武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学I 変量の平行移動—基準を引いたデータから平均と分散を戻す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

基準を引いた測定値から元の平均を戻し、分散が保たれる理由を、負の値を含む表と逆問題で確かめましょう。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、全員に同じ値を加えると分散も増えると思う場面です。例えば全員の記録が同じ時間だけ長くなれば平均は大きくなります。しかし、一人ひとりと平均との距離まで大きくなるでしょうか。平均の移動と、平均の周りの散らばりを別に追うと、計算量を減らす方法も見えてきます。

同じ数を動かす問題の見取り図

出方の1つは、各値に同じ数を足した後の平均と分散を求める問題です。元の平均と分散が与えられれば、全員のデータを作り直す必要はありません。ただし、足す数は平均に反映されますが、分散には足しません。

2つ目は、大きな測定値から共通の基準を引き、小さい数の表で計算して元の平均と分散を求める問題です。基準より小さい測定値は、引いた後に負になります。負の値は計算間違いの印ではなく、基準より下であることを表します。

3つ目は逆向きです。移動前後の平均から足した数を決め、その数で分散の条件も満たすか調べます。平均の条件から数が決まっても、分散の条件に合わなければ解はありません。順方向に計算できるかだけでなく、条件が両立しない場合も見分けましょう。

ここで扱う操作は、同じ対象の値それぞれに同じ数を加える平行移動です。値を何倍かする変換は扱いません。集計から人を外したり、測定されなかった値を0として追加したりすると、対象自体が変わるため、この操作にはなりません。

平均と偏差を一緒に動かす

正の整数n個の値を x₁, x₂, …, xₙ とし、その平均を m とします。全員に同じ数 b を加えた値を yₖ = xₖ + b とします。b が負なら、その絶対値を引く操作です。nが0なら平均の分母が0になり、ここでの平均も分散も定義できません。

図1のように、値と平均は同じ向きに同じだけ移ります。数直線上の位置は変わっても、対応する値と平均の間の距離は変わりません。

図1では元の値2、平均4をともに3だけ増やしています。新しい値5と新しい平均7の差は、元の差と同じ -2 です。平均との差には向きがあるので、単なる距離ではなく符号付きの「偏差」と呼びます。

平均の定義から、移動後の平均は次のように求まります。全員に b を加えるので、合計には n個分の b が加わります。

元の合計 = n・m
移動後の合計 = n・m + n・b
移動後の平均 = (n・m + n・b)/n
             = m + b

対応する1人の偏差を計算すると、加えた数が打ち消されます。

移動後の偏差 = yₖ - 移動後の平均
             = (xₖ + b) - (m + b)
             = xₖ - m

これは1人目だけの計算ではなく、各 k について成り立ちます。したがって偏差の二乗も個々に等しく、二乗の合計を同じデータ数 n で割った分散も等しくなります。標準偏差は分散の非負の平方根なので、こちらも変わりません。元の分散が0なら全員の値が同じで、移動後も同じ値が並びます。

例えば基準値 c を引いて y = x − c とした場合、b = -c です。引いた後の平均を求めたら、元の平均には c を足して戻します。分散は基準を足して戻す量ではありません。単位が cm なら平均は cm、分散は cm² です。基準からの差が負でも、偏差の二乗は負になりません。

この結論の条件は、各値に同一の数を加えることと、対象と個数を保つことです。例えば1人だけに数を足せば、平均の移動幅はその数そのものにはなりません。変換後の表に元の各行との対応を残し、同じ操作が全行に行われたか確認します。

基本例題：基準からの差を表にする

4人が歩いた距離を、同じ単位の自作の数値で表すと 48, 50, 51, 55 m でした。全員の値から 50 m を引いたデータを使い、元の平均を分数または整数の m、分散を分数または整数の m² で求めてください。引いた後の平均と分散も同じ形で求めてください。

図2のように、各行で50を引くと -2, 0, 1, 5 です。4人の対応を保った表なので、引いた後もデータ数は4です。

まず引いた後の平均を求めます。負の数も符号をつけて合計します。

引いた後の合計 = -2 + 0 + 1 + 5
               = 4
引いた後の平均 = 4/4
               = 1 m

偏差は、それぞれ引いた後の平均1を引いて -3, -1, 0, 4 m です。偏差の合計が0であることを確かめてから、二乗の平均を計算します。

偏差の合計 = -3 - 1 + 0 + 4
           = 0
偏差の二乗和 = 9 + 1 + 0 + 16
             = 26
引いた後の分散 = 26/4
               = 13/2 m²

