高校数学A 条件付きの組合せ—種類ごとの個数を場合分けして選び方を求める｜武蔵野個別指導塾

素材を選ぶ内訳を表にし、指定個数や必ず含む条件から式を立てます。内訳の漏れを防ぐ条件付きの組合せです。

よくあるのは、高1が2種類の素材から決まった個数を選ぶ設計で、条件に合う内訳を1つ落とすという場面です。たとえば「こちらを2個以上」と読んで2個の場合を書いても、3個やそれ以上の場合を調べなければ、選び方の総数は決まりません。

素材は同じ種類でもそれぞれ区別できるものとします。選んだ順番は結果に含めず、どの素材が選ばれたかを数えます。まず個数の内訳を決め、次に各種類の中で実物を選ぶという2段階に分けましょう。

どの条件で内訳を分けるか

問題の出方には、ある種類を「ちょうど何個」と指定する型、ある種類を「少なくとも何個」とする型、特定の1個を「必ず含む」とする型があります。複数の条件が同時につくこともありますが、いずれも最初に総数と各種類の上限を確認する点は同じです。

ちょうどという指定なら、その種類の個数が1つに定まります。残りの種類の個数は選ぶ総数から引いて決まります。一方、少なくとも2個なら2個に限らず、3個、4個という可能性もあります。総数を超える個数や、手元の素材の個数を超える内訳は使えません。

特定の素材を必ず含む場合は、その1個を先に確保すると、残りの選択に戻せます。確保した素材を再び候補に入れると、同じものを2回選ぶことになってしまいます。個数条件が種類全体にかかるなら、確保した1個もその種類の個数に数えます。

組合せと内訳の表

異なるn個から異なるr個を、順序を考えずに選ぶ選び方の数をnCrと表します。ここでn、rは整数で、0≦r≦nです。r個を順に選ぶnPr通りでは、同じ選ばれた集合がr個の並べ方の分だけ重複します。したがって、nCr = nPr / r!です。0個を選ぶ方法は、何も選ばない1通りなのでnC0 = 1です。

たとえば2種類の素材から合計4個を選び、Aを少なくとも2個とするなら、Aの個数は2、3、4の候補があります。図1のように、Aの個数を決めるとBの個数は4から引いて決まります。ただし、各種類の在庫がその内訳を実現できることは別に確認します。

図1の3行は、Aの個数が異なるため互いに重なりません。また、合計4個という条件のもとでAを2個以上選ぶ場合はこの3行のいずれかに入ります。行どうしが重ならず、条件に合う選択がいずれかの行に入ることを確認してから、各行の通り数を足します。もしAが3個しかなければ、4個の行は実現できないので除きます。

1行の中では、Aから選ぶ組とBから選ぶ組をそれぞれ決めます。Aの選択1つとBの選択1つの組は、元の素材の選択1つに対応します。逆に完成した選択を種類別に分けると、その2つの組が一意に戻ります。この対応があるため、それぞれの組合せの数を掛けられます。種類内で並べる順序は数えません。

基本例題：指定された個数を選ぶ

異なる赤い素材4個と異なる青い素材5個から、合計3個を選びます。赤い素材をちょうど2個含む選び方は何通りですか。選ぶ順序は区別せず、答えは整数の通り数で求めてください。

赤が2個と決まるので、青は残りの1個です。図2のように赤から2個を選ぶ操作と、青から1個を選ぶ操作を分けます。どちらも手元の個数以下を選ぶので、組合せを使えます。

赤の選び方は、順序をつけて選ぶ数を同じ2個の並び方で割ると次のとおりです。

4C2 = (4・3) / (2・1)
    = 6
5C1 = 5
6・5 = 30

答えは30通りです。図2の2つの選択を合わせると、赤2個と青1個で合計3個になり、指定された条件へ戻ります。赤の組が異なるか青の素材が異なれば、完成した選択も異なります。逆に条件を満たす選択は赤の組と青の1個に分けられるため、漏れもありません。

ここで4C2 + 5C1とすると、赤の選択だけ、または青の選択だけを数える形になります。欲しいのは赤と青の両方を合わせた1つの選択ですから、独立した2つの選択の組を作る積を使います。反対に、同じ3個を選んだ順番まで区別して掛けると、問題が同一とする結果を繰り返し数えます。

標準例題：少なくともを内訳で分ける

異なる木製部品5個と異なる布製部品4個から、合計4個を選びます。木製部品を少なくとも2個含む選び方は何通りですか。選ぶ順序は区別せず、答えは整数の通り数で求めてください。

