高校数学A 条件のある円順列—隣接と向かい合う配置を固定して数え分ける｜武蔵野個別指導塾

円形の観測装置で1台を基準にそろえ、隣接と対面の条件を数え分けます。先に置いた部品が残りの候補を変える例も扱います。

よくあるのは、高1が円形の観測装置に異なる機器を並べ、向かい合う2台を何度も固定し直してしまう場面です。向かいの位置を選ぶたびに別の配置が増えるように見えても、円を回して重なる配置は同じものとして数えます。まず1台の位置を基準にすれば、相手の位置は決まり、残りの機器だけを並べられます。隣り合う条件でも、円の最後と最初がつながっていることを忘れないようにします。

円の条件をどの順番で読むか

円形に並べる問題では、まず何を同じ配置とみなすかを確認します。ここでは円全体を回転して重なる配置は同じとし、裏返して重なるだけの配置は別とします。すべてのものは区別でき、位置に入口や番号などの目印はありません。時計回りと反時計回りは区別して読みます。

出方の一つは、指定された2つが隣り合う配置です。2つを一組にして数える方法と、一方を固定して他方を左右のどちらかに置く方法があります。2つ目は、指定された2つが隣り合わない配置です。全配置から隣接する配置を引くか、固定したものの隣を避けて置きます。3つ目は、偶数個を等間隔に並べたときの対面条件です。1つを固定すると、その正面は1か所に定まります。

例えば、同じ2つが隣接するという条件でも、円の切れ目の両側にその2つが来ることがあります。直線に描き直すときは切れ目を決めた理由まで確認し、円の接続を図に残します。位置の目印の有無が変われば、同じ図でも数える対象が変わります。

問題の条件が複数ある場合は、一つを満たしてから次を数えます。ただし、先に置いたものによって残る候補が変わるなら、その違いで場合分けが必要です。最終的な配置から途中の選び方が一意に戻るかを確認すると、数え漏れと重複を見つけやすくなります。

固定と隣接、対面の意味

異なるn個を円に並べ、回転を同一とする場合、指定した1個を基準の位置に置けます。どの円形配置も、その1個が基準位置に来るように回す方法がちょうど1つあるからです。固定後、残るn − 1個を時計回りに並べる順序と円形配置は一対一に対応します。したがって全体は(n − 1)!通りです。階乗は、例えば4! = 4・3・2・1を表します。

固定は、配置を勝手に限定して捨てる操作ではありません。回転で同じとする各配置から、基準をそろえた代表を1つずつ選んでいます。基準をそろえた後、さらに円全体を回して同じと数え直す必要はありません。一方、鏡に映した配置を同じにする規則なら話は変わります。ここでは反転を別とするため、その分を2で割りません。

図1のように、Aを固定すると隣の位置は左右の2か所です。6か所を等間隔に置く場合、Aの向かいは3つ先の1か所です。対面という言葉は、位置の個数が偶数で、円周上に等間隔の位置を置くときに使います。奇数個では、指定した位置から円の半周先に別の位置がありません。

図1の隣と向かいは位置の関係です。隣の機器が何であるか、向かいの機器が何であるかを決めてから、空いた位置に残りを入れます。円の図を直線に展開する場合も、両端の位置が隣り合うことを引き継ぎます。

基本例題：指定した2台を隣に置く

異なる5台の機器A、B、C、D、Eを等間隔に円形に並べます。回転して重なる配置は同じとし、反転だけで重なる配置は別とします。AとBが隣り合う配置は何通りですか。整数の通り数で答えます。

Aを基準位置に固定します。図2のようにBはAの時計回りの隣か反時計回りの隣に置けます。Bの位置を決めた後は、3か所にC、D、Eを並べます。空いた位置は時計回りに区別できるので、その並べ方は3!通りです。

図2の2か所は同時にBを置く位置ではなく、どちらかを選ぶ候補です。積の法則により、求める通り数は次のようになります。

2・3!
= 2・3・2・1
= 12

答えは12通りです。固定後の配置を1つ見れば、Bが左右のどちらにあるかと、残り3台の順序がそれぞれ決まります。2つの候補は重ならず、隣接する配置はどちらかに入ります。そのため足りない配置も、二度数えた配置もありません。

