高校数学III・C 定積分の漸化式と極限—部分積分から評価まで論理をつなぐ｜武蔵野個別指導塾

正弦の整数乗の積分から漸化式を導き、正値性と単調性を添えて隣り合う項の比を評価する手順が学べます。

よくあるのは、理系高3の演習で積分の漸化式を出したところで、極限値まで出たと思ってしまう場面です。例えば隣り合う項の商を求めたいのに、式が結ぶのは2つ離れた項ということがあります。そこで、積分の中身の大小に戻り、商を安全に挟む必要があります。固定された区間での三角関数の整数乗を題材に、式を作るところから極限の結論までを追います。

どの式を先に作るか

出方の1つは、指数 n を含む定積分を部分積分し、2つ離れた項を結ぶ型です。sin²x + cos²x = 1 を使うと、積分の中に元の項と指数が2小さい項が現れます。端の値も計算し、漸化式が使える n の範囲を明記します。

もう1つは、積分の比や積の極限を求める型です。漸化式は比の候補を示しますが、その式だけでは求める比に直接届かないことがあります。区間内で 0 ≤ sin x ≤ 1 なら、指数を上げると被積分関数は小さくなります。この大小を積分に移し、正の量で割ってはさみうちを使います。

さらに、積の式と比を組み合わせる型もあります。積が既知でも、各因子の大きさが同じ程度である根拠がなければ平方の極限に置き換えられません。比の極限を先に証明してから、積との関係を使います。

部分積分と大小を結ぶ

n を0以上の整数とし、Iₙ = ∫[0→π/2] sinⁿx dx とします。n = 0 では被積分関数を1と定めます。どの n でも被積分関数は閉区間で連続なので定積分が存在します。また sin x は区間の内部で正ですから、Iₙ > 0 です。正値性は、後で積分値を分母に置くために必要です。

図1のように、部分積分と積分の大小は別々に出発し、比の評価で合流します。前者は等式を与え、後者は隣同士を比較します。

区間内で 0 ≤ sin x ≤ 1 です。したがって各 x について sinⁿ⁺¹x ≤ sinⁿx となり、積分の大小から Iₙ₊₁ ≤ Iₙ です。等号を厳密に使わなくても評価は進みます。添字を1つ変えれば Iₙ₊₂ ≤ Iₙ₊₁ ≤ Iₙ です。

部分積分では、積分する側と微分する側を決めます。n ≥ 2 として sinⁿx = sinⁿ⁻¹x・sin x と分け、前者を微分、後者を積分します。使う関数と導関数はいずれも閉区間で連続です。端点で現れる sinⁿ⁻¹x cos x は、左端では sin 0 = 0、右端では cos(π/2) = 0 なので0です。

Iₙ = [-sinⁿ⁻¹x cos x]₀→π/2
     + (n - 1)∫[0→π/2] sinⁿ⁻²x cos²x dx
   = (n - 1)∫[0→π/2] sinⁿ⁻²x(1 - sin²x) dx
   = (n - 1)(Iₙ₋₂ - Iₙ)
nIₙ = (n - 1)Iₙ₋₂
Iₙ = (n - 1)Iₙ₋₂/n

n = 1 で上の端点の説明をそのまま使うことはできません。初期値 I₀ = π/2、I₁ = 1 を直接求めてから、n ≥ 2 の式で先へ進みます。奇数番目と偶数番目はそれぞれ別の初期値から決まります。図1の右側に進むには、漸化式に加えてこの正値性と単調性が必要です。

基本例題：2つ飛びの式から隣の比へ

問題。n を0以上の整数とし、Iₙ = ∫[0→π/2] sinⁿx dx とします。I₂ と I₃ を整数・分数、必要に応じて π を含む正確な値で示し、続いて lim[n→∞] Iₙ₊₁/Iₙ を求めてください。

解答。上で示したように I₀ = π/2、I₁ = 1、n ≥ 2 で Iₙ = (n − 1)Iₙ₋₂/n です。よって次のように計算します。

I₂ = I₀/2
   = π/4
I₃ = 2I₁/3
   = 2/3

図2のように、偶数と奇数は別の列として進みます。求めたい比は列をまたぐので、矢印の式を1回使うだけでは求まりません。

各 Iₙ は正で、Iₙ₊₂ ≤ Iₙ₊₁ ≤ Iₙ です。正の Iₙ で割り、両端を漸化式で表します。

Iₙ₊₂/Iₙ ≤ Iₙ₊₁/Iₙ ≤ 1
Iₙ₊₂/Iₙ = (n + 1)/(n + 2)
(n + 1)/(n + 2) ≤ Iₙ₊₁/Iₙ ≤ 1

左端と右端はともに1へ収束するので、はさみうちにより求める極限は1です。I₂ = π/4 は sin²x = (1 − cos 2x)/2 の直接積分でも確認できます。I₃ = 2/3 も sin x(1 − cos²x) を積分すると得られます。いずれも元の積分に戻して確かめられます。

