をラジアンに直す型、ラジアンの角を度に直す型、回転の向きと回数を含む角を一般角として整理する型です。どの型でも、まず与えられた数に ° があるかを読み、答えの単位を確認します。° があれば度であり、角を表す数に ° がなければ通常はラジアンです。

たとえば時計と反対向きに回す角を正とすると、時計回りは負です。換算は角の大きさを別の単位で表す操作なので、正負を逆にしません。1回転より大きい角も、換算する前に勝手に1回転未満へ直す必要はありません。何回回ったかが問題で指定されているときに減らすと、元の情報が失われるからです。

一方、動径が同じ角を指定区間に収める問題では、1回転の整数倍を加減します。換算と回転数の整理は別の操作です。問題が求めるものが元の回転角か、同じ動径を持つ代表の角かを区別しましょう。

半回転を橋にする

弧度法は、円の半径と同じ長さの弧に対する中心角を 1 ラジアンとする角の測り方です。半径が異なっても、同じ中心角に対する弧の長さと半径の比は同じです。円周は半径の 2π 倍なので、1回転は 2π ラジアン、半回転は π ラジアンに当たります。ここでは換算の基準としてこの関係を使い、扇形の長さや面積を求める問題には広げません。

図1のように、同じ半回転を度では 180°、ラジアンでは π と表します。半回転の何倍かという比は単位を変えても変わりません。1回転ならその2倍、4分の1回転ならその半分です。ラジアンという単位名を省いて π と書いても、円周率そのものを度数として読むわけではありません。

度数を d、ラジアンの数を r とすると、同じ回転を表す条件は次の比です。

d/180 = r/π
r = dπ/180
d = 180r/π

180 と π はどちらも 0 ではないので、この割り算ができます。度からラジアンへは π/180 を掛け、ラジアンから度へは 180/π を掛けます。式中の d は度数の数値で、r はラジアンの数値です。単位を添えて書くときは、換算前の角には ° を付け、換算後のラジアンの数には付けません。

0° は 0、90° は π/2、180° は π、360° は 2π に対応します。負の角にも同じ比が使え、-180° は -π です。1回転を超える場合も比はそのまま成り立ちます。たとえば 540° は半回転の3倍なので 3π です。代表角へ直すよう指定されなければ、3π を π と書き換えて元の角と同一視しないでください。

分数を扱うときは、分子と分母のどこに π があるかを確かめます。π/6 は π を6で割った角ですが、π/6° は π/6 度という別の角です。π があるから必ずラジアンだと決めず、° の有無を最後まで見ます。また、π を約 3.14 として先に計算すると、厳密な対応を見失いやすくなります。厳密値を求める場合は π を文字のまま残しましょう。

基本例題：目盛りの角を換算する

問題　円形の目盛りで、初めの線から反時計回りに 150° 回した角を、πを含むラジアンの厳密値で表してください。続けて、得られた角を度に戻し、元の目盛りに一致することを確かめてください。

150° は度で与えられています。図2のように半回転 180° の 150/180 倍なので、対応するラジアンの角も π の同じ倍です。正の角なので反時計回りの向きもそのまま保ちます。

150° = 150π/180
     = 5π/6

途中の分数は分子と分母を30で割って約分しました。答えは 5π/6 です。° を付けると別の角になるため、ここでは付けません。半回転より少し小さい 150° が π より小さい 5π/6 に対応することも、図2から見て取れます。

逆向きに変換して検算します。π は 0 でないため約分できます。

(5π/6)・180/π = 5・30
                   = 150

度の数値が 150 に戻り、目盛りの指定と一致します。逆変換で同じ数が得られるかに加え、半回転より大きいか小さいかを比べると、換算の向きを取り違えた場合にも気づきやすくなります。

標準例題：負の角を度に戻す

問題　円盤の印を初めの位置から時計回りに 7π/4 ラジアン回しました。反時計回りを正として、この回転角を度で表してください。答えは ° を付けた厳密値とし、回転の向きと量も確認してください。

