関数とグラフ—表・式・グラフを行き来する練習｜武蔵野個別指導塾

表の数の組を点に移し、座標から式へ読み戻すと、計算とグラフのつながりを確かめられます。軸の目盛りや傾きを読む練習を通じて、点を打った後にも式へ戻って検算する習慣を育てましょう。

関数とグラフ—表・式・グラフを行き来する練習

表に書いた数を、点の場所まで連れていく

よくあるのは、夕方の廊下のベンチで開いたノートの表は全部埋まっているのに、その横の方眼だけが白いままという場面です。y = 2x + 1 に x = 2 を入れて y = 5 までは出せています。それでも、点を打つ段になると鉛筆が止まります。友達のノートには直線が引かれていて、自分だけ関数がわからないように感じてしまいます。

けれども、そこで止まった理由は、計算とは別のところにあるかもしれません。横に動くのが x だったか、縦の目盛りはいくつずつ増えるのか、表のどの数とどの数が組なのか。グラフをかく作業には、式への代入以外にも確かめることがあります。保護者の方が「さっき計算できたでしょう」と声をかけたくなるところに、もう一段の学習が隠れています。

関数を学ぶときは、表を作る練習、式を使う練習、グラフをかく練習を、つながったものとして扱ってみてください。同じ x と y の組を別の場所で探すことが、その出発点です。白い方眼を一度に完成させる前に、表の一組を点として置き、その点をもう一度式へ戻すところから始めましょう。

計算できてもグラフで止まる理由

関数では、ある x の値に対して y の値がただ1つに決まる関係を考えます。表は、その関係から選んだ数の組を並べたものです。式は、値を決める規則を短く書いたものです。グラフは、対応する x と y の組を点の位置で表したものです。形は違っても、見ている関係は共通しています。

たとえば y = 2x + 1 なら、x が 0、1、2 のとき、y は 1、3、5 です。表では上下に並んだ数を一組として読みます。座標ではその組を (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) と書きます。グラフでは、横軸で x の位置を決め、縦軸で y の位置を決めます。「表の下の段だから縦」「式の先に出てくる文字だから横」と形だけで覚えると、表の向きが変わったときに迷います。文字と量の意味に戻る必要があります。

代数の指導について12研究をまとめた系統的レビューでは、複数の表現、例を示す順序、手順をはっきり教える指導の組み合わせが有効な指導の特徴として整理されています（Lee ら・2020）。数学教育の研究には海外の小中学生を対象にしたものが多く、このレビューも複数の研究をまとめた知見であるため、ここで扱う練習が日本のお子さま全員に同じ結果をもたらすとはいえません。ここから授業や家庭学習に取り入れたいのは、表現を並べるだけで終えず、どの部分が対応するかを順に示すという考え方です。

表とグラフを同じ紙に載せても、つながりが自然に見えるとは限りません。表の「2」とグラフの横軸の「2」、表の「5」と縦軸の「5」がそれぞれ目に入っても、その交わる場所が1つの組を表すと捉えられていない場合があります。このとき、代入計算を増やしても、点を打つ場面の迷いは残ります。表の一組だけを囲み、その組に対応する点を指で示す練習が必要です。

また、傾きを直線の見た目だけで判断することもあります。同じ y = 2x + 1 でも、横軸と縦軸の目盛りの取り方が変われば、紙の上の角度は変わります。傾きが2であるというのは、x が1増えると y が2増えるという意味です。方眼を右に1マス、上に2マス進むことと一致するのは、両方の軸が1マスにつき1ずつ増える場合です。マスの数と量の変化を区別すると、目盛りの違う問題にも対応できます。

さらに、表から式を作る向きは、式から表を作る向きと同じ難しさではありません。式があれば計算の規則は示されていますが、表から式を考えるときは、どんな関数を考える問題なのかを確かめたうえで規則を探します。少数の数の組だけで、どんな場合にも成り立つ規則が1つに定まるわけではありません。一次関数だとわかっている問題と、関数の種類も考える問題を分けることが、無理な当て推量を減らします。

一組を確かめてから、行き来を増やす練習

最初の3分で軸と数の組をそろえる

最初に使うのは、授業で扱った教科書の例題1つと、方眼のあるノートです。一次関数の練習なら、まず y = 2x + 1 のような計算しやすい式を選びます。問題を何種類も開かず、式、表、グラフを同時に見られるように紙を置いてください。例題の完成図は、あとで確かめるために紙で隠しておきます。

初めの3分は、計算を急がずに準備へ使います。横軸に x、縦軸に y と書き、原点の0を確かめます。横軸も縦軸も、隣の目盛りへ進むと値がいくつ増えるかを書きます。時間と水の量を扱うなら、x は時間、y は水の量という対応と、分や L などの単位も添えます。文字だけの問題でも「横は x、縦は y」と一度読んでください。

