高校数学III 分数無理関数の概形—定義域と増減と凹凸を一枚の図にまとめる｜武蔵野個別指導塾

分母の除外点と根号の端点を区別し、切片や接線を照らして分数無理関数を描きます。

よくあるのは、理系高3の演習で増減表を描いた後、定義域の外まで曲線を延ばしてしまう場面です。表に矢印が並ぶと、紙面の端まで線をつなぎたくなります。しかし、分母が0になる位置には元の関数の点がなく、根号の中が負になる側にも実数の点はありません。まず描いてよい場所を決め、その内部で増減と凹凸を調べます。

導関数を使って増減や凹凸から概形を調べることは数学IIIの学習範囲です。ここでは分数と平方根を含む関数を扱い、曲線の端と接線の情報まで一枚に重ねます。

どんな問いとして現れるか

1つ目は、式から概形を描く問いです。定義域、座標軸との交点、端での極限を調べてから、導関数の符号で増減を決めます。さらに第二次導関数で凹凸を調べ、必要な接線を加えます。数表の値を結ぶだけでは、点の間に山が隠れていないか判断できません。

2つ目は、条件を満たす図を選ぶ問いです。例えば、右へ進むと値が減っていても、傾きが次第に0へ近づくなら、その部分は下に凸になりえます。増減と凹凸は別々の情報です。図に候補が複数あるときは、切片と端の様子で先に消し、残った候補の傾きを調べます。

3つ目は、定義域の端を含む問いです。平方根が0になる点は関数値が定まる場合がありますが、そこで通常の微分係数が存在するとは限りません。端点での値と、内側から近づいたときの傾きを分けて調べます。分母の零点で関数が定義されない場合とは、点を描くかどうかが違います。

描く場所から傾きへ

実数の範囲で平方根の中は0以上、分母は0以外です。複数の条件があるときは、その共通部分を定義域にします。変形や約分の後も元の式の条件は残ります。例えば (x² − 1)/(x − 1) は x ≠ 1 で x + 1 に等しいものの、x = 1 の点は元のグラフにありません。

図1のように、根号の端は値が定まれば点を打ち、除外点は打ちません。図の左は y = √x、右は y = (x² − 1)/(x − 1) です。後者の白丸は (1, 2) を除くことを示します。端点と穴はどちらも線が途切れますが、片方には点があり、もう片方にはありません。

図1の2つを比べると、式を簡単にしてから定義域を決める危険が見えます。定義域の各区間の内部では、関数が微分可能で f′(x) > 0 なら増加、f′(x) < 0 なら減少します。f′(x) = 0 は極値の候補であり、左右の符号変化まで調べます。定義されない点は候補に入れません。

2回微分可能な区間で f″(x) > 0 なら下に凸、f″(x) < 0 なら上に凸です。下に凸では傾きが増加し、接線はその区間の曲線の下側にあります。凹凸が変わる曲線上の点は変曲点です。第二次導関数が0というだけで変曲点とは決めず、左右の符号を見ます。

xを正または負の無限大へ動かしたとき、曲線と直線 y = ax + b の縦の差が0に近づけば、その側でこの直線は漸近線です。有限の点に近づく際、関数値が正または負の無限大へ発散する場合は、その点を通る鉛直線が垂直な漸近線です。漸近線と曲線の交差を一般に禁止するわけではありません。接線は微分可能な点 x = a で y = f(a) + f′(a)(x − a) と書き、接点と傾きの両方を確かめます。

基本例題：分数の両側を描く

関数 f(x) = (x² + 1)/x の概形を描き、極値、漸近線、x = 1 における接線を正確な式で求めてください。

まず分母から x ≠ 0 です。分子 x² + 1 は正なので、x軸との交点はありません。x = 0 は定義域外なので y軸との交点もありません。定義域内で式を分けます。

f(x) = x + 1/x
f′(x) = 1 - 1/x²
       = (x - 1)(x + 1)/x²
f″(x) = 2/x³

分母 x² は正です。したがって f′ の符号は、x < -1 と x > 1 で正、-1 < x < 0 と 0 < x < 1 で負です。x = -1 で増加から減少へ変わり、f(-1) = -2 は極大値です。x = 1 では減少から増加へ変わり、f(1) = 2 は極小値です。0の両側は別の区間なので、そこを一本の矢印でつなぎません。

f″ は x < 0 で負、x > 0 で正です。左側は上に凸、右側は下に凸です。x = 0 は曲線上の点ではなく、凹凸の符号が異なっても変曲点ではありません。端では次が成り立ちます。

lim[x→0-] f(x) = -∞
lim[x→0+] f(x) = +∞
lim[x→±∞] {f(x) - x} = 0

よって x = 0 と y = x が漸近線です。x = 1 で f′(1) = 0 なので、求める接線は y = 2 です。接点 (1, 2) を通り、傾きが0であることも元の値と一致します。

