高校数学B 母比率の区間推定—標本比率を使う近似の条件と端点を吟味する｜武蔵野個別指導塾

成功0回の標本と大標本の計算例を比べ、端点や抽出の偏りから考えるのは母比率の区間推定です。

よくあるのは、調べた少数の品物に欠けが1個もなかったので、全体の欠けの割合も0だと判断する場面です。高2の学習では、成功回数を標本数で割って母比率を推定しますが、標本に現れなかったことと、母集団に存在しないことは違います。比率の周りに幅を付ける計算と、その幅を信用してよい条件を一緒に見ていきます。以下の調査は計算のために設定したものです。

どんな問いで区間を作るか

第一の型は、無作為に取り出した標本の大きさと成功回数から、指定された信頼係数の近似信頼区間を求める問題です。例えば「条件を満たすもの」を成功と決め、回数を標本数で割ります。割合を百分率で答えるなら、区間の両端を計算した後で100倍します。人数や個数をそのまま区間の中心に置くと、母比率と単位が合いません。

第二の型は、標本数を変えたときに区間の幅を比べる問題です。同じ標本比率と信頼係数なら、幅は標本数の平方根に反比例します。ただし標本比率も変われば、標本数だけから幅の大小を決めることはできません。数値を代入する前に、何が共通なのかを確認します。

第三の型は、求めた式が使えるかを判断する問題です。成功が0回、あるいは失敗がごく少数なら、計算上の端点が出ても正規近似の根拠が弱くなります。また、選び方が偏っている場合、標本数を増やすだけでは全体を代表するとはいえません。母平均の区間ではなく、二つの結果に分けた母比率を扱います。

標本比率と近似区間のつながり

母集団で成功に当たるものの割合を p とします。p は未知でも一つに定まった数で、0以上1以下です。独立に同じ成功確率 p で n 回抽出し、成功回数を X とすると、X は二項分布 B(n, p) に従います。復元抽出なら同じ母集団から選ぶ条件を作れます。標本比率を表す確率変数を R = X/n とすると、その平均は p、分散は p(1 − p)/n、標準偏差は √{p(1 − p)/n} です。

標本数が十分大きく、成功と失敗の両方が十分見込まれるとき、R の分布は平均 p、分散 p(1 − p)/n の正規分布で近似できます。言い換えると、np と n(1 − p) がともに十分大きいことが必要です。どこから十分とするかは近似の目的にもよるため、ここでは機械的な境界を設けません。p 自体は未知なので、観測後は成功数と失敗数を見て近似が無理でないかを点検します。それは真の p に関する条件を厳密に証明するものではありません。

図1のように、抽出前の R は変動する量ですが、抽出後の標本比率 r は観測された数です。正規近似では、標準正規分布の中央の範囲を使って p をはさむ式に直します。未知の p を含む標準偏差はそのまま数値計算できないので、大標本では p を観測値 r で置き換え、次の近似区間を作ります。

r - 1.96√{r(1 - r)/n} ≦ p ≦ r + 1.96√{r(1 - r)/n}

この式は信頼係数を約95%とする両側の近似区間です。標準正規分布 Z の表は P(0 ≦ Z ≦ z) を示し、1.9の行と0.06の列にある値は0.4750です。左右対称なので、-1.96から1.96の間の確率は表の丸め値で0.9500です。例題と練習では、この表の値に基づく係数1.96を使う条件を与えます。連続補正は使いません。

置き換え前は、標準化した (R − p)/√{p(1 − p)/n} が近似的に標準正規分布に従うと考えます。中央の範囲に入る不等式を p について並べ直すと、R の両側に元の標準偏差を置く形になります。その幅に残る未知の p を R で近似し、観測値 r に置き換えたものが上の式です。p を r に置き換えるところでも近似が入るため、有限の標本で被覆率が正確に95%になるという公式ではありません。

信頼係数は、同じ抽出と区間の作り方を繰り返したとき、固定された p を含む区間ができる割合を表します。この近似法ではその割合が約95%です。実際に得た一つの区間について、固定された p が区間の中を95%の確率で動くと読むものではありません。区間が含むか含まないかは決まっていますが、観測だけではどちらかを通常は知ることができません。

