高校数学II 弧長と扇形の面積—半径と中心角の条件をそろえて二つの式を使う｜武蔵野個別指導塾

弧長と面積から半径を逆算し、周長条件で得た候補を中心角の範囲に照らして選びます。

よくあるのは、扇形の周長が書かれた問題で、曲がった部分だけを周長と読んでしまう場面です。周りを指で一周すると、弧のほかに中心から円周までの半径を2本通ります。その2本を落とすと、面積の式に代入する弧長から違ってしまいます。数を入れる前に、どの長さが与えられたかを図に書き分けましょう。

何が与えられているかを分ける

扇形の問題には、半径と中心角から弧長や面積を求める型があります。これは公式に入れる量の単位と角の範囲を確かめれば進められます。一方、弧長と面積から半径と中心角を逆算する型では、まず2つの式から角を消すと見通しがよくなります。答えを出した後、弧長と面積の両方が元に戻るかを調べます。

もう1つは周長が与えられる型です。周長は弧長と同じではありません。半径をr、弧長をl、周長をPとすると、P = 2r + lです。面積の条件もあれば、この関係を通して半径の方程式を作れます。ただし、計算で正の半径が出ても、それに対応する中心角が問題の範囲に入るとは限りません。式を解く段階と、図形として採用する段階を分けます。

弧と面積を結ぶ条件

半径rの円で、中心角θがラジアンで表され、0 < θ ≤ 2πである扇形を考えます。r > 0とし、θ = 2πでは円全体を考えます。弧長と面積の公式は円全体にも使えますが、周長P = 2r + lを使うのは0 < θ < 2πの場合です。θ = 2πでは半径は境界に含まれず、周長は円周2πrに等しくなります。弧長をl、面積をSとすると次の式です。

l = rθ
S = r²θ/2

弧度法では、角の大きさは同じ半径で測った弧長の比です。円全体の弧長は2πr、中心角は2πなので、弧長は角に比例してrθになります。面積も円全体のπr²に対し、角の割合θ/(2π)を掛けるとr²θ/2です。角に度数をそのまま入れることはできません。例えば中心角が90°なら、式に入れる角はπ/2です。

図1のように、弧と2本の半径を合わせた境界が周長です。面積は囲まれた内側の広さであり、長さを足したものではありません。弧長の単位がcmなら面積の単位はcm²です。

図1の弧長をlとすると、l = rθを面積の式に使えます。

S = r(rθ)/2
S = rl/2

この式は中心角が消えても、もとの2つの量が同じ扇形に属することを前提とします。l > 0なので、弧長と面積が与えられたときはr = 2S/l、その後θ = l/rと戻せます。逆算したθが正で2π以下かどうかは、別に確かめます。弧が円周より長ければ、一周以内の扇形にはなりません。

周長Pが与えられた場合は、l = P − 2rです。弧が正の長さなので、0 < r < P/2も必要です。この範囲に加え、l ≤ 2πrも必要です。前者は半径2本を引いて弧が残る条件、後者はその弧が一周以内に収まる条件です。条件を一つでも満たさない候補は、方程式を満たしても採用しません。

基本例題：弧長と面積から戻す

半径が正で、中心角が0 < θ ≤ 2πの扇形があります。弧長が6 cm、面積が15 cm²のとき、半径をcm、中心角をラジアンで、それぞれ厳密に求めてください。

図2のように、与えられている6 cmは曲がった弧の長さです。周長ではありません。まずS = rl/2に既知の値を入れます。弧長が正なので、それで割れます。

15 = 6r/2
15 = 3r
r = 5

次にl = rθへ戻します。r = 5は正なので、両辺を5で割れます。

6 = 5θ
θ = 6/5

6/5は正で2πより小さいので、指定された中心角の範囲に入ります。半径は5 cm、中心角は6/5ラジアンです。図2の値に戻して、弧長は5・(6/5) = 6 cm、面積は5²・(6/5)/2 = 15 cm²と確かめられます。弧の条件と面積の条件の両方を満たして初めて、元の扇形の答えです。