時計回りなので、与えられた回転角は -7π/4 です。問題の 7π/4 は回転量を正で述べたものであり、符号を付けた回転角ではありません。半回転が π なので、その -7/4 倍を度に直します。

(-7π/4)・180/π = -7・45
                      = -315

答えは -315° です。315° は1回転の 360° から 45° を引いた量なので、時計回りにほぼ1周します。逆に -315° に π/180 を掛ければ -7π/4 に戻り、向きと回転量の両方が元の指示に合います。

終点の向きだけを見れば反時計回りの 45° と同じです。しかし 45° と -315° は回転した経路が異なります。ここでは回転角そのものが問われたので、終点が同じという理由で 45° を答えにしてはいけません。反対に、同じ動径を表す正の角を求める条件なら 45° が候補となります。何を保存する問題かによって、最後の整理が変わります。

発展例題：一般角と区間を分けて扱う

問題　ある針の初めの向きから、反時計回りに 225° 回した位置と同じ動径を表す角を考えます。まず一般角を、n を整数として π を含むラジアンで表してください。次に、そのうち -2π 以上 π 未満にある角をすべて求めてください。

元の 225° を先に換算します。° が付いているので π/180 を掛けます。

225° = 225π/180
     = 5π/4

同じ動径へ戻るには、ここから正または負の向きに1回転の整数倍を加えます。したがって一般角は次の形です。

5π/4 + 2nπ　（n は整数）

一般角の項 2nπ はラジアンの1回転を n 回分表しています。度のままの 360n を加えると単位が混ざるため、同じ式に入れません。逆に度で表すなら 225° + 360n° です。

次は範囲を条件として整数 n を絞ります。π は正なので不等号の向きは変わりません。

-2π ≤ 5π/4 + 2nπ < π
-2 ≤ 5/4 + 2n < 1
-13/4 ≤ 2n < -1/4
-13/8 ≤ n < -1/8

この範囲の整数は n = -1 です。したがって、求める角は -3π/4 です。下端は含み、上端は含まないことを不等号で保ちました。n = -2 なら -11π/4 で下端より小さく、n = 0 なら 5π/4 で上端より大きいので、隣の候補も入りません。

場面へ戻して確かめると、-3π/4 は -135° です。これに1回転の 360° を加えると 225° になり、針の向きが一致します。範囲を満たす角を見つけた後も、同じ動径に戻るかと端点を含むかを別々に確認しましょう。

誤答から単位を直す

図3のように、5π/6 というラジアンの角に ° を付けて 5π/6° としてしまう誤りがあります。記号を付けただけに見えても、これは「5π/6 度」という新しい角です。元の角を度で書くには数値そのものを変換しなければなりません。

原因は、π を特別な単位記号だと考え、° と同じ役割を担わせることです。π は円周率という数で、角度の単位ではありません。5π/6 はラジアンの数値であり、° を追加すれば度の数値として解釈されます。正しくは 180/π を掛けて、150° と表します。図3の矢印は単位記号の付け替えではなく、数値を変える換算を表しています。

もう1つの誤りは、負の角を換算した後で正にしてしまうことです。時計回りを負と決めたなら、正の換算係数を掛けても負のままです。終点が同じ正の角を求めるときは、その後で 2π または 360° の整数倍を加えます。回転角を問う場合と動径を問う場合を線で区切って考えると、符号を消す操作を防げます。

一般角では、代表角の π/4 に度の1回転 360n をそのまま加える誤りも起こります。代表角も1回転分もラジアンにそろえ、π/4 + 2nπ と書きます。逆に両方を度にそろえてもかまいません。式の各項が何の単位かを声に出して読むと、混在を見つけられます。