基本例題：比率から両端へ

ある種類の部品を母集団とし、印があるものを成功とします。独立な復元抽出で576個を調べたところ、印があるものは288個でした。成功と失敗がともに十分見込まれ、正規近似が使えるとします。信頼係数約95%、係数1.96の近似区間を求め、両端を小数第5位で四捨五入して小数第4位まで示してください。連続補正は使いません。

まず、観測した標本比率を求めます。

r = 288/576
  = 1/2
  = 0.5

調べた個数を分母にするので、中心は0.5です。成功288個と失敗288個という観測も、両方が少なくないことの点検に使えます。問題の条件のもとで、標準誤差を標本比率で見積もります。

√{r(1 - r)/n} = √{(1/2)(1/2)/576}
                   = √(1/2304)
                   = 1/48

ここで平方根を取るのは、分散ではなく標準偏差が区間の幅に必要だからです。1/48 の2乗は1/2304に戻ります。片側の幅は係数を掛けて次のようになります。

1.96・(1/48) = 49/1200
              = 0.0408333…

この幅を中心から引き、また足します。図2のように、左右に同じ幅を取ります。

下端 = 1/2 - 49/1200 = 551/1200 = 0.4591666…
上端 = 1/2 + 49/1200 = 649/1200 = 0.5408333…

したがって、求める区間は 0.4592 ≦ p ≦ 0.5408 です。区間の中心に戻すと、丸め前の両端の平均は (551 + 649)/2400 = 1/2 です。幅も 98/1200 で、片側の幅の2倍になっています。百分率なら約45.92%以上54.08%以下です。標本の50%をそのまま母比率と断定せず、推定の幅を併記します。

標準例題：成功と失敗を入れ替える

ある種類の種を独立に900粒選んで調べ、発芽したものを成功とすると180粒でした。各粒の成功確率は共通で、正規近似が使える条件を満たすとします。信頼係数約95%、係数1.96、連続補正なしで、発芽する母比率 p と発芽しない母比率 q の近似区間を求めてください。両端は小数第5位で四捨五入し、小数第4位まで示します。

成功の観測比率は 180/900 = 1/5、失敗の観測比率は 720/900 = 4/5 です。どちらの回数も少なくないことを確認し、p の標準誤差を見積もります。

√{(1/5)(4/5)/900} = √(4/22500)
                        = 2/150
                        = 1/75

1/75 の2乗は 1/5625 で、元の 4/22500 に等しくなります。片側の幅は次のとおりです。

1.96・(1/75) = 49/1875
               = 0.0261333…

中心は1/5なので、端点を計算します。

下端 = 1/5 - 49/1875 = 326/1875 = 0.1738666…
上端 = 1/5 + 49/1875 = 424/1875 = 0.2261333…

よって p の区間は 0.1739 ≦ p ≦ 0.2261 です。q = 1 − p なので、p の上端が q の下端に、p の下端が q の上端に移ります。順番を逆にすることが必要です。

1 - 424/1875 = 1451/1875 = 0.7738666…
1 - 326/1875 = 1549/1875 = 0.8261333…

q の区間は 0.7739 ≦ q ≦ 0.8261 です。失敗を成功と呼び直しても、標本比率は4/5、積 r(1 − r) は同じ4/25です。中心が4/5に移り、幅は同じになるので計算結果と一致します。両端を足した対応も丸め前にそれぞれ1へ戻ります。

発展例題：標本数と幅を比べる

同じ母集団からそれぞれ独立な復元抽出を行い、標本Aは400個中144個、標本Bは1600個中576個が成功でした。各抽出内の成功確率は共通で、どちらも正規近似を使えるとします。各々について信頼係数約95%、係数1.96、連続補正なしで近似区間を求め、端点を小数第5位で四捨五入して小数第4位まで示してください。また、丸め前の全幅の比を求めてください。

