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高校数学B 同時分布と独立—二つの変数の確率を表で整理して独立か判定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 統計的な推測を掘り下げる

同時分布表の行と列を合計し、各マスと周辺確率の積を照らして独立かどうか判定します。

よくあるのは、高2が二種類の色札の組を調べ、赤が出る割合と青が出る割合を別々に求めて、二つは独立だと決める場面です。ところが、別々の割合が同じでも、赤と青が一緒に出る割合は変わりえます。組を1回選ぶときの二つの値を一つの表に置き、周辺の合計と各マスを照らし合わせましょう。ここで使う数値は、説明のために設定したものです。

要点（結論から）

同時分布の各マスは二つの値が同時に起こる確率です。
行と列を足すと、それぞれの周辺分布が得られます。
分布には各マスの非負性と全体の和 1 が必要です。

問われ方を見分ける

一つ目は、組ごとの確率が与えられ、片方の変数だけの分布を求める型です。X の値を固定したら、Y が取りうる値に対応するマスを足します。Y の分布は、今度は Y を固定して X の方向に足します。行と列のどちらに何を置いたかを先に読むと、足す方向を取り違えにくくなります。

二つ目は、同時分布から独立性を判定する型です。各マスの確率と、そのマスに対応する二つの周辺確率の積を比べます。合わないマスが一つでもあれば独立ではありません。一方、一つのマスが合ったというだけでは、一般に表全体で条件が成り立つとは限りません。

三つ目は、表に含まれる文字の値を求める型です。まず各確率が 0 以上で、表の中の合計が 1 になる範囲を確認します。独立という追加条件があるなら、周辺確率を文字で表してから積の等式を立てます。計算で得た値を表へ戻し、確率の条件と独立の条件の両方を確かめます。

同時分布と周辺分布の読み方

確率変数 X と Y がそれぞれいくつかの値を取るとします。X = x かつ Y = y となる確率 P(X = x かつ Y = y) を、値の組ごとに並べたものが同時分布です。表の一つのマスは、二つの条件が同時に満たされる確率を表します。行を X、列を Y と置く約束は自由ですが、一度決めた向きを途中で変えないことが大切です。

図1のように、X の値を一つ決め、同じ行のマスを横に足すと P(X = x) が得られます。その行では Y が取りうる値が重ならずに並んでいるためです。逆に一つの列を縦に足すと P(Y = y) が得られます。こうして端に得られる、それぞれの変数の分布を周辺分布といいます。

図1の中の各マスは組の確率、右端と下端はそれぞれの合計を表します。周辺分布は片方だけに注目した結果ですから、二つの値がどのように組になるかという情報を、そのまま残してはいません。

X と Y が独立であるとは、X の取りうる各値 x と Y の取りうる各値 y のすべての組について、次の等式が成り立つことです。

P(X = x かつ Y = y) = P(X = x)・P(Y = y)

この式は、X と Y の値の組を一つずつ確認するための条件です。周辺の数が同じかどうかを比べる式ではありません。また、表のどこかに 0 があることだけでは独立か否かは決まりません。対応する周辺確率の積も 0 であれば、そのマスは条件を満たします。

表が確率分布として適切かも先に調べます。各マスは 0 以上で、全マスの和が 1 です。周辺の合計もそれぞれ 1 に戻るはずですが、それは独立の証明ではありません。合計 1 はどちらの分布でも必要な条件であり、組ごとの積の条件は別に確認します。

基本例題：色札の組から表を読む

袋から組札を1枚選びます。赤札の印を X、青札の印を Y とし、各印は無いとき 0、あるとき 1 とします。次の表は、行を X、列を Y とした組の確率です。X と Y の周辺分布を求め、独立か判定してください。確率は分数で答えます。

X と Y	Y = 0	Y = 1	行の合計
X = 0	3/8	1/8
X = 1	3/8	1/8

図2のように、最初に行と列の合計を出し、その値を各マスと比べます。表の値はすべて 0 以上で、合計は 3/8 + 1/8 + 3/8 + 1/8 = 1 です。したがって、与えられた表は確率分布の条件を満たします。