次に、x が 0、1、2 のときの y を求めます。表の上の段に x、下の段に y を書いたら、x = 1 と y = 3 の組だけを囲みます。隣同士の y の値を結ぶのではなく、同じ列にある x と y を取り出す練習です。自分で確かめるときは、その一組を (1, 3) と書き直し、式の x に1を入れて3になるかを計算します。

次の4分で表から点へ、点から式へ戻る

次の4分では、囲んだ組をグラフに移します。横軸の1の位置から、縦の値が3になる高さへ進み、点を打ちます。その点の横に小さく (1, 3) と書きます。続けて (0, 1)、(2, 5) も同じ順で置いてください。横へ行くことと上へ行くことを、毎回同じ順にすると、途中で文字を取り違えた場所を探しやすくなります。

点を打ったら、表を隠して点から座標を読み取ります。「横が2、縦が5だから (2, 5)」と読めたら、今度は y = 2x + 1 に入れ、5 = 2 × 2 + 1 が成り立つことを確かめます。これは、表からグラフへ進んだ道を逆にたどる確認です。写すときの取り違えも、読んで戻すことで見つけられます。

一次関数のグラフをかく問題であれば、置いた点を通る直線を定規で引きます。最初に置いた2点で直線を決め、残りの点がその直線に乗るかを確かめましょう。乗らない点があったら、計算、座標の順序、目盛りの読み取りを順に点検します。ずれた点だけを直線の上へ動かして終えると、どの段階を直したのかが残りません。

確認のときは、答えの点だけでなく、途中の言葉も残します。「x が2だから横の2」「y が5だから縦の5」と小さく書いておけば、見直す順序を自分でたどれます。慣れたらそのメモを隠し、同じことを口で言ってから点を打ちます。説明が詰まったところだけメモを見直してください。最初から全部を暗記して再現しようとせず、自分で進めた部分と手がかりを使った部分を区別します。翌日に別の組でも同じ順で確かめられれば、メモを減らす目安になります。

別の5分で増え方と出発点を読む

次の練習には5分ほどを取り、同じ表から式を読む向きに進みます。まず「一次関数である」と問題に書かれていることを確かめてください。x が 0、1、2、y が 1、3、5 という表なら、x が1増えるたびに y が2増えています。この増え方が y = ax + b の a に当たります。さらに x = 0 のとき y = 1 なので、b は1です。

ここで、x の値が 0、2、4 と並ぶ別の表も見ます。y が 1、5、9 なら、y は4ずつ増えていますが、傾きは4ではありません。x も2ずつ増えているので、x の増加量2に対する y の増加量4から、4 ÷ 2 = 2 と求めます。ノートには x の段に「+2」、y の段に「+4」と書き、その下に割り算を残してください。増え方を求めるときに、上下両方の変化を見るためです。

できた式は表の別の列で試します。x = 4 を入れたら y = 9 になるか、x = 2 なら y = 5 になるかを確かめます。そのうえでグラフの x = 0 の位置に目を向け、縦軸との交点が1であることも確かめます。表の増え方、式の x の係数、グラフ上の変化を、同じ「2」として結びます。

目盛りを変えて確かめる4分を作る

別の日には、横軸は1マスで1、縦軸は1マスで2という方眼を作り、4分ほどで (2, 4) を置いてみます。右に2マス、上に2マスでその点になります。同じ組を、両方の軸が1マスで1の方眼にも置きます。こちらは右に2マス、上に4マスです。マスの数が違っても、横の値2と縦の値4という組は変わりません。

この練習では、きれいな直線を引くことより、点の位置を数で説明することを優先します。「上に2マスだから y = 2」と言いそうになったら、縦軸の0からその高さまで目盛りを読み直してください。図の大きさが変わっても使える確認方法を持つことがねらいです。教科書の図をノートへ写す場合も、先に目盛りの間隔を書き写すと、同じ点を別の座標で読んでしまうのを防げます。

負の値でも座標の順序を保つ

正の値で往復できたら、同じ y = 2x + 1 で x = -1 を試します。y = 2 × (-1) + 1 = -1 なので、点は (-1, -1) です。原点から左へ1、下へ1の位置になります。ここでは「横、縦」の順はそのままに、正か負かによって進む向きが変わることを確かめます。マイナスが出てきても、別のかき方を覚える必要はありません。

