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高校数学B 確率変数の和の期待値—独立でない場合も表から和の平均を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 統計的な推測を掘り下げる

連動する得点表で和と差の平均を行別に計算し、積との違いまで扱う題材は和の期待値です。

よくあるのは、2つの得点が同じ結果に応じて動くため、平均を足してよいか迷う場面です。たとえば同じ札に書かれた2つの数字をそれぞれ得点とすると、片方を見た情報がもう片方の見通しを変えることがあります。それでも、各結果で2つの得点を足してから確率を掛ければ、和の平均を調べられます。計算の順序を比べ、和と積ではどの条件が必要かを整理します。

どの順番で平均を求めるか

問題の出方は大きく3通りあります。1つ目は、2つの得点の組とその確率が表で与えられ、合計の期待値を求める型です。結果ごとに合計を出して重みを掛ける方法と、それぞれの期待値を先に足す方法を比べます。表には、同じ合計になる異なる組があってもかまいません。

2つ目は、差や係数を含む式の期待値を求める型です。得点の差 X − Y の期待値は E(X) − E(Y) です。X と Y のうちどちらが大きいかは結果ごとに変わり得るので、差の期待値が負になることもあります。定数も含む式では、定数を各結果に加えることを忘れずに扱います。

3つ目は、和の期待値と積の期待値を比べる型です。E(X + Y) は常に E(X) + E(Y) ですが、E(XY) と E(X)E(Y) が等しいとは限りません。独立なら積についても等式が成り立ちます。独立でないときは、値の組ごとの確率を使って積の期待値を計算し、等しいと決めつけないことが必要です。

同じ結果に付く2つの数を整理する

確率変数の期待値は、その変数が取る値にそれぞれの確率を掛けて合計したものです。X と Y は、同じ試行の結果ごとに決まる2つの確率変数とします。たとえば同じ札の表面と裏面の得点のように、2つが連動していても構いません。個々の得点をどのように対にしたかと、各組の確率を区別して記録します。

図1のように、まず各結果で X と Y を組にし、それぞれの和を作ります。その後、和にその組の確率を掛けて足すと E(X + Y) です。一方、先に X の期待値と Y の期待値を別々に求めてから足しても、同じ値が得られます。

図1の2つの道筋が合う理由を、有限個の結果を使って確かめます。結果を A₁, A₂, …, Aₙ とし、それらが互いに重ならず全体を尽くすとします。結果 Aᵢ の確率を pᵢ、そのときの X と Y の値を xᵢ, yᵢ とします。各 pᵢ は 0 以上で、合計は 1 です。

E(X + Y) = Σ[i=1..n] (xᵢ + yᵢ)pᵢ
           = Σ[i=1..n] xᵢpᵢ + Σ[i=1..n] yᵢpᵢ
           = E(X) + E(Y)

1行目は和の期待値の定義です。2行目は各項を分配してまとめ直し、3行目はそれぞれの期待値の定義に戻しました。どの行にも独立であるという条件は使っていません。X と Y が同じ結果に強く結び付いていても、この式は成り立ちます。

同様に、定数 a, b, c に対して E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c です。係数は各値に掛かり、定数 c は確率の合計が 1 なのでそのまま残ります。差は b = -1 の場合です。期待値は長い試行の平均を考える目安ですが、1回の結果として実際に取る値とは限りません。

積は別に扱います。表で E(XY) を求めるには、同じ結果に付く xᵢ と yᵢ を掛け、その積に pᵢ を掛けて足します。周辺の平均 E(X), E(Y) だけからは、2つの値がどのように組になるかがわからず、一般には E(XY) を決められません。独立なら各組の確率がそれぞれの確率の積になるため、E(XY) = E(X)E(Y) です。ただし、この等式が成り立っただけでは独立とは限りません。

等式の向きを間違えないために

独立なら積の期待値が平均の積になるという定理は、その逆まで主張していません。実際に、同じ札から決まる X が -1, 0, 1 をそれぞれ確率 1/3 で取り、Y = X² と決めた場合を考えます。対応する組は (-1, 1), (0, 0), (1, 1) です。X = 0 のとき Y は必ず 0 ですが、全体では Y = 0 の確率は 1/3 です。たとえば P(X = 0 かつ Y = 0) = 1/3 と P(X = 0)P(Y = 0) = 1/9 が違うので、独立ではありません。

それでも E(X) = (-1)・(1/3) + 0・(1/3) + 1・(1/3) = 0、E(Y) = 1・(1/3) + 0・(1/3) + 1・(1/3) = 2/3 です。また E(XY) = (-1)・(1/3) + 0・(1/3) + 1・(1/3) = 0 なので、E(XY) = E(X)E(Y) が成り立ちます。この例は等式だけでは独立を判定できないことを示します。積が一致した理由と、すべての組について確率が積になるかは別の問いです。