X の各値について、同じ行の二つのマスを足します。

P(X = 0) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2
P(X = 1) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2

Y の各値について、同じ列を足します。

P(Y = 0) = 3/8 + 3/8 = 6/8 = 3/4
P(Y = 1) = 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4

それぞれ 1/2 + 1/2 = 1、3/4 + 1/4 = 1 に戻ります。続いて、組ごとに周辺確率を掛け、元のマスと比べます。

X = 0, Y = 0 : (1/2)・(3/4) = 3/8
X = 0, Y = 1 : (1/2)・(1/4) = 1/8
X = 1, Y = 0 : (1/2)・(3/4) = 3/8
X = 1, Y = 1 : (1/2)・(1/4) = 1/8

4つの積が対応する4マスと一致するので、X と Y は独立です。例えば左上の 3/8 は、X = 0 の行全体の 1/2 ではありません。Y = 0 も同時に満たす組の確率だと、答えを元の表に戻して読めます。

標準例題：同じ周辺分布から何が言えるか

二つの標識の点灯を X、Y とし、消灯を 0、点灯を 1 とします。次の表が同時分布です。周辺分布を分数で求め、独立か判定してください。

X と Y	Y = 0	Y = 1
X = 0	2/5	1/10
X = 1	1/10	2/5

表の値は非負で、2/5 + 1/10 + 1/10 + 2/5 = 1 です。行と列をそれぞれ足します。

P(X = 0) = 2/5 + 1/10 = 5/10 = 1/2
P(X = 1) = 1/10 + 2/5 = 5/10 = 1/2
P(Y = 0) = 2/5 + 1/10 = 5/10 = 1/2
P(Y = 1) = 1/10 + 2/5 = 5/10 = 1/2

二つの周辺分布は同じですが、これだけでは独立かどうか決まりません。左上のマスで積の条件を調べます。

P(X = 0)・P(Y = 0) = (1/2)・(1/2) = 1/4
P(X = 0 かつ Y = 0) = 2/5
1/4 ≠ 2/5

一つの組で等式が成り立たないので、独立ではありません。差を通分すると 2/5 − 1/4 = 3/20 であり、丸めの違いではありません。たしかに両方の周辺分布の合計は 1 ですが、周辺の一致と組の独立性は異なる問いです。

発展例題：文字を含む表で成立範囲を調べる

二つの印の有無を X、Y とし、無を 0、有を 1 とします。同時分布は次の表で与えられています。X と Y が独立となる実数 a の値を分数で求め、完成した表を確かめてください。

X と Y	Y = 0	Y = 1
X = 0	a	1/3 − a
X = 1	1/2 − a	1/6 + a

まず全マスの和は、a を含む項が消えて 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1 です。次に各マスが非負になる条件を並べます。

a ≧ 0
1/3 - a ≧ 0 から a ≦ 1/3
1/2 - a ≧ 0 から a ≦ 1/2
1/6 + a ≧ 0 から a ≧ -1/6

これらを同時に満たす範囲は 0 ≦ a ≦ 1/3 です。表が分布になる範囲を押さえたうえで、行と列の合計を求めます。

P(X = 0) = a + (1/3 - a) = 1/3
P(X = 1) = (1/2 - a) + (1/6 + a) = 2/3
P(Y = 0) = a + (1/2 - a) = 1/2
P(Y = 1) = (1/3 - a) + (1/6 + a) = 1/2

独立なら左上のマスが周辺確率の積に等しいので、必要な条件は次のようになります。

a = (1/3)・(1/2)
a = 1/6

1/6 は 0 ≦ a ≦ 1/3 を満たします。ただし一つのマスから得た値を、そのまま独立の答えにするのは早い段階です。a = 1/6 を残りの3マスにも代入し、積と一致することを確かめます。