標本比率を別々に計算すると、次のように一致します。

rA = 144/400 = 0.36
rB = 576/1600 = 0.36
r(1 - r) = 0.36・0.64 = 0.2304

Aの成功144個と失敗256個、Bの成功576個と失敗1024個はともに少なくありません。条件に従い近似を使うと、Aの標準誤差と片側の幅は次のとおりです。

√(0.2304/400) = 0.48/20 = 0.024
1.96・0.024 = 0.04704

Bでは標本数の平方根が40なので、同じ分子0.48を用いて計算します。

√(0.2304/1600) = 0.48/40 = 0.012
1.96・0.012 = 0.02352

それぞれの中心から幅を引き、足します。

A: 0.36 - 0.04704 = 0.31296
   0.36 + 0.04704 = 0.40704
B: 0.36 - 0.02352 = 0.33648
   0.36 + 0.02352 = 0.38352

指定の桁では A が 0.3130 ≦ p ≦ 0.4070、B が 0.3365 ≦ p ≦ 0.3835 です。丸め前の全幅は A が0.09408、B が0.04704なので、A対Bは2対1です。Bの標本数はAの4倍で、平方根は2倍ですから、同じ比率と係数では幅が半分になります。両端の平均がどちらも0.36に戻ることも確かめられます。

ただし、これは同じ標本比率を得た2標本の比較です。標本数を4倍にしたら常に観測比率が同じになるわけではありません。さらに、同じ対象に偏って抽出した標本を大きくしても、その偏りはこの幅の式に現れません。区間が細いことと、母集団を適切に代表していることは別の確認事項です。

誤答を直す：幅0は証明ではない

12個を独立に調べ、成功が0個だったとします。「r = 0だから式の幅は0、母比率は0と確定する」という答えは誤りです。代入自体は 0・(1 − 0) = 0 となりますが、そこで計算を止めると、式を使うための近似の条件を落とします。

図3のように、観測された0回は標本の結果です。母比率が正でも、少数の抽出で成功が現れない場合があります。例えば成功確率が1/10で独立に12回抽出するモデルでは、0回の確率は (9/10) の12乗で、正です。0回という結果は p = 0 以外とも両立します。0か1に近い比率では成功と失敗の一方が少なく、左右対称な正規近似が悪くなり得ます。

修正すると、「標本比率は0だが、この小標本に標準的な正規近似区間を当てはめて母比率を0と断定できない」となります。追加の標本を適切に取り、成功と失敗が十分見込まれるかを改めて考えます。別の区間の計算法はここでは扱いません。成功が全部の場合も対称に考え、失敗が観測されなかった事実だけで p = 1 と確定しないようにします。

別の誤りは、√{r(1 − r)/n} で平方根を取り忘れることです。分散を使って幅を作ると、中心の左右に置く量の大きさが変わります。まず根号の中が分散、根号を付けたものが標準誤差だと書き分けます。下端と上端の平均が r、両端の差が片側の幅の2倍になるかも点検しますが、それだけでは元の標準誤差が正しい保証にはならないため、代入式にも戻ります。

また、計算上の下端が0未満や上端が1超になった場合、母比率の範囲を越えています。数字だけを機械的に0や1へ直して近似が有効だと判断せず、端に近い比率や少ない成功・失敗によって近似が崩れていないかを先に調べます。範囲内の端点が出ても、そのことだけでは近似の妥当性や抽出の公平さは保証されません。

練習問題

各問題のデータは計算用の設定です。区間を求める問題では、独立で同じ成功確率の抽出を行い、正規近似が使えるとします。信頼係数は約95%、係数は1.96、連続補正は使いません。端点は小数第5位で四捨五入し、小数第4位まで示してください。

1. 印刷したカード900枚を復元抽出で調べ、模様が鮮明なものが450枚でした。鮮明なカードの母比率の近似区間を求めてください。
2. 独立に選んだ625個の小石のうち、丸いものが225個でした。丸い小石の母比率の近似区間を求めてください。
3. 袋から色札を復元抽出し、20回とも青が出ませんでした。標本比率と、幅0の区間から青の母比率を0と断定してよいかを理由とともに答えてください。
4. ある母集団から復元抽出した1000個のうち999個が条件を満たしました。標本比率を求め、係数1.96の式で得た区間をそのまま信頼できるか、成功と失敗の数に注目して答えてください。
5. 施設の利用者全体のある性質の割合を知るため、特定の時間帯にいる人からのみ2000人を選びました。この2000人に対する条件の該当率が0.4でした。この比率から利用者全体の近似信頼区間を直ちに主張できるか、抽出方法に注目して答えてください。