半径を求めずに面積を弧長で割ると、15/6 = 5/2です。これは半径そのものではなく半径の半分です。S = rl/2の2を落とさず、単位も合わせて読めば、何を求めた値か判断できます。

標準例題：周長から弧を取り出す

中心角が0 < θ < 2πの扇形の周長は20 cm、面積は21 cm²です。半径をcm、中心角をラジアンで厳密に求め、条件を満たすものをすべて挙げてください。

半径をr cm、弧長をl cmとします。周長は半径2本と弧の和なので、l = 20 − 2rです。l > 0より0 < r < 10が必要です。S = rl/2に代入します。

21 = r(20 - 2r)/2
21 = 10r - r²
r² - 10r + 21 = 0
(r - 3)(r - 7) = 0
r = 3 または r = 7

2つとも0 < r < 10を満たしますが、まだ中心角を確認していません。r = 3ならl = 14、θ = 14/3です。14/3 < 2πなので条件内です。r = 7ならl = 6、θ = 6/7で、こちらも条件内です。よって答えは、半径3 cm・中心角14/3ラジアン、または半径7 cm・中心角6/7ラジアンです。

元の場面では前者の周長は3 + 3 + 14 = 20 cm、面積は3・14/2 = 21 cm²です。後者も7 + 7 + 6 = 20 cm、面積は7・6/2 = 21 cm²です。同じ周長と面積でも、半径が小さく弧が長い形と、半径が大きく弧が短い形がありえます。2次方程式の片方を、図の印象だけで捨てないようにします。

発展例題：式の解と扇形の解を区別する

中心角が0 < θ ≤ 2πの扇形の周長は18 cm、面積は8 cm²です。半径をcm、中心角をラジアンで厳密に求めてください。条件に合うものをすべて挙げます。

弧長をl cmとすると、l = 18 − 2rです。正の弧長のため0 < r < 9です。面積の式から次を得ます。

8 = r(18 - 2r)/2
8 = 9r - r²
r² - 9r + 8 = 0
(r - 1)(r - 8) = 0
r = 1 または r = 8

r = 1なら弧長は16 cm、中心角は16ラジアンです。16 > 2πなので、一周以内という条件に反します。式の解ではありますが、この扇形の解にはなりません。r = 8なら弧長は2 cm、中心角は1/4ラジアンです。これは指定範囲内です。

答えは半径8 cm、中心角1/4ラジアンです。半径2本と弧の和は8 + 8 + 2 = 18 cm、面積は8・2/2 = 8 cm²です。小さい半径の候補は、弧長がその円の円周2π cmを超えることでも除けます。弧長が正かという点検だけでは不十分で、一周以内という上限も必要です。

誤答から境界を数え直す

標準例題で「周長20 cmだから弧長も20 cm」として、21 = 20r/2からr = 21/10とする答えを考えます。この計算は弧長20 cmの別の条件を解いています。周長の中にある半径2本を数えていません。

図3のように、周長を弧と2本の半径に分けてから、弧長を20 − 2rと置き直します。誤答のr = 21/10をもとの周長20 cmに戻すと、弧長は79/5 cmです。その面積は(21/10)・(79/5)/2 = 1659/100 cm²で、21 cm²になりません。式の計算が合っていても、図形に戻すと条件の読み違いが見つかります。

図3のように周長を分けると、足すべき線分が目に見えます。別の失敗は、正の解を見てすぐ答えにすることです。発展例題のr = 1は、周長と面積の式には合っても、中心角が指定範囲の外でした。半径の正負、弧長の正負、中心角の上限を順番に調べると、どの条件で除いたのか説明できます。

条件を式に移すときの順序

まず問題文の「弧長」と「周長」に印を付けます。周長なら半径2本を含むため、未知の半径を文字で置いたまま引き算します。次に面積の式を作り、正の半径と正の弧長を残します。最後に中心角を弧長÷半径で求め、一周以内という図形の条件を調べます。この順序なら、方程式の解が複数あるときも同じ手順で比較できます。

逆に、与えられた弧長と面積から求めた中心角が範囲外なら、数値の組に合う扇形はありません。範囲外の角を無理に一周分引くと、弧の長さも変わるため元の条件を保てません。円全体が許されるかは不等号の等号で決まり、図の見た目から決めないようにします。