表がないときにわかる範囲

E(X) と E(Y) の値だけがわかれば、組の表がなくても和や差の期待値は求まります。連動の仕方が違っても、それぞれの平均が同じなら和の平均は変わらないからです。一方で積には、X の大きな値が Y のどの値と組になるかが影響します。両方の周辺分布がわかっても、組み合わせが指定されなければ積の期待値を1つに決められない場合があります。

また、和の期待値が求まることと、和の確率分布が求まることは異なります。和がどの値をどの確率で取るかを調べるには、通常は値の組とその確率が必要です。求めるものが平均なのか、個々の合計の確率なのかを問題文で先に分けましょう。

基本例題：連動する得点の合計

袋から札を1枚選び、そこに書かれた2つの得点を X 点、Y 点とします。得点の組と確率は次の表のとおりです。合計 X + Y の期待値を、分数で点を単位として求めてください。また E(XY) と E(X)E(Y) を分数で求め、比べてください。

X	Y	確率
0	1	1/2
0	3	1/4
2	1	1/8
2	3	1/8

確率の合計は 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1 です。すべて 0 以上なので、表は与えられた確率の分布として扱えます。図2のように、各組から合計を作り、同じ合計の行も含めて確率を掛けます。

各組の合計は順に 1, 3, 3, 5 点です。和を直接計算すると、次のようになります。

E(X + Y) = 1・(1/2) + 3・(1/4) + 3・(1/8) + 5・(1/8)
           = 4/8 + 6/8 + 3/8 + 5/8
           = 18/8
           = 9/4

1行目は各合計に、その合計を生む組の確率を掛けました。2行目で分母をそろえています。したがって合計の期待値は 9/4 点です。同じ合計 3 点の確率を先に 1/4 + 1/8 = 3/8 とまとめ、1・(1/2) + 3・(3/8) + 5・(1/8) としても同じです。

別の順序でも確かめます。X が 2 点となる確率は最後の2行の和で 1/4、X が 0 点となる確率は 3/4 です。Y が 1 点となる確率は 1/2 + 1/8 = 5/8、Y が 3 点となる確率は 1/4 + 1/8 = 3/8 です。

E(X) = 0・(3/4) + 2・(1/4) = 1/2
E(Y) = 1・(5/8) + 3・(3/8) = 14/8 = 7/4
E(X) + E(Y) = 1/2 + 7/4 = 9/4

行ごとに求めた合計と一致します。元の表に戻しても、合計が 3 点になる2行を取り落としていないことが確認できます。平均を足すために独立性を確かめる必要はありません。

この表では、P(X = 0)P(Y = 1) = (3/4)・(5/8) = 15/32 ですが、P(X = 0 かつ Y = 1) = 1/2 = 16/32 です。1組について積の条件が違うため、X と Y は独立ではありません。次に積の期待値を表から計算します。

E(XY) = 0・1・(1/2) + 0・3・(1/4) + 2・1・(1/8) + 2・3・(1/8)
      = 0 + 0 + 2/8 + 6/8
      = 1
E(X)E(Y) = (1/2)・(7/4) = 7/8

したがって E(XY) = 1、E(X)E(Y) = 7/8 で、両者は異なります。和については平均を足せても、積の期待値まで平均の積で置き換えられるとは限らないことが、この同じ表で見えます。

標準例題：差に係数が付く場合

ある作業で、1枚のカードに作業点 X 点と調整点 Y 点が書かれています。カードの種類と選ばれる確率は、(X, Y) = (1, 4), (3, 2), (5, 0) の順に 1/4, 1/2, 1/4 です。評価を 2X − Y + 1 点とします。その期待値を分数または整数で求め、行ごとの計算でも確かめてください。

まずそれぞれの期待値を計算します。与えられた確率の和は 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 です。

E(X) = 1・(1/4) + 3・(1/2) + 5・(1/4)
     = 1/4 + 6/4 + 5/4
     = 3
E(Y) = 4・(1/4) + 2・(1/2) + 0・(1/4)
     = 4/4 + 4/4 + 0
     = 2