練習の答えと解き方

1

標本比率は 450/900 = 1/2 です。鮮明なものとそうでないものはいずれも450枚で、問題の条件のもとで近似を使います。分散の見積もりとその平方根は次のとおりです。

r(1 - r)/n = (1/2)(1/2)/900 = 1/3600
√(1/3600) = 1/60
1.96・(1/60) = 49/1500

両端にこの幅を用います。

下端 = 1/2 - 49/1500 = 701/1500 = 0.4673333…
上端 = 1/2 + 49/1500 = 799/1500 = 0.5326666…

答えは 0.4673 ≦ p ≦ 0.5327 です。丸め前の両端の平均は1/2、差は98/1500で、幅49/1500の2倍に戻ります。450/900という観測比率も中心と一致します。

2

丸い小石の標本比率は 225/625 = 9/25 = 0.36、丸くないものは400個です。標本比率から見積もる標準誤差は次のようになります。

r(1 - r)/n = (9/25)(16/25)/625 = 144/390625
√(144/390625) = 12/625 = 0.0192
1.96・0.0192 = 0.037632

根号の結果を2乗すると 144/390625 に戻ります。片側の幅を中心から引いて足します。

下端 = 0.36 - 0.037632 = 0.322368
上端 = 0.36 + 0.037632 = 0.397632

答えは 0.3224 ≦ p ≦ 0.3976 です。丸め前の端点の平均は0.36、差は0.075264で、片側の幅の2倍です。標本数625を用いた元の式にも幅を戻して一致を確認します。

3

青を成功とすれば、観測比率は 0/20 = 0 です。しかし成功0回では成功側が少なく、この標本に正規近似区間を当てはめて幅0を根拠に断定できません。例えば母比率が1/10のモデルでも、20回とも青が出ない確率は (9/10) の20乗で正です。この値は0回の観測が母比率0以外でも起こることを示します。

4

標本比率は 999/1000 = 0.999 です。失敗は 1000 − 999 = 1 個で、失敗が十分に見込まれるという近似の前提を観測から支持しにくい状況です。式に代入すると幅は正ですが、それだけで信頼係数約95%の近似区間として扱う根拠にはなりません。1000個という標本数だけで判断せず、成功と失敗の両方を見ます。

5

該当率0.4は調べた2000人の値です。特定の時間帯だけでは、その時間帯に来ない利用者が選ばれないため、利用者全体からの無作為抽出とはいえません。時間帯と性質に関係があれば、標本比率が全体の比率から系統的にずれることもあります。人数が多くても、独立で同じ成功確率というモデルの根拠を確認せず、全体の近似信頼区間を直ちに主張することはできません。

覚えておくこと

• 標本比率は成功回数を標本数で割った値です。
• 約95%の近似区間は r の両側に 1.96√{r(1 − r)/n} を置きます。
• 独立性と、成功・失敗が十分見込まれる条件を確かめます。
• 信頼係数は繰り返し作る区間の被覆率についての言葉です。
• 端付近や偏った抽出では、計算結果だけで結論を出せません。

つまずきを見分けるには

答えの中心が成功回数のままなら、まず成功数を標本数で割って0から1の比率に直せるかを確かめます。中心は正しくても幅が合わなければ、r(1 − r)/n とその平方根を別々に書いてもらうと、分散と標準誤差の混同が見えます。端点の平均と差を計算し、中心と片側の幅に戻るかも確認します。

個別指導では、数字の代入に入る前に、成功と失敗の定義、独立な抽出か、両方の回数が十分かを言葉で説明してもらいます。0回の標本で幅0を出した場合は、母比率が正でも0回が起こり得る具体例へ戻します。区間を得た後も、その固定された母比率が区間内を動くのではなく、抽出を繰り返すと区間が変わると説明できるかを確かめます。母比率を推定する式は、抽出の条件とともに初めて意味を持ちます。