図2のように、右の枝は y = x より 1/x だけ上、左の枝は同じ差が負なので直線より下です。両枝は x = 0 を越えてつながりません。極値の位置と接線の水平さ、凹凸を同時に確認してから曲線を仕上げます。

標準例題：根号の端点から始める

関数 g(x) = x√(x + 1) の概形を描き、切片、極値、変曲点、x = 0 における接線を正確な式で求めてください。

根号の条件から定義域は x ≥ -1 です。g(-1) = 0、g(0) = 0 なので、x軸との交点は (-1, 0)、(0, 0)、y軸との交点は (0, 0) です。x > -1 では微分可能で、次のように計算します。

g′(x) = √(x + 1) + x/(2√(x + 1))
       = (3x + 2)/(2√(x + 1))
g″(x) = (3x + 4)/(4(x + 1)√(x + 1))

分母は x > -1 で正です。g′ は -1 < x < -2/3 で負、x > -2/3 で正です。したがって x = -2/3 で極小となり、その値は -2/(3√3) です。代入すると根号の中は 1/3 で、定義域にも入っています。

一方、x > -1 では 3x + 4 > 1 なので g″ は正です。内部は下に凸で、変曲点はありません。端点 x = -1 では右からの差商が次のように負の無限大に向かいます。

{g(-1 + h) - g(-1)}/h = (-1 + h)/√h
lim[h→0+] (-1 + h)/√h = -∞

ここで h > 0 です。端点を通る曲線は鉛直方向に近づきますが、通常の有限な微分係数を持つとは言えません。x < -1 には線を描かず、端点 (-1, 0) は塗った点にします。x = 0 では g′(0) = 1 より接線は y = x です。この直線は原点を通り、曲線のその点での傾きも1です。x → +∞ では g(x) → +∞ です。

発展例題：分母と根号の条件を重ねる

関数 h(x) = √(x + 2)/x の概形を描き、極値、変曲点、漸近線を求めてください。座標は根号を含む正確な式で答えます。

根号と分母の条件を合わせ、定義域は -2 ≤ x < 0 または x > 0 です。h(-2) = 0 なので x軸との交点は (-2, 0)、y軸との交点はありません。両区間の内部では微分可能です。

h′(x) = 1/(2x√(x + 2)) - √(x + 2)/x²
       = -(x + 4)/(2x²√(x + 2))
h″(x) = (3x² + 24x + 32)/(4x³(x + 2)√(x + 2))

定義域の内部では x + 4 > 0 ですから h′ は常に負です。ただし0をまたぐ2つの区間をひと続きの減少区間とはしません。各枝はそれぞれ減少し、内部に極値はありません。左端では値0から右側へ負になるので、端点を含む片側の比較では0が近くの値より大きいことも読み取れます。

第二次導関数の分子の零点は x = -4 ± 4√3/3 です。このうち定義域の内部に入るのは a = -4 + 4√3/3 だけです。実際、-2 < a < 0 です。分子は上に開く二次式なので、-2 < x < a で負、a < x < 0 と x > 0 で正です。分母の符号は左の区間で負、右で正です。よって凹凸は順に下に凸、上に凸、下に凸です。

変曲点は (a, √(a + 2)/a) です。a を元の式へ戻すと根号内は正で分母も0ではありません。端の振る舞いは次のとおりです。

lim[x→0-] h(x) = -∞
lim[x→0+] h(x) = +∞
lim[x→+∞] h(x) = 0

最後は h(x) = √(1/x + 2/x²) と x > 0 で書けば確認できます。したがって x = 0 と y = 0 が漸近線です。左端では右からの傾きが負の無限大へ向かい、(-2, 0) に点を打ちます。右枝は正の値を保って減りながら x軸へ近づきます。左枝は負の値を取り、変曲点を経て下へ発散します。

誤答を図で直す

標準例題で「g′ が負から正になるので、左から減って右へ増える曲線を全実数に描く」とした答案を考えます。増減の向き自体は内部で正しくても、x < -1 は根号の中が負なので実数の関数値がありません。さらに x = -1 は定義される点であり、穴にはしません。