それぞれの行に対応する値を確率で重み付けしました。期待値の線形性を使うと、係数と定数を保ったまま次のように変形できます。

E(2X - Y + 1) = 2E(X) - E(Y) + 1
               = 2・3 - 2 + 1
               = 5

答えは 5 点です。X と Y の値はカードに結び付いていますが、線形性には独立性が要らないので、この計算が使えます。

元のカードに戻して評価を作ると、順に 2・1 − 4 + 1 = -1 点、2・3 − 2 + 1 = 5 点、2・5 − 0 + 1 = 11 点です。それらの期待値は (-1)・(1/4) + 5・(1/2) + 11・(1/4) = (-1 + 10 + 11)/4 = 5 点です。負の評価が1行あっても、確率を掛けて計算すればよく、その行を 0 点に直してはいけません。

さらにこのカードでは、どの行でも X + Y = 5 です。そのため合計は毎回 5 点で、期待値も 5 点です。これは E(X) + E(Y) = 3 + 2 と一致します。片方が増えるともう片方が減る組でも、平均の和はそのまま足せると確かめられます。

発展例題：和から確率を逆に決める

箱から札を1枚取り、その札にある同じ数を2つの得点 X 点と Y 点にします。数が 1 の札を取る確率を 1 − p、数が 4 の札を取る確率を p とします。ただし 0 ≦ p ≦ 1 です。合計 X + Y の期待値が 6 点のとき、p と E(XY) を分数または整数で求めてください。

X と Y はどちらも同じ札の数なので、各結果で X = Y です。まず X の期待値は、値と確率から E(X) = 1・(1 − p) + 4p = 1 + 3p です。Y も同じ値を同じ確率で取るので E(Y) = 1 + 3p です。

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
           = (1 + 3p) + (1 + 3p)
           = 2 + 6p
2 + 6p = 6
6p = 4
p = 2/3

1行目は独立でなくても使える和の線形性です。条件の 6 点を代入して解いた 2/3 は 0 以上 1 以下なので、確率として適しています。元の場面に戻すと、合計は 2 点または 8 点で、それぞれの確率は 1/3, 2/3 です。実際に 2・(1/3) + 8・(2/3) = 18/3 = 6 点となり、条件に戻ります。

積は、2つの平均を掛ける前に札ごとの値で求めます。

E(XY) = 1・1・(1/3) + 4・4・(2/3)
      = 1/3 + 32/3
      = 11

一方、E(X) = E(Y) = 1・(1/3) + 4・(2/3) = 3 なので、E(X)E(Y) = 9 です。答えは p = 2/3、E(XY) = 11 です。同じ数を2回書いた得点では、2つの値が強く結び付くため、積の平均を平均の積に替えることはできません。

もし逆算で p が負になったり 1 を超えたりしたら、その数を確率として採用できません。式の計算をもう一度確かめ、間違いがなければ、与えられた条件を満たす確率は存在しないと判断します。数式を解いて終わりにせず、確率の範囲と元の期待値に戻ることが大切です。

誤答から条件を見直す

基本例題の表に対し、「X と Y は独立でないから E(X + Y) は求められない」と答えたとします。原因は、和の公式と積の公式の条件を混ぜることです。独立でなくても、4つの組にそれぞれの確率が付いているので、合計の期待値は定義から計算できます。図3のように、和は線形性で進み、積は組の確率へ戻ります。

修正すると、和は E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 9/4 点です。積については独立であるという条件がないため、E(XY) = E(X)E(Y) と先に置かず、表の4行から E(XY) = 1 を得ます。図3の分岐を、式の中に掛け算があるかどうかで確認してください。

もう1つの誤答は、E(X − Y) を E(Y) − E(X) としてしまうことです。期待値を取っても引く順番は変わりません。基本例題なら X − Y の期待値は 1/2 − 7/4 = -5/4 点です。表からも (-1)・(1/2) + (-3)・(1/4) + 1・(1/8) + (-1)・(1/8) = -10/8 = -5/4 点です。負の答えは、平均として Y の方が X より大きいことを表し、計算の失敗とは限りません。

練習問題

次の5問は、答えの形式に従って求めてください。確率は各問の条件で与えられたものとします。解答は5問の後にまとめています。

ルーレットの結果に応じて2つの点数 (X, Y) が (2, 1), (4, 3), (6, 1) となる確率は、順に 1/4, 1/2, 1/4 です。E(X + Y) を分数または整数で、単位を付けて求めてください。
ある試行で E(A) = 7/2 個、E(B) = 5/4 個です。A と B が独立とは限らないとき、E(3A − 2B + 4) を分数または整数で、単位を付けて求めてください。
2つの数 U, V の組が (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2) のそれぞれである確率は、いずれも 1/4 です。独立性を表で確認し、E(UV) と E(U)E(V) を整数で求めてください。
同じ札から決まる2つの数 C, D は、確率 1/3 で (1, 2)、確率 2/3 で (4, 1) です。E(C − D) と E(CD) を分数または整数で求めてください。
1枚の札の数を W とすると、W = 2 となる確率は 1 − q、W = 5 となる確率は q です。ただし 0 ≦ q ≦ 1 とします。同じ札から決まる2つの数を X = W、Y = W + 1 とし、E(X + Y) = 9 のとき q を分数で求め、条件に戻して確かめてください。

