高校数学A 和の法則と積の法則—枝ごとの候補が変わる選択を分けて数え上げる｜武蔵野個別指導塾

展示コースごとに工程の候補数が変わる例を通して、枝を分けて数える方法が和と積の法則です。

よくあるのは、展示コースを選び、そのコースで体験する工程を選ぶ場面です。コースごとに用意された工程の数が違うのに、コース数と工程の総数を掛けると、選んだコースでは体験できない工程まで数えてしまいます。選択を一組として記録し、どの組が実際に作れるかをたどると、足す場所と掛ける場所が見えてきます。

選択の形を先に決める

場合の数では、何を異なる結果とみなすかを最初に定めます。コースと工程の組を数えるなら、工程名が同じでもコースが異なれば別の組です。一方、工程名だけを数える問題なら同じ名前は一つとして扱います。この違いを決めずに式を書くと、計算が合っていても求めたものが変わってしまいます。

出方には、互いに重ならない選択肢から一つを選ぶ型、順に複数の選択をする型、最初の選択によって次の候補が変わる型があります。最後の型では、最初の選択ごとに次の候補を数え、その結果を足します。選択がさらに続く場合も、一つの枝の中で候補数が一定なら掛け、枝どうしを足すという考え方を繰り返せます。

「または」なら常に足す、「そして」なら常に掛ける、と言葉だけで決めるのは危険です。「または」に重なりがあれば同じ結果を二度数えます。「そして」で前の選択により候補数が変わるなら、一つの積にはまとめられません。結果を記録する欄を作り、その欄がどう埋まるかを調べます。

足せる分類と掛けられる段階

和の法則は、あることをする方法が互いに重ならないいくつかの場合に分かれるとき、全体の方法の数が各場合の数の和になるという法則です。足す前に、どの結果も少なくとも一つの分類に入り、二つ以上には入らないことを確かめます。分類から結果を一つ選ぶ操作と、元の結果を選ぶ操作が対応して初めて、和が全体の数になります。

積の法則は、一つ目の操作が m 通りあり、そのどの場合についても二つ目の操作が n 通りあるとき、両方を順に行う方法が m・n 通りになるという法則です。一つ目の各選択に対して二つ目の候補が n 個ずつあるためです。候補そのものは変わっても、数が一定であり、選択の記録が結果と一対一に対応すれば掛けられます。

図1のように、左右の箱は重ならない分類、上下の欄は順に記録する選択を表します。分類の境界と段階の境界は別です。段階の数だけを見て、いつでも掛け算にするわけではありません。

例えば、赤い札を選ぶ場合と丸い札を選ぶ場合は、赤くて丸い札があると重なります。そのまま足すのでなく、「赤い札」と「赤くない丸い札」に分ければ重なりません。逆に、色と形の組を作る問題では、色を選んだ後に選べる形の数が色によらず一定かを調べます。実物に存在しない組がある場合は、全色と全形の数を掛けることはできません。

樹形図の根元から先端までの一本の道筋は、一連の選択の記録です。先端が求める結果と一対一に対応するように枝を作ります。同じ結果に至る道筋が二本あれば重複があり、結果に対応する道筋がなければ漏れがあります。この確認は、式を計算する前にも後にも使えます。

基本例題：コース別に工程を選ぶ

問題。展示のコースは A、B、C の3種類です。A では工程 a、b の2種類、B では工程 c、d、e の3種類、C では工程 f の1種類から体験できます。コースを一つ選び、そのコースの工程を一つ選びます。コースと工程の組は全部で何通りですか。整数で答えてください。

方針。先にコースで分けます。A を選んだ組と B を選んだ組はコースの欄が違うので重なりません。C についても同様です。図2のように、各コースから実際に選べる工程への枝を伸ばし、先端を数えます。

A の組は (A, a)、(A, b) の2通りです。B の組は (B, c)、(B, d)、(B, e) の3通り、C の組は (C, f) の1通りです。どの組も必ず一つのコースから始まり、異なるコースの組は一致しないため、和の法則が使えます。

A の組の数 = 2
B の組の数 = 3
C の組の数 = 1
全体の組の数 = 2 + 3 + 1
             = 6

答えは6通りです。元の条件に戻ると、6本の枝はどれも選んだコースで実施できる工程につながり、工程を一つずつ選んでいます。また、コースごとの工程をすべて並べているので漏れがありません。