図3の左は誤った延長、右は定義域を守った図です。直すには、最初に x ≥ -1 を書き、(-1, 0) を塗ってから、右側へだけ曲線を描きます。図3の右で極小点より右に増加する形も、導関数の符号と一致します。別の失敗として端点を微分式へ直接代入して0で割ることがあります。端点の値は元の式、傾きは内側からの差商で調べると役割を混同しません。

練習問題

いずれも概形を描き、指定された値は整数、分数または根号を含む正確な式で答えてください。定義域、切片、増減、凹凸、端の振る舞いを根拠にします。

1. f(x) = (x² + 4)/x について、極値と漸近線、x = 2 における接線を求めてください。
2. g(x) = (x − 2)√x について、極値と変曲点、原点での右側からの傾きを求めてください。
3. h(x) = (x² − 9)/(x − 3) について、定義域と穴の座標を求め、グラフを描いてください。
4. p(x) = √(x + 3) について、x = 1 における接線を求め、定義域と凹凸を示してください。
5. q(x) = 1/(x² + 1) について、極値、変曲点、水平な漸近線を求めてください。

練習問題の答えと道筋

1. 定義域は x ≠ 0、切片はありません。f′(x) = 1 − 4/x²、f″(x) = 8/x³ です。f′ は x < -2、x > 2 で正、間の各区間で負です。極大値は f(-2) = -4、極小値は f(2) = 4 です。左は上に凸、右は下に凸で、x = 0 の左右でそれぞれ負、正の無限大へ発散します。f(x) − x = 4/x → 0 より漸近線は x = 0、y = x です。f′(2) = 0 より接線は y = 4 で、元の点 (2, 4) を通ります。

2. 定義域は x ≥ 0、切片は (0, 0)、(2, 0) です。x > 0 で g′(x) = (3x − 2)/(2√x)、g″(x) = (3x + 2)/(4x√x) です。x = 2/3 まで減少し、その後増加します。極小値は -(4/3)√(2/3) です。第二次導関数は正なので内部は下に凸で、変曲点はありません。原点での右側の差商は (h − 2)/√h であり、h → 0+ で -∞ です。端点は含まれますが、有限な傾きはありません。x → +∞ では関数値も +∞ です。極小点の横座標を元の式に入れると上の値に戻ります。

3. 元の分母から x ≠ 3 です。その範囲で h(x) = x + 3 なので、直線 y = x + 3 の (3, 6) を除きます。傾きは1、第二次導関数は0で、各区間で増加します。切片は (-3, 0) と (0, 3) です。両無限遠で直線との差は0ですが、穴は埋まりません。除いた座標に元の式を代入すると分母が0となることが確認できます。

4. 定義域は x ≥ -3、切片は (-3, 0) と (0, √3) です。x > -3 で p′(x) = 1/(2√(x + 3)) > 0、p″(x) = -1/{4(x + 3)√(x + 3)} < 0 です。右へ増加し、上に凸です。端点では値0を取り、右側の傾きは正の無限大へ向かいます。無限遠では値も発散します。p(1) = 2、p′(1) = 1/4 より接線は y = (x − 1)/4 + 2 です。x = 1 を代入すると接点の高さ2に戻ります。

5. 定義域は全実数、切片は (0, 1) で、x軸との交点はありません。q′(x) = -2x/(x² + 1)² なので、0まで増加し、その後減少します。極大値は1です。q″(x) = 2(3x² − 1)/(x² + 1)³ だから、x = ±1/√3 で符号が変化します。変曲点は (±1/√3, 3/4) です。中央は上に凸、その外は下に凸です。両無限遠で q(x) → 0 より y = 0 が水平な漸近線です。変曲点の横座標を元の分母へ戻すと 1 + 1/3 = 4/3 となり、高さは 3/4 です。

要点を整理する

定義域と切片を先に決め、端点を含むか記します。
増減と凹凸は別の符号表で調べます。
除外点では左右を分け、極値や変曲点にしません。
極限で漸近線を定め、接線は接点と傾きを照合します。

つまずいた位置を見つける

図が合わないときは、まず元の式の分母と根号に印をつけ、図の各枝がその条件内にあるか調べます。枝の場所は正しいのに向きが違うなら、導関数の分母が正か負かを区間ごとに問い直します。極値の高さが合わない場合は導関数ではなく元の関数へ横座標を戻します。個別指導では、例えば穴を塗った答案に対し、その座標を元の分母へ代入して何が起こるかを確認できます。定義域に戻る一手が、曲線の形を支えます。