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高校数学I 標準偏差と単位—平方根で戻した散らばりから二つの分布を比べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

分散が9倍でも標準偏差は3倍になる理由を、測定値と平方根からたどり、単位で標準偏差を読みます。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、分散が9倍なら標準偏差も9倍だと読む場面です。どちらも散らばりを表しますが、二乗した量とその平方根では比が変わります。長さの記録を比べるとき、分散の単位は長さの単位を二乗したものです。標準偏差では元の単位に戻り、平均からのずれと同じ尺度で見られます。以下の数値は、計算のために作った測定値です。

問題では何を比べるか

1つ目の型は、各測定値と平均から偏差を求め、分散と標準偏差を順に計算する問題です。二乗して足し、データ数で割ってから平方根を取ります。根号を取る前に割ることと、最後に単位を書くことが区切りです。

2つ目は、平均が同じ2組の記録について、どちらが平均の周りに広がっているかを問う問題です。平均が同じでも各値の位置は決まりません。標準偏差が大きい組ほど偏差の二乗の平均は大きいといえますが、全員がもう一方の全員より平均から遠いという意味ではありません。

3つ目は分散や標準偏差の比から逆に量を求める問題です。分散の比をそのまま標準偏差の比にせず、非負の平方根を取ります。平均との差を個別に復元することや、異なる単位への変換の一般公式はここでは扱いません。

二乗してから元の単位に戻す

データがn個あり、nは正の整数とします。各値から平均を引いたものが偏差です。偏差をそのまま足すと正負が打ち消し合い、和は0になります。そこで各偏差を二乗して足し、nで割った値を分散と呼びます。分散は0以上です。

標準偏差は分散の非負の平方根です。たとえば偏差をcmで測れば、偏差の二乗と分散の単位はcm²、標準偏差の単位はcmです。図1のように、二乗によって符号を消して集め、平方根によって尺度を戻します。ただし、二乗する前の偏差の平均に戻るわけではありません。

図1の矢印を逆にたどれば、標準偏差を二乗して分散に戻せます。分散が0なら、0以上の偏差の二乗の和が0なので各偏差は0です。したがって全測定値は平均に等しくなります。逆に全測定値が同じなら偏差はすべて0で、標準偏差も0です。

標準偏差は平均からの距離の単純な平均でもありません。例えば偏差が-2、0、2なら距離の平均は4/3ですが、標準偏差は√(8/3)です。二乗を用いるため、大きなずれは小さなずれより強く計算に反映されます。根号は近似せず、二乗して元の分散に戻るか確認します。

分散が正の2組で、分散の比が4対9なら標準偏差の比は2対3です。分散が9倍のときは標準偏差が3倍です。一方、片方の分散が0ならもう片方をその何倍かと表す比は使えません。大小やそれぞれの値を直接述べます。

比較の前にそろえるもの

散らばりを比べるときは、各組で何を1個の記録とし、どの単位で表したかを先に確認します。1回の測定を1個と数えるのか、1人の平均を1個と数えるのかで、計算に入る値が変わります。同じ数値が並んでいても単位が違えば、そのまま標準偏差の大小を比べることはできません。データ数はそれぞれ正の整数であり、分散を求めるときはその組自身のデータ数で割ります。

標準偏差が大きいという結果は、偏差の二乗の平均が大きいという比較です。それだけから最大値、最小値や、ある範囲に入る記録の個数を言い当てることはできません。たとえば2組の標準偏差が等しくても、個々の値の並びが同じとは限りません。計算結果が答える問いと、表に戻らないと決められない問いを分けると、数値を読み過ぎずに済みます。

平方根を簡単にする際には、根号の中の平方数を外に出します。√12 = √(4・3) = 2√3です。ここで2を取り出すのは2² = 4だからです。√(4 + 3)を2 + √3とするように、足し算の各項へ平方根を分けることはできません。迷ったら得られた非負の値を二乗し、根号の中の数へ厳密に戻るか確かめます。

比と差も別の問いです。標準偏差が2 cmと6 cmなら比は3 : 1、差は4 cmです。分散は4 cm²と36 cm²なので比は9 : 1、差は32 cm²です。比の平方根という関係から、差にも同じ操作が成り立つとはいえません。どちらを尋ねられているかを問題文で確認し、それぞれの量を求めてから引き算または割り算を行います。