練習の答えと解き方

1. 合計の行を作る

確率の和は 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 です。合計は行の順に 3, 7, 7 点ですから、同じ合計になる後の2行も両方数えます。

E(X + Y) = 3・(1/4) + 7・(1/2) + 7・(1/4)
           = 3/4 + 14/4 + 7/4
           = 24/4
           = 6

答えは 6 点です。元の合計の分布に戻すと、3 点の確率が 1/4、7 点の確率が 3/4 です。3・(1/4) + 7・(3/4) = 6 点となり、行をまとめても変わりません。

2. 係数と定数を残す

独立かどうかにかかわらず、期待値の線形性を使えます。定数 4 は試行ごとに 4 個加わると考えます。

E(3A - 2B + 4) = 3E(A) - 2E(B) + 4
                 = 3・(7/2) - 2・(5/4) + 4
                 = 21/2 - 5/2 + 4
                 = 8 + 4
                 = 12

答えは 12 個です。元の式の3つの部分の期待値は順に 21/2 個、-5/2 個、4 個で、その合計が 12 個です。B の係数が負であることと、定数を落とさないことを確認します。

3. 独立なときの積

表から U = 0 と U = 2 の確率はそれぞれ 1/2、V についても 0 と 2 の確率はそれぞれ 1/2 です。4組の各確率は、対応する周辺の確率の積 (1/2)・(1/2) = 1/4 に一致します。したがって U と V は独立です。

E(U) = 0・(1/2) + 2・(1/2) = 1
E(V) = 0・(1/2) + 2・(1/2) = 1
E(U)E(V) = 1・1 = 1
E(UV) = 0・(1/4) + 0・(1/4) + 0・(1/4) + 4・(1/4)
      = 1

答えは E(UV) = 1、E(U)E(V) = 1 です。最後の行で元の4組すべてに戻し、積が 4 になる場合の確率が 1/4 であることも確かめています。

4. 差と積を別々に作る

確率の合計は 1/3 + 2/3 = 1 です。2つの組における差 C − D はそれぞれ -1, 3、積 CD はそれぞれ 2, 4 です。

E(C - D) = (-1)・(1/3) + 3・(2/3)
           = -1/3 + 6/3
           = 5/3
E(CD) = 2・(1/3) + 4・(2/3)
      = 2/3 + 8/3
      = 10/3

答えは E(C − D) = 5/3、E(CD) = 10/3 です。元の値から E(C) = 1・(1/3) + 4・(2/3) = 3、E(D) = 2・(1/3) + 1・(2/3) = 4/3 なので、差は 3 − 4/3 = 5/3 とも確かめられます。積については 3・(4/3) = 4 で、表から得た 10/3 とは違います。

5. 合計に戻して確率を点検する

W = 2 なら (X, Y) = (2, 3) なので合計は 5、W = 5 なら (X, Y) = (5, 6) なので合計は 11 です。与えられた期待値を使い、次の方程式を作ります。

E(X + Y) = 5・(1 - q) + 11q
           = 5 + 6q
5 + 6q = 9
6q = 4
q = 2/3

答えは q = 2/3 です。確率の条件 0 ≦ q ≦ 1 を満たします。元の合計の分布に戻すと、5 の確率が 1/3、11 の確率が 2/3 であり、5・(1/3) + 11・(2/3) = 27/3 = 9 です。最初に指定された期待値と一致します。

覚えておくこと

和と差の期待値は、独立でなくても各期待値の和と差に分けられます。
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c です。
独立なら E(XY) = E(X)E(Y) ですが、独立でないときは表から調べます。
逆算した確率は 0 以上 1 以下か、元の条件を満たすか確かめます。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめる箇所

和の期待値で手が止まるときは、最初から公式を暗記し直すより、表の各行に X + Y の列を書けるかを確かめます。そこで得た値に行の確率を掛け、別々に求めた E(X) + E(Y) と照らせれば、独立性が不要な理由を式と表の両方で説明できます。差では、どちらからどちらを引くかを元の言葉に戻して確認します。

積で迷うときは、同じ行の X と Y を掛けた後、その行の確率を掛けているかを見ます。個別指導では、独立性を判断するために1組の同時確率と周辺確率の積を比較し、等しくないときには何が言えるかを本人の言葉で確かめます。期待値の和を求める道筋と、積に必要な組の情報を分けると、連動する得点も整理できます。