続いて x = -2 なら y = -3 となり、点は (-2, -3) です。この点から (-1, -1) へ移ると、x は1増え、y は2増えています。どちらの y も負ですが、-3 から -1 へは増えています。「負の数だから下がる」と判断せず、表の値の差と、点を左から右へ追ったときの動きを照らし合わせてください。負の数の計算で止まったら、その計算だけを余白に取り出し、できた値を表へ戻します。

似た式の違いを表とグラフで探す

y = 2x + 1 が扱えたら、次には y = 2x + 3 と比べます。それぞれ x が 0、1、2 の表を作り、同じ x の列を見てください。後の式の y は前の式よりどの列でも2大きくなっています。一方、x が1増えたときの y の増え方は、どちらも2です。グラフでは縦軸との交点が変わり、2本の直線は平行になります。式の最後の数を変えたことが、表とグラフにどう現れるかを追う練習です。

さらに比べるなら y = -2x + 1 を使います。x が 0、1、2 のとき、y は 1、-1、-3 です。最初の式と x = 0 の値は同じですが、x が1増えると y は2減ります。表の増え方が -2 であることと、左から右へ追うと直線が下がることを結び付けます。一度に多くの式を比べず、「増え方は同じか」「0のときの値は同じか」の2つを順に調べると、傾きと切片の役割を整理できます。

教材の役割を分けて最後の2分で記録する

教材は用途を決めて使います。教科書の例題は、式から表、表から点へ進む順番を確かめるために使います。授業のプリントは、途中まで自分で進め、止まった場所を残すために使います。解答は、完成した直線の形を見る前に、計算した値と読み取った座標を照合するために使います。誤った問題をそのまま全部解き直す前に、どの用途の確認が必要かを選んでください。

練習の最後の2分は、ノートの端に「自分でできた移動」と「助けが要った移動」を書きます。「式から表はできた。表から点では縦の目盛りを見直した」のように具体的にします。翌日はその記録を読み、助けが要った移動を含む1問から始めます。時間は生活の中で区切るための目安です。途中で終える場合は、止まった列や点に印を付け、次に何を見るかを一言残して閉じましょう。

個別指導では、止まった移動を見つける

武蔵野個別指導塾の個別指導で最初に知りたいのは、関数全体の正答数だけではありません。式へ代入できるか、表で組を読めるか、座標を点にできるか、点を数の組へ戻せるかを分けて見ます。同じグラフの誤りでも、計算した y が違う場合と、正しい値を違う場所へ置いた場合では、必要な練習が変わります。塾側が持つのは、この切り分けと、切り分けた結果に合う課題の準備です。

確認には、計算を増やしすぎない問題を使います。たとえば x = 2 のとき y = 5 になるところまで合っていれば、そのあとに「その2と5は、図のどこにありますか」と尋ねます。そこで手が止まるなら、代入計算を最初から教え直すより、横軸と縦軸の読み方を確かめます。反対に、点は正しく置けるのに表の値が違うなら、式に数を入れた行まで戻って確かめます。

説明を聞けばできる状態と、自分で選んで進める状態も分けて記録します。講師が「横軸から見て」と言ったあとに置けた点は、次の課題が見えたという意味で前進です。ただし、その場で一度できたことだけで練習を終えません。次の問題で同じ声かけをせずに待ち、お子さま自身が横軸を見るかを確かめます。必要な助けを残しながら、少しずつ言葉を減らしていきます。

途中の式や点を消さずに残すことも、塾で支えたい部分です。y = 2x + 1 から (2, 5) を求めたのに (5, 2) に点を置いたなら、誤った点のそばに「横は x」と添え、正しい点を別に置きます。ノートに違いが並ぶことで、翌日も自分の確認場所を思い出せます。誤りを残す目的を先に伝えれば、汚いノートを見せているような気まずさを減らしながら、考えた道筋を共有できます。

表から式を作る場面では、初めは x = 0 の列がある表を使い、次にその列がない表へ進めます。たとえば一次関数の表で (1, 3)、(3, 7) がわかっているなら、x の増加量は2、y の増加量は4なので、傾きは2です。そこで y = 2x + b と置き、3 = 2 × 1 + b から b = 1 を求めます。前の課題と何が違うかを明らかにしてから進めると、覚えた手順が急に使えなくなったような戸惑いを整理できます。

進み具合は、表・式・グラフの間をどちら向きに移れたかで見えるようにします。連絡には「式から表は自力」「表から点は目盛りの声かけあり」「点から式での確認は次回」というように、できたこと、残っている助け、次に確かめることを並べます。「理解が進みました」という一言だけでは、家庭で何を支えればよいかが曖昧になります。具体的な移動で伝えれば、同じ関数の練習でも内容の変化が伝わります。