X = 0, Y = 0 : a = 1/6 = (1/3)・(1/2)
X = 0, Y = 1 : 1/3 - a = 1/6 = (1/3)・(1/2)
X = 1, Y = 0 : 1/2 - a = 1/3 = (2/3)・(1/2)
X = 1, Y = 1 : 1/6 + a = 1/3 = (2/3)・(1/2)

完成表の全マスは非負で、1/6 + 1/6 + 1/3 + 1/3 = 1 です。各組で積の条件が成立するので、求める値は a = 1/6 です。最初の等式は候補を絞るために使い、残りの確認でその候補が実際に成り立つと示しました。

誤答を表へ戻して直す

標準例題について、「X も Y も 0 と 1 をそれぞれ 1/2 の確率で取る。周辺分布が同じだから独立」と書くのは誤りです。図3のように、独立なら左上に期待される積と、実際の左上の確率を比べます。

図3では実際の左上が 2/5、積は 1/4 です。周辺分布の一致は、同じ行や列をまとめた結果が等しいことを示すにとどまります。組み合わせに関する情報は合計する段階で失われるため、それだけを根拠に独立と断定できません。

別の誤りは、表の値が負でも、合計が 1 なら分布として先へ進めることです。例えば発展例題で a = -1/6 とすると、左上は負になります。合計が 1 でも確率にはならないので、その値を独立性の判定に使うことはできません。まず非負性と合計を確認し、分布として成立する候補に限って調べます。

逆に、独立でないと判断する際は全マスを最後まで計算する必要はありません。一つでも対応する積と異なれば、全組で等しいという条件は破れます。独立と判断するときは、すべての組を確認するか、残りも成立する理由を示します。片方だけ周辺確率を使い、もう片方を同時確率のまま掛けないようにも注意しましょう。

練習問題

各表は行を X、列を Y とします。確率の答えは分数で表し、独立性を問う問題は根拠も書いてください。表を確率分布として使えるかは、各マスと全体の和から判断します。

二つの箱に入る印の個数 X、Y がそれぞれ 0 または 1 で、同時分布の行が順に (1/10, 2/10)、(3/10, 4/10) です。X と Y の周辺分布を求めてください。
二つの装置の作動を 0 と 1 で表し、表の行が (1/6, 1/3)、(1/6, 1/3) です。独立か判定してください。
二つの封の有無を 0 と 1 で表し、表の行が (1/3, 1/6)、(1/6, 1/3) です。独立か判定してください。
二つの表示を 0 と 1 で表し、表の行が (b, 1/4 - b)、(1/2 - b, 1/4 + b) です。確率分布となる b の範囲と、独立となる b の値を求めてください。
三つの形を取る X の値を 0、1、2、二つの色を取る Y の値を 0、1 とし、表の行が順に (1/6, 1/6)、(1/3, 0)、(0, 1/3) です。左上のマスでは積の条件が成立することを確かめ、X と Y が独立か判定してください。

練習問題の答えと解き方

1の解答

各マスは非負で、全体は (1 + 2 + 3 + 4)/10 = 1 です。行を足して X の分布を出します。

P(X = 0) = 1/10 + 2/10 = 3/10
P(X = 1) = 3/10 + 4/10 = 7/10

列を足すと Y の分布が得られます。

P(Y = 0) = 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5
P(Y = 1) = 2/10 + 4/10 = 6/10 = 3/5

行の合計は 3/10 + 7/10 = 1、列の合計は 2/5 + 3/5 = 1 です。元の表へ戻して、X = 1 の 7/10 が下の行の両マスの合計であることも確認できます。

2の解答

確率は非負で、全体は 1/6 + 1/3 + 1/6 + 1/3 = 1 です。まず周辺確率を求めます。

P(X = 0) = 1/6 + 1/3 = 1/2
P(X = 1) = 1/6 + 1/3 = 1/2
P(Y = 0) = 1/6 + 1/6 = 1/3
P(Y = 1) = 1/3 + 1/3 = 2/3

各マスを積と照らし合わせます。

X = 0, Y = 0 : (1/2)・(1/3) = 1/6
X = 0, Y = 1 : (1/2)・(2/3) = 1/3
X = 1, Y = 0 : (1/2)・(1/3) = 1/6
X = 1, Y = 1 : (1/2)・(2/3) = 1/3