木製の個数は2、3、4のいずれかです。それに対応する布製の個数は順に2、1、0です。いずれも手元の部品数を超えません。木製の個数を見ればどの行に属するか決まるため、3行は重なりません。

木2個、布2個: 5C2・4C2 = 10・6 = 60
木3個、布1個: 5C3・4C1 = 10・4 = 40
木4個、布0個: 5C4・4C0 = 5・1 = 5
合計: 60 + 40 + 5 = 105

答えは105通りです。各行とも木と布の個数の和は4で、木は2個以上です。布0個の行も条件に合います。0個選ぶことを「選び方がない」と扱うと、この5通りが消えてしまいます。

別の確認として、全体から木が2個未満の選択を除きます。全体は異なる9個から4個を選ぶ9C4 = 126通りです。木0個なら布4個、木1個なら布3個なので、除く対象は次の2行です。

木0個、布4個: 5C0・4C4 = 1・1 = 1
木1個、布3個: 5C1・4C3 = 5・4 = 20
126 - 1 - 20 = 105

木が0個か1個かで除く対象も重ならず、それ以外が木2個以上です。直接足した3行と除いた2行は、木の個数0から4までを過不足なく分けます。全体から引く方法は内訳が多いときに便利ですが、何を除いたかを明示しないと境界の2個を誤って除くことがあります。

発展例題：必ず含む素材を先に確保する

異なる紙素材6個と異なる糸素材5個から、合計5個を選びます。指定された紙素材Pと指定された糸素材Qを必ず含み、紙素材を少なくとも3個含む選び方は何通りですか。選ぶ順序は区別せず、答えは整数の通り数で求めてください。

PとQは種類が違う別の素材です。まずこの2個を確保すると、残りは紙5個と糸4個から3個を選びます。元の紙の個数にはPが含まれるため、残りの3個の中では紙を少なくとも2個選べばよいことになります。

残りの紙を2個選ぶなら糸は1個、紙を3個選ぶなら糸は0個です。紙を4個選ぶことは、残りの選択が3個なのでできません。各行は残りの紙の個数が異なり、条件に合う選択を尽くしています。

残りの紙2個、糸1個: 5C2・4C1 = 10・4 = 40
残りの紙3個、糸0個: 5C3・4C0 = 10・1 = 10
合計: 40 + 10 = 50

答えは50通りです。最初の行を元に戻すと、Pを含む紙3個とQを含む糸2個で合計5個です。次の行は紙4個と糸1個で、こちらもPとQを含みます。紙5個の内訳は糸が0個となり、Qを必ず含む条件に反するので入りません。

先に確保せず、最終的な種類の個数で考えても同じです。紙3個・糸2個ならP以外の紙2個とQ以外の糸1個、紙4個・糸1個ならP以外の紙3個を選びます。2つの方法は同じ素材の集合を、それぞれ「残りの個数」と「最終的な個数」で分類しています。

条件が「PまたはQを少なくとも一方含む」に変わると、両方を先に確保する方法は使えません。Pだけを含む、Qだけを含む、両方を含むという重ならない場合に分けるなど、条件に合わせて分類し直します。「両方」と「少なくとも一方」は数える対象が異なります。

間違いの場所から式を直す

標準例題で「木を少なくとも2個」を木2個・布2個だけと読み、60通りとする誤答を考えます。図3のように、2個の行は条件を満たしますが、3個と4個の行も条件を満たします。1行の計算が正しくても、行が足りなければ答えは不足します。

修正するときは、木の個数を小さい方から順に書き、各行で布を4から引いて決めます。木2個・布2個、木3個・布1個、木4個・布0個の3行を作れば、図3のように抜けた2行を確認できます。木の個数が異なるので、追加した行が元の行と重複する心配はありません。

別の誤りは、発展例題でPを確保した後も紙を残りから3個以上選ぶことです。これは最終的な紙の数にPを数えていないため、紙3個の選択を落とします。確保した素材と残りの素材を合わせて元の条件に戻し、合計5個と紙3個以上を行ごとに確かめれば修正できます。

実現できない内訳にも注意します。たとえば必要な素材が手元に2個しかないのに、その種類を3個選ぶ行は作れません。条件を満たす行が1つも残らないときは選び方は0通りです。0通りという結論と、ある種類を0個選ぶ方法が1通りあることは別の話です。