ここでは Iₙ 自体が0に近づくかどうかを使っていません。分子と分母がともに小さくなっても比が1に近づくことはあります。各積分が正であることと、2つ飛びの比が1に近いことが、隣の比を挟むための材料です。

標準例題：積と比を別々に確保する

問題。上の Iₙ について、n ≥ 0 に対する (n + 1)IₙIₙ₊₁ を求め、lim[n→∞] nIₙ² を π を用いた正確な式で求めてください。

解答。まず隣接する2項の積を調べます。n ≥ 0 で漸化式を Iₙ₊₂ = (n + 1)Iₙ/(n + 2) と書くと、次の等式を得ます。

(n + 2)Iₙ₊₁Iₙ₊₂
= (n + 2)Iₙ₊₁・(n + 1)Iₙ/(n + 2)
= (n + 1)IₙIₙ₊₁

したがって (n + 1)IₙIₙ₊₁ は n によらず一定です。n = 0 を代入すると、その値は I₀I₁ = π/2 です。定数を推測するだけでなく、添字を1つ増やしても変わらないことと初期値の両方が必要です。

基本例題で Iₙ₊₁/Iₙ → 1 を示しました。各項は正なので、この比を分母として次のように書けます。

nIₙ² = [n/(n + 1)]・[(n + 1)IₙIₙ₊₁]・[Iₙ/Iₙ₊₁]
     = [n/(n + 1)]・(π/2)・[Iₙ/Iₙ₊₁]

各因子の極限を取ると、答えは π/2 です。比の逆数も1へ収束することを用いました。n = 0 では積の値が π/2、n = 1 では 2I₁I₂ = π/2 となり、最初の2組でも元の式と一致します。ただし数組の一致は、全ての n で一定である証明の代わりにはなりません。

積から平方へ移る箇所では、Iₙ と Iₙ₊₁ を等しいと書いてはいけません。有限の n で等しいという主張は不要であり、比が極限で1になることがあれば十分です。途中で n + 1 を n に替える場合も、n/(n + 1) → 1 を示せば根拠が明確になります。

発展例題：重みを変えて比を読む

問題。n を0以上の整数とし、Jₙ = ∫[0→π/2] sinⁿx cos²x dx とします。Jₙ を Iₙ で表し、lim[n→∞] Jₙ/Iₙ₊₂ と lim[n→∞] nJₙ/Iₙ を分数または整数で求めてください。

解答。被積分関数は閉区間で連続です。cos²x = 1 − sin²x と漸化式を順に使います。

Jₙ = Iₙ - Iₙ₊₂
   = Iₙ - [(n + 1)/(n + 2)]Iₙ
   = Iₙ/(n + 2)

Iₙ₊₂ > 0 なので割ることができます。また Iₙ/Iₙ₊₂ = (n + 2)/(n + 1) です。したがって

Jₙ/Iₙ₊₂ = [Iₙ/(n + 2)]/Iₙ₊₂
           = 1/(n + 1)
nJₙ/Iₙ = n/(n + 2)

求める極限は順に0、1です。同じ Jₙ でも、どの量で割り、n を掛けるかによって結果が変わります。n = 0 では J₀ = I₀/2 = π/4 です。これは cos²x を直接積分した値に一致し、元の定義へ戻して確認できます。

ここで Iₙ − Iₙ₊₂ の差を、両方が似ているから0と直ちに扱うことはできません。求めるのは小さな差と小さな積分値の比であり、漸化式によって差の大きさを正確に取り出す必要があります。極限を取る前に式を整理することが、情報を失わないための判断です。

誤答の境目を直す

誤答例。「Iₙ₊₂/Iₙ = (n + 1)/(n + 2) → 1 だから、Iₙ₊₁/Iₙ → 1 である。」結論は正しいものの、この一行には隣の項をつなぐ根拠がありません。2つ飛びの比だけでは、一般の正の数列の隣同士の比は決まりません。例えば正の数列 aₙ を偶数番目で1、奇数番目で2とすると、aₙ₊₂/aₙ = 1 ですが、aₙ₊₁/aₙ は2と1/2を交互に取ります。

図3のように、欠けた橋は単調性です。今回の積分では被積分関数の大小があるため、隣の項が2つの端の間に入ります。

修正答案では、まず各 Iₙ > 0 と Iₙ₊₂ ≤ Iₙ₊₁ ≤ Iₙ を示します。次に正の Iₙ で割り、(n + 1)/(n + 2) ≤ Iₙ₊₁/Iₙ ≤ 1 と書きます。両端が1へ収束するから、はさみうちで比も1へ収束します。図3の例には単調性がないため、この修正で使った不等式は適用できません。