また、分散だけが与えられた場合、標準偏差は定義から一意に求まりますが、元の平均や測定値の一覧は一般に決まりません。標準偏差の値から元の記録を推測するときは、別の条件が必要です。値を二乗して戻す確認は、計算した標準偏差が与えられた分散と一致することを示しますが、記録の並びを決定するものではありません。

基本例題：長さの記録を計算する

4本の棒の長さを測ると、6、8、8、10 cmでした。平均、分散、標準偏差を求め、それぞれ整数または根号を用いた正確な値と単位で答えてください。

図2のように、8 cmを中心に両側へ2 cm離れた値と、中心に重なった2個の値があります。図の重なった点は2本分です。まず合計を4本で割ります。

平均 = (6 + 8 + 8 + 10)/4
     = 32/4
     = 8 cm

偏差は順に-2、0、0、2 cmです。符号が違っても二乗は正で、中央の2本の偏差は0です。

偏差の二乗の和 = (-2)² + 0² + 0² + 2²
                = 4 + 0 + 0 + 4
                = 8 cm²
分散 = 8/4
     = 2 cm²
標準偏差 = √2 cm

√2は正で、その二乗は2ですから、平方根の選び方も確かめられます。測定値に戻ると合計は32 cmで平均8 cmと一致し、4個の偏差の和も0です。分散2 cm²を2 cmと書くと、二乗した尺度が失われます。

標準例題：同じ平均でも違う広がり

2つの組の記録は、それぞれ4個です。Aは2、4、6、8秒、Bは4、4、6、6秒です。各組の平均と標準偏差を正確な値と単位で求め、平均の周りの散らばりを比べてください。

両組の合計は20秒なので、平均はいずれも5秒です。平均だけでは散らばりの違いを決められません。Aの偏差は-3、-1、1、3秒、Bの偏差は-1、-1、1、1秒です。

Aの分散 = (9 + 1 + 1 + 9)/4
        = 20/4
        = 5 秒²
Aの標準偏差 = √5 秒
Bの分散 = (1 + 1 + 1 + 1)/4
        = 4/4
        = 1 秒²
Bの標準偏差 = 1 秒

5は1より大きく、非負の平方根でも大小は変わらないため、Aの標準偏差が大きいです。Aには平均から1秒の値もあるので、Aの各値がBの各値より必ず遠いとはいえません。元の8個をそれぞれの組へ戻すと、合計は各20秒、偏差の和は各0で、上の二乗和にも一致します。

発展例題：比を逆向きに読む

同じ単位で測った2組C、Dの分散はそれぞれ12 cm²、27 cm²です。両組の標準偏差を根号を用いた正確な値で求め、Cに対するDの標準偏差の比を最も簡単な整数比で答えてください。また、Dの分散が0 cm²だった場合に、Cの分散をDの何倍と表せるか考えてください。

Cの標準偏差 = √12
            = 2√3 cm
Dの標準偏差 = √27
            = 3√3 cm
Dの標準偏差 : Cの標準偏差 = 3√3 : 2√3
                                  = 3 : 2

比の向きに注意すると、Cに対するDの比は3/2、すなわちD : C = 3 : 2です。実際に二乗すると(2√3)² = 12、(3√3)² = 27で元の分散に戻ります。分散の比D : Cは27 : 12 = 9 : 4ですから、標準偏差にも9 : 4を使うと元に戻したとき81 : 16になってしまいます。

Dの分散が0なら、0にどの数を掛けても12にはならず、Cの分散をDの何倍とは表せません。Dの標準偏差は0 cm、Cは2√3 cmと個別に記述できます。0の組は各測定値がその組の平均に等しい組です。この例では平均が与えられていないため、具体的な測定値や平均の大小までは決まりません。

誤答をたどって直す

分散が4 cm²の組と36 cm²の組について、「分散が9倍なので標準偏差も9倍」と答えたとします。原因は、二乗した尺度での比を、平方根を取った後にもそのまま使ったことです。図3のように、それぞれの平方根を先に計算すれば、標準偏差は2 cmと6 cmです。