家庭が持つのは、解き方の診断や毎問の採点ではなく、紙を広げる場所と区切りを整えることです。保護者の方は「今日はどの移動をやる予定なの」と聞き、お子さまが書いた記録を一緒に見てください。説明が出てこなければ、すぐに代わって教える必要はありません。「ここで止まった」と印を付けて塾へ渡せば、次の指導の出発点になります。家庭の時間まで、講師と同じ役割を担う必要はありません。

連絡では、お子さまの行動がわかる短い言葉が役立ちます。「難しかった」だけでなく、「点は打てたが、目盛りが2ずつになると読み直していた」と添えていただければ、塾で確かめる場所が絞れます。一方、家庭で細かい観察記録を作り続ける負担は避けたいところです。ノートの該当する問題に印を付けて持参するだけでも、十分にやり取りの材料になります。

授業の終わりには、答えの数だけを変えた確認に加えて、入り口を変えた確認も用意します。最初は式から始めたなら、最後はグラフ上の点を読んで表を埋めてもらいます。そこで前と同じ関係だと気付けるか、縦軸との交点を式の定数項につなげられるかを見ます。別の向きでは声かけが必要だったという結果も、次の授業を決める材料です。宿題はその結果を受け、表から点へ移す課題なのか、グラフから式を求める課題なのかを明記して渡します。

練習量を増やすかどうかは、間違いの種類を見て判断します。軸を毎回逆に読んでいるなら、問題を何ページも進める前に、座標を読み上げる短い練習を挟みます。確かめ方を使えば自分で直せるなら、少し違う目盛りや負の値を含む問題へ進みます。自分で直せたことも記録に含めることで、正解だけを数えると見えにくい変化を共有できます。

関数とグラフについてよくある3つの質問

Q1. 点が2つあれば、いつも直線で結んでよいですか

一次関数であるとわかっていて、異なる x に対応する2点があれば、その直線を決められます。ただし、点が2つ示されているだけで、あらゆる関数を直線としてよいわけではありません。反比例のようにグラフが曲線になる関係もあります。まず問題に書かれた式や条件を読み、扱う関係を確かめてください。

また、時間などの量を扱う問題では、x が取れる範囲にも注意します。決められた時間内の変化なら、その範囲の部分をかきます。個数のように飛び飛びの値を取る量では、間の値も意味を持つかを考えます。「点を置いたら全部つなぐ」と決めずに、何を表しているグラフなのかを読み直しましょう。

Q2. 傾きと切片は、言葉を暗記すれば使えるようになりますか

用語を覚えることは必要ですが、数の意味も一緒に確かめます。y = 2x + 1 の傾き2は、x が1増えたときに y が2増えることを表します。切片1は、x = 0 のときの y の値であり、グラフが縦軸と交わる位置として読めます。どちらも表の中で指せるようにしてみてください。

「増え方が2、x が0のときが1」と説明できたら、その数を式のどこへ入れるか確かめます。反対に、式を見て言葉に戻す練習も行います。用語だけを言い当てる確認から、表やグラフのどこにその意味があるかを示す確認へ進むと、理解した部分とまだ曖昧な部分を分けられます。

Q3. グラフがかけるのに文章題になると止まるのはなぜですか

文章題では、グラフにする前に、何を x、何を y とするかを決める作業があります。初めから入っている水の量と、毎分増える水の量が書かれていれば、その2つが別の役割を持つと読む必要があります。軸が用意された問題より、準備することが増えています。

まず量の名前と単位を書き、x = 0 がどの時点かを言葉にします。次に x が少し増えた場面を考え、表を短く作ってください。その表と式、グラフが同じ場面を表すかを確かめます。文章から一気に公式を選ぼうとせず、すでに使える表を間に置くと、どこで迷ったかを自分でも示せます。

次の1問では、帰り道もたどってみる

今日の練習では、表を完成させたあとに、その中の一組を点にしてみてください。点を置けたら、今度はその点から座標を読み、元の式に戻します。往復して同じ値になれば、表と式とグラフがつながったことを自分で確かめられます。違う値になったときも、戻る場所が見えていれば、次にすることを選べます。

保護者の方も、完成した図だけでなく、お子さまがどこを見直したかに目を向けてみてください。「縦の目盛りを読み直した」という一言には、自分で確かめる手がかりが含まれています。その一言を手がかりにすれば、次は目盛りの幅だけを変えて確かめられます。表の一組を一点へ、さらに式の値へと読み戻す往復が、関数の3つの表し方をつなぎます。

参考文献

• Lee et al.（2020）Learning Disabilities Research & Practice。代数指導に関する12研究の系統的レビュー。 https://consensus.app/papers/details/4acc0ee670b659ebbd95aa98596eb761/