別の失敗は、積分の中で指数を上げれば必ず小さくなるとすることです。底が1を超える区間では向きが逆になります。今回は sin x の値域を先に確認したから比較できました。また正値を確かめずに割ると、式の変形が許されるか不明です。指数の範囲、底の範囲、分母の符号を順に書けば、それぞれの欠落を見つけられます。

練習問題

次の5問では、n は0以上の整数とします。各積分値や極限は整数、分数、または π を用いた正確な式で答えてください。

1. Aₙ = ∫[0→π/2] cosⁿx dx とします。A₄ と A₅ を求めてください。
2. Bₙ = ∫[0→π/2] sin²ⁿx dx とします。Bₙ₊₁/Bₙ とその n → ∞ の極限を求めてください。
3. Cₙ = ∫[0→π/2] sinⁿx cos²x dx とします。C₂ と C₃ を求めてください。
4. Dₙ = ∫[0→π/2] sinⁿx dx とします。lim[n→∞] (n + 3)Dₙ₊₂Dₙ₊₃ を求めてください。
5. Eₙ = ∫[0→π/2] sinⁿx dx とします。lim[n→∞] Eₙ₊₃/Eₙ を求めてください。

練習の解答と確かめ

1. x を π/2 − t と置換すると、積分の向きを合わせて Aₙ = ∫[0→π/2] sinⁿt dt = Iₙ です。連続関数の置換積分が使えます。漸化式と初期値から

A₂ = π/4
A₄ = 3A₂/4
   = 3π/16
A₃ = 2/3
A₅ = 4A₃/5
   = 8/15

元の余弦の積分も置換で同じ値に戻ります。偶数と奇数の初期値を混ぜないことが確認点です。

2. Bₙ = I₂ₙ で、I₂ₙ > 0 です。漸化式に添字 2n + 2 を入れます。

Bₙ₊₁/Bₙ = I₂ₙ₊₂/I₂ₙ
           = (2n + 1)/(2n + 2)

分子と分母を n で割れば、極限は1です。n = 0 では B₁/B₀ = (π/4)/(π/2) = 1/2 となり、元の積分から求めた比とも一致します。n = 0 の確認では n で割らず、極限の計算では n ≥ 1 として割っています。

3. cos²x = 1 − sin²x より、Cₙ = Iₙ − Iₙ₊₂ です。I₄ = 3π/16、I₅ = 8/15 を使うと

C₂ = π/4 - 3π/16
   = π/16
C₃ = 2/3 - 8/15
   = 2/15

元の積分では被積分関数が負にならず、得られた値はいずれも正です。さらに sin²x cos²x = (1 − cos 4x)/8 と直接変形すると C₂ = π/16 です。C₃ は u = cos x の置換により ∫[0→1] (u² − u⁴) du = 2/15 となり、元の条件を満たします。

4. Dₙ = Iₙ です。標準例題の積の等式に添字 n + 2 を代入します。

(n + 3)Dₙ₊₂Dₙ₊₃
= (n + 3)Iₙ₊₂Iₙ₊₃
= π/2

各 n で一定なので極限も π/2 です。n = 0 では 3I₂I₃ = 3・(π/4)・(2/3) = π/2 となり、指定された積に戻ります。積の係数が添字に対して1大きいことを見落とさないようにします。

5. 正値性と単調性により、Iₙ₊₄ ≤ Iₙ₊₃ ≤ Iₙ です。正の Iₙ で割り、漸化式を2回使います。

Iₙ₊₄/Iₙ ≤ Iₙ₊₃/Iₙ ≤ 1
Iₙ₊₄/Iₙ = [(n + 3)/(n + 4)]・[(n + 1)/(n + 2)]

左端は1へ収束するので、はさみうちにより極限は1です。n = 0 の比は I₃/I₀ = 4/(3π) であり、1と等しいわけではありません。極限の等式と個々の項の等式を区別します。

答案を見直すとき

• 部分積分では指数の範囲と端点の値を書く。
• 正値性を示してから積分値で割る。
• 被積分関数の大小で隣の項を挟む。
• 積から平方へ移るときは隣の比を使う。
• 極限の結論と有限の n の等式を区別する。

漸化式は出せるのに比で止まるなら、2つ飛びの式と隣の比の間に何が不足しているかを、自分の言葉で説明してみてください。部分積分の符号がずれる場合は、境界項と導関数を別々に計算すると誤りを追えます。個別指導では、底の範囲から不等式の向きを決めるところと、正の分母で割った後にはさみうちの両端を確かめるところを見ます。漸化式と大小の両方がそろうと、比の極限まで答案がつながります。