図3では36 : 4 = 9 : 1ですが、6 : 2 = 3 : 1です。修正した比を二乗すると9 : 1に戻るため、分散の比と一致します。差を比べる場合も同様に注意が必要です。分散の差は32 cm²、標準偏差の差は4 cmで、単位も数値も異なります。

別の誤りは、分散2 cm²から標準偏差を-√2 cmとすることです。平方すると2になる数は正負の2つありますが、標準偏差は非負の平方根と決めています。また、分散の平方根を取る前に、二乗和をデータ数で割ったかも確かめます。二乗和の平方根だけでは、記録数による平均が反映されません。

練習問題

次の各問は独立です。平均・分散・標準偏差は整数、分数または根号を使った正確な値で、単位も付けて答えてください。比は最も簡単な整数比で答えます。

3枚の紙の重さは2、5、8 gです。平均、分散、標準偏差を求めてください。
4回の歩数の記録は10、10、14、14歩です。平均、分散、標準偏差を求めてください。
ある記録の分散は18 m²です。標準偏差を求め、答えを二乗して確かめてください。
同じ単位の2組の分散は8秒²と72秒²です。小さい分散の組に対する大きい分散の組の標準偏差の比を求めてください。
3個の記録Eは3、3、9点、Fは1、5、9点です。両組の平均と標準偏差を求め、平均の周りの散らばりを比べてください。

練習の答えと道筋

合計は15 g、平均は15/3 = 5 gです。偏差は-3、0、3 gです。

分散 = (9 + 0 + 9)/3
     = 6 g²
標準偏差 = √6 g

3個の合計は5・3 = 15 gに戻り、(√6)² = 6です。偏差の和も0です。

合計48歩を4で割ると平均12歩です。偏差は-2、-2、2、2歩です。

分散 = (4 + 4 + 4 + 4)/4
     = 4 歩²
標準偏差 = 2 歩

12・4 = 48歩で元の合計に一致し、2² = 4です。同じ値が2回ずつあるので、各回を数えて4で割ります。

標準偏差は√18 = 3√2 mです。実際に(3√2)² = 9・2 = 18 m²となり、与えられた分散へ戻ります。負の根は標準偏差として選びません。
小さい組は√8 = 2√2秒、大きい組は√72 = 6√2秒です。

大きい組 : 小さい組 = 6√2 : 2√2
                    = 3 : 1

分散の比は72 : 8 = 9 : 1で、標準偏差の比を二乗したものと一致します。2つの値をそれぞれ二乗しても8秒²、72秒²に戻ります。

EもFも合計15点なので、平均は5点です。Eの偏差は-2、-2、4点、Fの偏差は-4、0、4点です。

Eの分散 = (4 + 4 + 16)/3
        = 8 点²
Eの標準偏差 = 2√2 点
Fの分散 = (16 + 0 + 16)/3
        = 32/3 点²
Fの標準偏差 = √(32/3) 点

32/3は8より大きいので、Fの標準偏差が大きいです。両組の合計は5・3 = 15点に戻ります。また(2√2)² = 8、{√(32/3)}² = 32/3で分散に戻り、各組の偏差の和も0です。平均が等しくても散らばりは等しいとは限りません。

覚えておくこと

偏差の二乗の平均が分散、その非負の平方根が標準偏差です。
分散の単位は元の単位の二乗、標準偏差の単位は元の単位です。
分散の比の平方根が標準偏差の比で、基準が0の比は作れません。
平均が同じでも標準偏差は異なり、各値の位置までは決まりません。

どこで止まったかを見分ける

答えの単位が元の単位のままで分散と書かれていれば、偏差を二乗した行と平均した行を見直します。分散は合っていて標準偏差の比だけ違う場合は、両方の平方根を別々に計算し、その比を二乗して元の比に戻すと原因を特定できます。平均の比較だけで散らばりを決めた場合は、同じ平均を持つ2組を並べて偏差の二乗和を比べます。

個別指導では、値、偏差、偏差の二乗を対応させた表を本人に作ってもらい、重複した値も個数分数えたかを確かめます。さらに、0を基準とする比が作れない理由を、掛け算に戻して説明できるかを尋ねます。平方根を二乗して元の分散へ戻す確認が、単位と比の取り違えを見つけます。