それぞれ元の表のマスと一致します。したがって二つの変数は独立です。周辺分布は同じ形ではありませんが、それでも積の条件は全組で成立します。

3の解答

全マスは非負で、和は 1/3 + 1/6 + 1/6 + 1/3 = 1 です。左上を判定するため、その行と列を足します。

P(X = 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2
P(Y = 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2
P(X = 0)・P(Y = 0) = (1/2)・(1/2) = 1/4

元の左上は 1/3 であり、1/3 ≠ 1/4 です。等式が一組で破れるので、独立ではありません。実際の差は 1/3 − 1/4 = 1/12 で、表の値を取り違えなければ判断できます。

4の解答

表の全体の和は b を整理すると 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 です。各マスが非負である条件を求めます。

b ≧ 0
1/4 - b ≧ 0 から b ≦ 1/4
1/2 - b ≧ 0 から b ≦ 1/2
1/4 + b ≧ 0 から b ≧ -1/4

共通範囲は 0 ≦ b ≦ 1/4 です。行と列の合計は次のようになります。

P(X = 0) = b + (1/4 - b) = 1/4
P(X = 1) = (1/2 - b) + (1/4 + b) = 3/4
P(Y = 0) = b + (1/2 - b) = 1/2
P(Y = 1) = (1/4 - b) + (1/4 + b) = 1/2

独立なら左上は b = (1/4)・(1/2) = 1/8 です。この値は上の範囲に含まれます。実際に代入した表と積を、4組で照らし合わせます。

X = 0, Y = 0 : b = 1/8 = (1/4)・(1/2)
X = 0, Y = 1 : 1/4 - b = 1/8 = (1/4)・(1/2)
X = 1, Y = 0 : 1/2 - b = 3/8 = (3/4)・(1/2)
X = 1, Y = 1 : 1/4 + b = 3/8 = (3/4)・(1/2)

元の表は非負で、合計は 1/8 + 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1 です。よって独立となる値は b = 1/8 です。範囲の端点と独立となる値を混同せず、条件の役割を分けます。

5の解答

全マスは非負で、その和は 1/6 + 1/6 + 1/3 + 0 + 0 + 1/3 = 1 です。必要な周辺確率を行と列から求めます。

P(X = 0) = 1/6 + 1/6 = 1/3
P(X = 2) = 0 + 1/3 = 1/3
P(Y = 0) = 1/6 + 1/3 + 0 = 1/2

左上では (1/3)・(1/2) = 1/6 となり、表の値と一致します。ところが X = 2、Y = 0 の組では、積は (1/3)・(1/2) = 1/6 ですが、実際のマスは 0 です。元の表に戻すと、左上だけの一致は全組の一致を保証しないとわかります。したがって独立ではありません。

要点

同時分布の各マスは二つの値が同時に起こる確率です。
行と列を足すと、それぞれの周辺分布が得られます。
分布には各マスの非負性と全体の和 1 が必要です。
独立には、各マスが対応する二つの周辺確率の積に等しいことが必要です。
不一致が一組あれば独立でなく、成立の判定には全組を確かめます。

つまずきの見分け方

行と列の足し方が逆になるときは、「X = 0 を固定したまま Y の値を変える」と声に出し、同じ行を指で追います。出した値を元のマスの和へ戻せるか、行の合計どうしと列の合計どうしがそれぞれ 1 かを確認します。総和が 1 に見えても負のマスがないかは別に見ます。

個別指導では、まず一つの組について P(X = x かつ Y = y) と P(X = x)・P(Y = y) をそれぞれ指し示してもらいます。前者は内側のマス、後者は行と列の端の値の積です。表の成立、周辺の集計、全組の積の照合という順序を言葉にできれば、周辺分布だけで結論を急ぐ誤りを見つけられます。

二つの値の組を表に残すことで、独立かどうかを一つずつ検証できます。