練習問題

各問とも半径は正、中心角は0 < θ ≤ 2πとします。長さはcm、面積はcm²、角はラジアンとし、答えは分数やπを用いた厳密な値で示してください。該当するものはすべて求めます。

1. 半径4、中心角3π/4の扇形の弧長と面積を求めてください。
2. 弧長10、面積20の扇形の半径と中心角を求めてください。
3. 周長16、面積12の扇形の半径と中心角を求めてください。
4. 弧長15、面積5の扇形は存在しますか。存在するなら半径と中心角を、存在しないなら理由を示してください。
5. 半径2、弧長4πの扇形の中心角と面積を求めてください。円全体も認め、角の上限を確認します。

練習問題の解答

1

中心角3π/4は指定範囲にあります。弧長と面積の式へ半径4を入れます。

l = 4・3π/4
l = 3π
S = 4²・(3π/4)/2
S = 6π

弧長は3π cm、面積は6π cm²です。円周8π cmの3/8に当たる弧が3π cmで、円の面積16π cm²の3/8が6π cm²です。同じ角の割合で両方を確かめられます。

2

l = 10 > 0なのでS = rl/2から半径を求められます。

20 = 10r/2
r = 4
θ = 10/4
θ = 5/2

半径4 cm、中心角5/2ラジアンです。5/2は0より大きく2πより小さい値です。4・(5/2) = 10、4・10/2 = 20となり、弧長と面積の両方が与えられた値に戻ります。

3

弧長は16 − 2rであり、正の弧を持つには0 < r < 8です。面積を代入して解きます。

12 = r(16 - 2r)/2
r² - 8r + 12 = 0
(r - 2)(r - 6) = 0
r = 2 または r = 6

r = 2なら弧長12、中心角6です。6 < 2πなので採用します。r = 6なら弧長4、中心角2/3で、こちらも採用します。答えは半径2 cm・中心角6ラジアン、または半径6 cm・中心角2/3ラジアンです。周長はそれぞれ2 + 2 + 12 = 16、6 + 6 + 4 = 16で、面積も2・12/2 = 12、6・4/2 = 12に戻ります。

4

仮に存在するとして、弧長15から半径を逆算します。

5 = 15r/2
r = 2/3
θ = 15/(2/3)
θ = 45/2

45/2 > 2πなので指定された範囲に入りません。したがって存在しません。別の見方では、半径2/3の円周は4π/3 cmであり、弧長15 cmより短くなります。弧長と面積の式から正の半径が得られても、一周以内の図形とは限らないことがわかります。

5

与えられた弧長は4πで、半径は2です。弧長を半径で割って中心角を求めます。

θ = 4π/2
θ = 2π
S = 2・4π/2
S = 4π

中心角は2πラジアン、面積は4π cm²です。等号を含むため円全体を採用できます。弧長は円周2π・2 = 4π、面積は円の面積π・2² = 4πに一致します。もし問題がθ < 2πと指定していれば、この候補は採用できません。

覚えておくこと

弧長はrθ、面積はr²θ/2で、θはラジアンです。
周長は弧長に半径2本を足します。
同じ扇形なら面積は半径と弧長の積の半分です。
逆算後は半径、弧長、中心角の範囲を調べます。
答えを周長と面積の両方に戻します。

どこで止まったかを見分ける

周長を弧長と取り違えたときは、扇形の境界を指で一周し、通った線を式に1本ずつ書けるかを確認します。式は立つのに候補を落とすときは、2次方程式の各解に対して弧長と中心角を別々に計算し、範囲と照合します。角の値を求められても単位が曖昧なら、円全体の角2πと円周2πrを対応させてみます。

個別指導で確かめる際も、答えの数だけで判断せず、どの条件から候補を除いたかを言葉にしてもらいます。等号を含む問題と含まない問題を並べれば、円全体を境界として扱えるかも見えます。弧と半径を区別して周長を読み、求めた角を図形の範囲へ戻すことが、扇形の条件判断につながります。