練習問題

どの問題も同じ種類のものは個別に区別でき、選ぶ順序は区別しません。答えはそれぞれ整数の通り数で求めてください。

1. 異なるスケッチ7枚と異なる写真3枚から合計4枚を選びます。写真をちょうど1枚含む選び方は何通りですか。
2. 異なる赤い封筒3枚と異なる白い封筒6枚から合計4枚を選びます。赤い封筒を少なくとも1枚含む選び方は何通りですか。
3. 異なる木の札4枚と異なる金属の札3枚から合計3枚を選びます。指定された木の札1枚を必ず含む選び方は何通りですか。
4. 異なる葉の標本5点と異なる花の標本4点から合計4点を選びます。葉と花をそれぞれ少なくとも1点含む選び方は何通りですか。
5. 異なる大きな箱4個と異なる小さな箱5個から合計4個を選びます。指定された小さな箱1個を必ず含み、大きな箱は高々2個とする選び方は何通りですか。

練習問題の答えと解き方

1. 写真の枚数を固定する

写真1枚に対してスケッチは3枚です。どちらも選べる枚数の範囲内なので、各種類の組合せを掛けます。

3C1・7C3 = 3・35
           = 105

105通りです。写真1枚とスケッチ3枚を合わせると4枚であり、同じ4枚を選ぶ順番を変えても1通りとして数えています。

2. 赤がない選択を除く

全体は9枚から4枚を選ぶ9C4通りです。赤が1枚以上でない選択は、赤0枚・白4枚に限られます。

9C4 - 6C4 = 126 - 15
           = 111

111通りです。残った選択は赤を1枚、2枚、または3枚含み、いずれも合計4枚です。赤が4枚の選択は手元に赤が3枚しかないため存在しません。

3. 指定の札を確保する

指定の木の札を先に取ると、残る候補は木3枚と金属3枚の計6枚です。その中から2枚を選びます。

6C2 = (6・5) / (2・1)
    = 15

15通りです。残りの2枚に指定の札を加えると合計3枚で、指定の札は必ず含まれます。候補の6枚には確保済みの札を含めていません。

4. どちらかが欠ける選択を除く

全体は9点から4点を選びます。葉がない選択と花がない選択は、4点を選ぶ以上、互いに重なりません。それぞれを全体から引きます。

9C4 - 4C4 - 5C4 = 126 - 1 - 5
                    = 120

120通りです。残る選択は葉も花も1点以上含み、内訳は葉1・花3、葉2・花2、葉3・花1のいずれかです。葉4・花0と葉0・花4は除いた2つの場合に対応します。

5. 確保後の上限を表にする

指定の小さな箱を確保すると、残りは大4個と小4個から3個を選びます。大きな箱は確保していないので、残りでも高々2個です。大の個数0、1、2に対応する小の個数は3、2、1です。

大0個、小3個: 4C0・4C3 = 1・4 = 4
大1個、小2個: 4C1・4C2 = 4・6 = 24
大2個、小1個: 4C2・4C1 = 6・4 = 24
合計: 4 + 24 + 24 = 52

52通りです。各行に確保した小さな箱を加えると合計4個になり、大きな箱は2個以下です。大3個の行は箱の合計数を満たしますが、上限に反するので加えません。

覚えておくこと

組合せは、異なるものを順序を区別せず選ぶときに使います。
種類ごとの個数を並べ、総数と在庫の両方を確かめます。
同じ内訳の中では種類ごとの選択を掛け、重ならない内訳は足します。
必ず含むものを確保した後は、残りの候補と必要個数を更新します。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめる箇所

式が立たないときは、まず「何を同じ選択とみなすか」を尋ねます。同じ素材を逆順に選んだ場合を別に数えるなら、具体的な2つの素材を挙げ、完成した集合が同じかを確認します。順番が必要な役割の問題と混同している箇所が見えます。

次に、書いた各項がどの内訳を表すかを本人に示してもらいます。式の計算が合っていても、少なくともという条件の境界や、0個の行が欠ける場合があります。表の行から実際の選択を1つ作り、逆にその選択がどの行へ戻るかを確かめると、漏れと重複を区別できます。

指定品を含む問題では、確保前と確保後の候補数、残りの選択数、最終的な種類の個数を順に尋ねます。必要なら条件を満たさない選択も1つ作り、どの条件に反するため除いたかを言葉にします。内訳と元の選択を往復できれば、条件付きの組合せの式に根拠が生まれます。