練習問題

次の5問では、角を厳密値で答えてください。一般角の整数条件と、区間の端を含むかどうかにも注意しましょう。

1. 回転板を反時計回りに 72° 回します。回転角を π を含むラジアンで表してください。
2. 針を時計回りに 11π/6 ラジアン回します。反時計回りを正とした回転角を、° を付けて表してください。
3. ある線から反時計回りに 390° 回した位置と同じ動径を表す一般角を、n を整数としてラジアンで表してください。
4. -7π/6 と同じ動径を表す角のうち、0 以上 2π 未満のものを π を含むラジアンで求め、度でも表してください。
5. ある角は 13π/3 ラジアンです。同じ動径を表す角のうち、-π 以上 π 以下のものをすべて π を含むラジアンで求めてください。

練習の答えと解き方

1

反時計回りは正です。度からラジアンへの係数を掛けて約分します。

72° = 72π/180
    = 2π/5

答えは 2π/5 です。これを度に戻すと (2π/5)・180/π = 72 となり、回転板の指定に合います。72° は半回転より小さく、2π/5 も π より小さいので、大きさの関係も保たれています。

2

時計回りなので符号を付けた角は -11π/6 です。π は 0 でないので、度への換算で約分できます。

(-11π/6)・180/π = -11・30
                       = -330

答えは -330° です。絶対値の 330° をラジアンに直すと 11π/6 で、時計回りという向きも負号と合います。終点は 30° と同じですが、問われた時計回りの回転角は -330° です。

3

まず指定された 390° をラジアンにします。これは1回転を超える角なので、換算前にその情報を捨てないようにします。

390° = 390π/180
     = 13π/6

一般角は 13π/6 + 2nπ、n は整数です。13π/6 = π/6 + 2π なので、π/6 + 2nπ と書いても同じ集合です。整数 n を1つずらすと互いの形に移れるためです。元の 390° は前者に n = 0 を入れると得られ、後者では n = 1 に当たります。どちらも1回転ごとに元の線と同じ動径に戻ります。

4

与えられた角は負で、-2π と 0 の間にあります。1回転分の 2π を足すと指定区間に入ります。

-7π/6 + 2π = -7π/6 + 12π/6
            = 5π/6

5π/6 は 0 以上 2π 未満です。さらに 2π を加えると上端を超え、2π を引くと負になるため、指定区間に他の候補はありません。度では (5π/6)・180/π = 150 より 150° です。元の -7π/6 は -210° で、360° を足すと 150° に戻ります。

5

同じ動径を表す角を 13π/3 + 2nπ と置きます。n は整数です。区間の両端はいずれも含むため、両方に等号を残します。

-π ≤ 13π/3 + 2nπ ≤ π
-1 ≤ 13/3 + 2n ≤ 1
-16/3 ≤ 2n ≤ -10/3
-8/3 ≤ n ≤ -5/3

この範囲の整数は n = -2 です。代入すると 13π/3 − 4π = π/3 となり、答えは π/3 です。π/3 は指定範囲内です。ここに 4π を足せば元の 13π/3 となるので、2回転の差で同じ動径に戻ります。n = -3 と n = -1 は範囲の外にあり、端点に候補がないことも確認できます。

覚えておくこと

• 半回転は 180° と π ラジアンに対応します。
• 度からは π/180、ラジアンからは 180/π を掛けます。
• 換算は回転の符号と回数を保ちます。
• 同じ動径の一般角には 2nπ を加え、n を整数とします。
• 指定区間では端点と隣の候補を確かめます。

どこで迷ったかを見分ける

換算後の数が合わないときは、まず半回転をそれぞれの単位で言えるかを確かめます。180 と π の対応を説明できるなら、次は掛ける係数の向きを点検します。度からの換算に 180/π を使っていた場合は、90° が π/2 に変わるかを試すと、どちらを掛けるべきか判断できます。

符号で迷う場合は、数値の計算を始める前に、回転の向きを言葉で書き出します。終点は合っていても回転数が違うなら、元の回転角と同じ動径の代表角を混同している可能性があります。個別指導では、途中式の各項にどの単位が対応するか、1回転を加える目的は何かを本人の言葉で確かめます。区間を扱う場合は、端点に等号があるかと、候補を元の回転に戻せるかまで順に見ます。単位と回転の情報を保つことで、角の表し方を選べます。