元の平均は 1 + 50 = 51 m、元の分散はそのまま 13/2 m² です。平均を戻すときに50を足しますが、分散には足しません。元のデータへ戻して確かめると、合計は 48 + 50 + 51 + 55 = 204 m、204/4 = 51 m です。元の偏差も -3, -1, 0, 4 m なので、二乗和26を4で割ると同じ分散です。

もし -2 を捨てて 0, 1, 5 の3個だけで計算すると、平均は2 mになり、もとの4人の結果を表しません。負の値を取り除かず、引き算の結果として扱うことが重要です。引いた後の値が負でも、元の距離は48 mであり、負の距離を測ったわけではありません。

標準例題：基準を選んで二乗の平均を使う

4枚の板の長さは 103, 105, 108, 110 cm です。基準 105 cm を引き、元の平均を分数または整数の cm、分散を分数または整数の cm² で求めてください。二乗の平均から平均の二乗を引く方法で計算し、元の長さに戻して確かめてください。

基準を引いた値を順に -2, 0, 3, 5 とします。平均は次の通りです。

差の合計 = -2 + 0 + 3 + 5
         = 6
差の平均 = 6/4
         = 3/2 cm

差の二乗の平均を求め、その平均の二乗を引きます。二乗の平均と平均の二乗は別の量です。

差の二乗の合計 = 4 + 0 + 9 + 25
               = 38
差の二乗の平均 = 38/4
               = 19/2 cm²
差の平均の二乗 = (3/2)²
               = 9/4 cm²
差の分散 = 19/2 - 9/4
         = 29/4 cm²
元の平均 = 105 + 3/2
         = 213/2 cm
元の分散 = 29/4 cm²

公式の理由も偏差から確かめられます。差を z、差の平均を p とすると、各偏差の二乗は z² − 2pz + p² です。その平均は、z の平均が p なので、z² の平均 − 2p² + p² となります。よって差の分散は、差の二乗の平均 − p² です。

元の合計は 103 + 105 + 108 + 110 = 426 cm で、426/4 = 213/2 cm です。元の平均からの偏差は -7/2, -3/2, 3/2, 7/2 cm です。二乗和は 49/4 + 9/4 + 9/4 + 49/4 = 29 cm²、分散は 29/4 cm² となります。答えを元の4枚に戻しても一致します。

基準を103 cmに変更しても、途中の差は 0, 2, 5, 7 と変わりますが、元の平均と分散は同じです。便利な基準は計算を短くしますが、結果を決めるのは元のデータです。別の基準で計算し直して答えが変われば、平均の戻し方や二乗を点検できます。

発展例題：平均と分散の両方から条件を調べる

4個の測定値は 35, 37, 39, 41 です。各値に同じ整数 b を加えた後、平均を42、分散を5にしたいとします。条件を満たす b を整数で求め、両方の条件に戻して確かめてください。続いて、分散の条件を5から6に変えた場合も調べてください。

まず基準40を引くと -5, -3, -1, 1 です。差の平均と分散を計算します。

差の合計 = -5 - 3 - 1 + 1
         = -8
差の平均 = -8/4
         = -2
差の偏差 = -3, -1, 1, 3
偏差の二乗和 = 9 + 1 + 1 + 9
             = 20
差の分散 = 20/4
         = 5
元の平均 = 40 - 2
         = 38
元の分散 = 5

平均の条件から 38 + b = 42、したがって b = 4 です。実際に元の4個へ4を足すと 39, 41, 43, 45 となります。合計は168、平均は168/4 = 42です。偏差は -3, -1, 1, 3 で、分散は20/4 = 5です。b は整数で、指定された平均と分散の両方を満たします。

一方、分散を6にする条件では解がありません。平均だけなら b = 4 が必要ですが、このとき分散は5です。また、どんな整数 b でも平行移動は分散を5のまま保ちます。平均の条件を外しても分散6にはできないので、試す数を増やす必要はありません。

問題の条件を少し変え、4個のうち最初の1個にだけ4を足した場合はどうでしょうか。値は 39, 37, 39, 41、平均は39、偏差は 0, -2, 0, 2、分散は2です。全員に同じ数を足す操作ではないため、分散が変わっています。この反例は、移動の公式を使う前に「誰に何を足したか」を読む理由を示します。