別の見方では、AとBを順序のある一組として扱い、その組とC、D、Eの計4個を円に並べます。組の内部はABとBAの2通りです。4個の円順列は3!通りなので、3!・2 = 12通りと一致します。組を円に戻すとき、組をまたいで円の端が切られていても隣接は保たれます。内部の2通りを掛け忘れないことが、この方法の要点です。

標準例題：離れる条件は全体から引く

異なる6枚の札A、B、C、D、E、Fを等間隔に円形に並べます。回転して重なる配置は同じとし、反転だけで重なる配置は別とします。AとBが隣り合わない配置を整数の通り数で求めます。

Aを固定すると、残り5枚の並べ方は5!通りです。そのうちBがAに隣接する配置は、Bの位置が2通りで、残る4枚が4!通りです。隣り合う場合と隣り合わない場合は重ならず、全配置を分け尽くします。よって次のように引けます。

5! - 2・4!
= 120 - 48
= 72

答えは72通りです。引いた48通りが、ちょうど禁止された隣接配置であることが重要です。Aを固定しない直線の並べ方から両端だけを調べると、円でつながる位置を見落とすことがあります。

直接数えることもできます。Aを固定した後、残る5か所のうち両隣の2か所を除くと、Bの候補は3か所です。残る4枚は4!通りなので、3・4! = 72通りです。Bの候補3か所には、Aの向かいの1か所も含まれます。向かいは隣ではないので、除いてはいけません。

2つの方法は、Bの5つの候補を隣の2か所とそれ以外の3か所に分けている点で対応します。差を使う方法は全体と禁止の数が簡単なときに便利です。直接数える方法は、残った位置にどんな種類があるか見たいときに役立ちます。

発展例題：対面を決めてから隣接を除く

異なる8個の部品A、B、C、D、E、F、G、Hを等間隔に円形に並べます。回転して重なる配置は同じとし、反転だけで重なる配置は別とします。AとBが向かい合い、さらにCとDが隣り合わない配置を整数の通り数で求めます。

まずAを固定すると、Bは4つ先の向かいに決まります。残る6か所にC、D、E、F、G、Hを置く並べ方は6!通りです。ここからCとDが隣り合う配置を引きます。ただし空いた6か所は、AとBによって3か所ずつの2つの連続部分に分かれます。空き位置のどの2か所も隣り合うわけではありません。

各連続部分には隣接する位置の組が2組あるので、合計4組です。CとDをその1組に置く順序は2通り、残る4個の配置は4!通りです。したがって計算は次のようになります。

6! - 4・2・4!
= 720 - 192
= 528

答えは528通りです。引く配置は、隣接したCとDの位置の組を見れば、その組が4組のうちどれか一意にわかります。CとDの順序と残りの4個も復元できるので、重複はありません。差し引いた後はAとBが対面したままで、CとDが隣接しない配置だけが残ります。

直接数える場合はCの位置で分けます。各3か所の連続部分の中央にCを置くと、Dが置ける残り5か所のうち隣は2か所です。中央は2か所あるため、Dの候補はそれぞれ3か所です。端にCを置く場合は4か所あり、隣の空き位置は1か所なのでDの候補はそれぞれ4か所です。残り4個を並べると、(2・3 + 4・4)・4! = 528通りとなります。先に置いたAとBにより、Cの候補ごとにDの候補数が変わることが、基本例題との分かれ目です。

誤答から固定の意味を直す

対面の問題で「Aの位置を8か所から選び、Bを向かいに置き、残りを並べる」として8・6!通りとする誤りがあります。8か所に目印があり、座席の番号が配置を区別するなら、この数え方が成り立ちます。しかし今回の円には目印がなく、回転は同一です。同じ円形配置のAを8か所に回して置いたものを、8回数えています。