ここで 3・6 としてはいけません。工程の総数6をどのコースでも選べると仮定したことになり、例えば (A, f) のような不可能な組を含むからです。掛け算は便利ですが、その積の一つ一つが何の選択を表すかを確かめる必要があります。

標準例題：枝の中で掛けてから足す

問題。工作の会場には木材コースが2種類、紙コースが3種類あります。木材コースのどれを選んでも仕上げは2種類から、紙コースのどれを選んでも仕上げは4種類から選べます。コースを一つ、そこで使える仕上げを一つ選びます。コースと仕上げの組は何通りですか。異なるコースの組は別とし、整数で答えてください。

木材と紙で分類すれば、同じコースが両方に属することはありません。木材では2種類の各コースに仕上げが2種類ずつ対応するので、積の法則を使えます。紙でも各コースの仕上げ数が4で一定なので、別に積を作れます。

木材の組の数 = 2・2
             = 4
紙の組の数 = 3・4
           = 12
全体の組の数 = 4 + 12
             = 16

答えは16通りです。木材を選んだ組と紙を選んだ組は重ならず、いずれかに必ず属します。各積の中では、選んだコースごとに使える仕上げを一つずつ対応させているので、不可能な組は入りません。

別の見方では、コースを1本ずつ枝にし、仕上げの枝の本数を順に数えます。木材の2本には2本ずつ、紙の3本には4本ずつ伸びるので、先端の数は 2 + 2 + 4 + 4 + 4 = 16 です。この足し算を同じ数ごとにまとめたものが上の積です。5種類のコースに同じ数の仕上げがあるわけではないので、5に一つの仕上げ数を掛ける方法は使えません。

発展例題：途中の選択で後の候補が変わる

問題。展示カードの枠は白、青、緑の3種類です。白枠では図柄を星、月の2種類から、青枠では星、波、山の3種類から、緑枠では月、波の2種類から一つ選びます。星または月を選んだときは文字の位置を上、下の2種類から選べます。波または山を選んだときは位置を中央の1種類に限ります。枠、図柄、位置の組は何通りですか。各組を区別し、整数で答えてください。

枠ごとに図柄の候補が違い、さらに図柄によって位置の候補数が違います。したがって、枠の数、図柄の総数、位置の総数を一度に掛けることはできません。枠を固定し、その中で図柄ごとに位置を数えます。

白枠 = 星の2通り + 月の2通り
     = 2 + 2
     = 4
青枠 = 星の2通り + 波の1通り + 山の1通り
     = 2 + 1 + 1
     = 4
緑枠 = 月の2通り + 波の1通り
     = 2 + 1
     = 3
全体 = 4 + 4 + 3
     = 11

答えは11通りです。枠、図柄、位置の3欄を記録すると、白の星の上と青の星の上は枠が違うので別です。各欄は条件に沿って埋められ、同じ3欄の組は一度しか現れません。白、青、緑のいずれかに必ず分かれることも確認できます。

図柄から先に数えることもできます。星が使える枠は白と青の2種類で、位置は各枠で2種類です。月も白と緑の2種類に位置2種類、波は青と緑の2種類に位置1種類、山は青の1種類に位置1種類です。

星 = 2・2 = 4
月 = 2・2 = 4
波 = 2・1 = 2
山 = 1・1 = 1
全体 = 4 + 4 + 2 + 1
     = 11

こちらも一つの組を、その図柄によってただ一つの分類に入れています。分類の順番を変えても数える対象が同じなら答えは一致します。ただし、例えば星を選んだ後の位置数が枠によって違う条件に変更されたら、星のところで 2・2 とはできません。枠ごとにさらに分け直します。どの段階で候補数が一定になるかが、標準例題と発展例題を分ける判断です。

誤答から枝を修正する

基本例題で「コース3種類、工程6種類だから 3・6 = 18 通り」とする誤答を考えます。図3のように、掛け算が作る表には選択できない組が含まれます。A と f の交点はその一例です。計算の間違いではなく、各コースに6工程ずつあると扱ったことが原因です。