誤答を表の差から直す

図3のように、基本例題の元の平均51と分散13/2から全員に4を足すとします。「平均は55、分散は 13/2 + 4 = 21/2」とする答えは、平均には合っていますが分散には合いません。平均と分散を同じ規則で動かしたことが原因です。

例えば48 mだった人は52 mになります。図3のとおり、平均も51 mから55 mになるので、その人の偏差は 48 − 51 = -3 m、移動後も 52 − 55 = -3 mです。ほかの3人についても偏差は -1, 0, 4 mのままです。修正した分散は 13/2 m² であり、単位が m の4を m² の分散に足す式も適切ではありません。

別の誤りは、基準を引いた後の平均が負だときに符号を反転して戻すことです。基準が60で差の平均が -3 なら、元の平均は 60 + (-3) = 57 です。差の平均が基準より3小さいことを表すと考えると、63ではないと判断できます。

さらに、偏差の和が0だから分散も0だとする答えも成立しません。基本例題では偏差が正負で打ち消されて和は0ですが、二乗和は26です。分散が0になるには二乗の合計が0でなければならず、各偏差が0、つまり全員の値が平均と一致する必要があります。

練習：移動を使える条件と使えない条件

次の5問では、平均と分散の答えを整数または既約分数で示してください。単位がある場合は単位も書きます。問題を読み終えてから、後の解答で手順と条件を照合してください。

3人の作業時間は 14, 17, 20 分です。全員の時間に6分を加えるとき、移動後の平均と分散を求めてください。
4個の長さは 196, 199, 200, 201 mm です。200 mmを引いた値を使い、元の平均と分散を求めてください。
ある正の整数個の測定値から全員について60を引くと、平均は -3、分散は8です。元の平均と分散、および元の値から64を引いたときの平均と分散を求めてください。
3個の値 4, 7, 10 のそれぞれに同じ整数 b を加えたところ、平均が12になりました。b と移動後の分散を求め、元の3個に戻して確かめてください。
3個の値 2, 4, 6 のそれぞれに同じ整数を加えて、平均10、分散4を同時に実現できますか。可能なら加える整数を、できないなら理由と平均10のときの分散を示してください。

練習の答えと照合

元の平均は (14 + 17 + 20)/3 = 51/3 = 17 分です。偏差は -3, 0, 3 分、二乗和は 9 + 0 + 9 = 18 分²、元の分散は 18/3 = 6 分² です。移動後の平均は 17 + 6 = 23 分、分散は 6 分² です。実際の時間は 20, 23, 26 分で、合計69分を3人で割ると23分、偏差の二乗和18を3で割ると6分²です。
200 mmを引くと -4, -1, 0, 1 mm です。差の合計は -4、平均は -4/4 = -1 mmです。差の二乗の合計は 16 + 1 + 0 + 1 = 18、二乗の平均は 18/4 = 9/2 mm² です。差の平均の二乗は1 mm² なので、分散は 9/2 − 1 = 7/2 mm² です。元の平均は 200 − 1 = 199 mm、分散は 7/2 mm² です。元の合計は796 mmで、796/4 = 199 mmです。元の偏差 -3, 0, 1, 2 mm の二乗和は14で、14/4 = 7/2 mm² と戻せます。
60を引いた後の平均が -3 なので、元の平均は 60 − 3 = 57、元の分散は8です。64を引いた場合の平均は 57 − 64 = -7、分散は8です。元の値から60を引いた表の各行からさらに4を引くとも考えられ、平均は -3 − 4 = -7 です。逆に -7 に64を足すと57に戻り、分散も変わりません。個々の値やデータ数はこの情報だけでは決まりませんが、求めた平均と分散は決まります。
元の合計は 4 + 7 + 10 = 21、平均は 21/3 = 7 です。7 + b = 12 より b = 5 です。元の偏差は -3, 0, 3、分散は (9 + 0 + 9)/3 = 6 なので、移動後の分散も6です。元の値に5を足すと 9, 12, 15 です。合計36を3で割ると12、偏差は -3, 0, 3 で分散は6です。b = 5 は整数という条件にも合います。
元の平均は (2 + 4 + 6)/3 = 4、偏差は -2, 0, 2 です。分散は (4 + 0 + 4)/3 = 8/3 です。平均を10にするには 4 + b = 10 より b = 6 ですが、平行移動後の分散も 8/3 なので4にはなりません。実際に 8, 10, 12 とすると平均10、偏差 -2, 0, 2、分散 8/3 です。したがって両方を満たす整数はありません。分散の条件まで元の場面で調べて初めて、解がないと結論できます。