図3のように、Aの位置を基準にそろえると、回転して重なる2つの図は同じ代表になります。図3では時計回りの順序が同じです。正しくはAを1か所に固定し、Bをその向かいに置いてから残りを並べます。対面条件だけなら6!通りです。

別の誤りは、Aを固定した後、Bの向かいの位置も回転によって選ぶと考えることです。Aを基準に置いた時点で回転の重複は処理されています。Bの位置を動かすと、一般にはAとの位置関係自体が変わります。対面という条件の下では動かす候補はなく、1か所です。

隣接しない条件で「Bは隣でない1か所」と決めつけるのも危険です。位置の総数によって候補は変わります。円を描き、固定したAとその両隣を消して残りを数えると、候補数を目で確認できます。逆に、反転を同一として2で割る処理を加えると、問題が区別する時計回りの順序まで消してしまいます。

練習問題

各問で、異なるものを等間隔に円形に並べます。回転して重なる配置は同じとし、反転だけで重なる配置は別とします。答えは整数の通り数で求めます。

1. 異なる4色の旗を並べます。指定した赤と青が隣り合う配置は何通りですか。
2. 異なる5冊の小冊子を並べます。指定した2冊が隣り合わない配置は何通りですか。
3. 異なる6個の模型を並べます。指定した2個が向かい合う配置は何通りですか。
4. 異なる8人が円形に並びます。指定した2人が向かい合い、別に指定した1人がそのどちらにも隣り合わない配置は何通りですか。
5. 異なる6個の照明を並べます。指定した2組の各組について、それぞれの2個が向かい合う配置は何通りですか。

練習の答えと解き方

1. 赤を固定すると青の位置は左右2か所です。残り2色を2か所に並べるので、2・2! = 4通りです。青が置かれた側と残りの順序を完成した配置から読み取れます。

2. 指定した1冊を固定すると、もう1冊を置ける4か所のうち両隣を除いた2か所が条件を満たします。残り3冊を並べるので、2・3! = 12通りです。円の両端をつなげて隣を確かめることが必要です。

3. 指定した1個を固定すると、もう1個は3つ先の向かいに決まります。残る4個を並べて4! = 24通りです。向かいを別の候補として数える必要はありません。

4. 指定された対面の2人のうち1人を固定し、もう1人を向かいに置きます。両者の隣の位置は互いに重ならず4か所です。残る6か所からその4か所を除くと、別に指定した1人の位置は2か所です。残り5人を並べて、2・5! = 240通りです。選んだ2か所はどちらも対面の2人に隣接しません。

5. 最初の組の1個を固定すると、その相手は向かいに決まります。残る4か所には向かい合う位置の組が2組あり、次の組を置く組を2通りに選べます。その組内の順序は2通り、最後の2個の順序も2通りです。よって2・2・2 = 8通りです。完成した配置から2組目の位置とそれぞれの順序がわかるため、重複しません。

覚えておくこと

• 回転を同一とするとき、指定した1個を固定して代表を選びます。
• 固定後の左右は隣、偶数個の円の半周先は向かいです。
• 隣り合わない配置は全体から隣接配置を引く方法もあります。
• 先に置いたものが残りの候補を変える場合は、位置を分けて数えます。
• 完成した配置から途中の選択を復元し、漏れと重複を点検します。

式が止まったときの確かめ方

固定後の式に位置の個数をもう一度掛けていたら、基準のものを動かした配置が回転で重なるか尋ねます。隣接の係数が1なら、時計回りと反時計回りの双方を図に書いて確かめます。引き算の式なら、引く対象が禁止された配置と一致するか、具体的な並びを1つ戻して調べます。

個別指導では、例えば対面する2つを置いた後に空き位置がどこで途切れるかを、本人の図に印を付けて確認します。候補数を掛ける前に、どの選択からも同じ数の候補が残るかを尋ね、違うなら場合分けの境界を探します。配置を完成させてから選択の順を逆にたどると、式の各因子が何を数えたのか説明できます。円を回したときに変わらない関係を基準に、条件を一つずつ確かめます。