修正するときは、各コースの行で許される工程だけに印を付けます。A の行に2個、B の行に3個、C の行に1個あるため、合計は6個です。行ごとの印は一つの組に対応し、異なる行の印はコースが異なるので重なりません。18から何となく引くのではなく、条件に合う欄を確認して足します。

木材の組を 2 + 2 と書く場合は、各項の意味を確かめます。二つのコースについて仕上げの組を2通りずつ足した式なら、和の法則による正しい数え方です。一方、コースの種類数2と仕上げの種類数2を別々の選択肢として足しただけなら、求める組を数えた説明にはなりません。2・2 は、各コースに仕上げ2種類ずつを対応させる積です。どちらの式でも、数えた結果がコースと仕上げの組になっているかを確認します。

練習問題

いずれも指定された選択の組を区別し、通り数を整数で答えてください。

1. 読書会の入口は東、西の2か所です。東からは部屋 P、Q、R の3室、西からは部屋 S、T の2室へ入れます。入口と部屋を一つずつ選ぶ組は何通りですか。
2. 音の制作で弦の音色は4種類、管の音色は2種類あります。弦の各音色には長さが3種類、管の各音色には長さが2種類あります。音色と長さの組は何通りですか。
3. バッジの形は丸、四角、三角です。丸は赤と青、四角は青と緑、三角は赤を選べます。赤には小、大の2サイズ、青と緑には中の1サイズが用意されています。形、色、サイズの組は何通りですか。
4. 展示の案内方法は音声、文字の2種類です。音声は日本語と英語から一つを選び、それぞれ速度を遅い、普通、速いから選びます。文字は日本語だけで、大きさを小、普通から選びます。方法、言語、速度または大きさの組は何通りですか。
5. 料理の組は主菜と添え物を各一つ選びます。主菜 X には添え物 L、M、N、O、主菜 Y には L、N、主菜 Z には M、O、P が選べます。主菜と添え物の組のうち、添え物が L または M のものは何通りですか。

答えと解き方

1. 東からは3通り、西からは2通りです。入口が異なれば組も異なるので、3 + 2 = 5 通りです。東の3室と西の2室をそれぞれ一度ずつ数えており、入口に対応しない部屋は含みません。

2. 弦の各音色に3種類、管の各音色に2種類の長さが対応します。よって 4・3 + 2・2 = 12 + 4 = 16 通りです。音色を固定して長さを選ぶので、一つの組が二度現れることはありません。

3. 丸は赤に2サイズ、青に1サイズがあり3通りです。四角は青と緑に各1サイズで2通り、三角は赤に2サイズで2通りです。合計は 3 + 2 + 2 = 7 通りです。各形で許された色と、その色に許されたサイズに戻して確認できます。

4. 音声は言語2種類のそれぞれに速度3種類があり、2・3 = 6 通りです。文字は言語1種類に大きさ2種類で、1・2 = 2 通りです。方法で分けて 6 + 2 = 8 通りです。音声の速度と文字の大きさは、それぞれ指定された方法のもとで選びます。

5. X では L、M の2通り、Y では L の1通り、Z では M の1通りが条件に合います。したがって 2 + 1 + 1 = 4 通りです。各主菜で実際に選べる添え物に限り、L と M 以外を数えていません。

覚えておくこと

重ならず漏れのない場合に分けたら、各場合の数を足します。
各選択の後の候補数が一定なら、段階の数を掛けます。
候補数が変われば、一定になるところまで枝を分けます。
一つの枝の先端と一つの結果が対応するか確かめます。

式からつまずきを見分ける

式が書けないときは、まず完成した結果を一つ挙げ、何を記録するか尋ねます。コースだけでなく工程も必要だとわかれば、結果を組として表せます。次に、最初の選択を固定したときに残る候補を実際に列挙します。どの枝でも同じ本数なのか、枝ごとに違うのかが掛け算の条件です。

個別指導では、書かれた積の各因数が何を数えるか、積の一項が実現可能な組に対応するかを確かめます。和の式なら、二つの項に同じ組が入らないか、入らない組が残っていないかを具体的に尋ねます。答えが合っていても、偶然同じ値になった足し算と掛け算は区別します。枝の意味まで説明できれば、新しい条件でも数え方を選べます。