高校数学III 指数対数関数の概形—極値と変曲点と端の振る舞いをつなぐ｜武蔵野個別指導塾

極大点と変曲点の違い、端の極限、増減と凹凸をつないで描き分けたい指数対数の概形です。

理系高3の演習で、変曲点の座標まで求めたのに、その点を山の頂上として描いてしまう場面があります。計算結果の点を紙に打つだけでは、その前後で曲線が上がるのか下がるのか、傾きがどう変わるのかは決まりません。極値は増減、変曲点は凹凸の変化から見分けます。端に近づいたときの様子も合わせて、点と点の間を根拠のある線でつなぎましょう。

導関数を用いて増減や凹凸から概形を調べることは、高等学校学習指導要領に示された数学IIIの内容です。ここでは指数・対数と多項式を組み合わせた関数の概形に絞り、計算結果を図へ移す順序を扱います。

概形を問う3つの場面

1つ目は、指数関数と多項式の積のグラフです。指数部分は常に正なので、導関数の符号を調べるときは残りの因子に注目できます。ただし、指数部分を消してよいのは符号の判定であって、関数値や極限の計算では元の式を使います。左右の端では、指数が大きくなる方向と小さくなる方向をそれぞれ確かめます。

2つ目は、対数を分子に含む商のグラフです。真数が正という条件から、まず定義域を決めます。たとえば真数がxなら、0に近づくのは正の側からです。x = 0をグラフ上の点にしたり、その左側まで曲線をつないだりしないようにします。

3つ目は、極値と変曲点が両方ある曲線です。導関数の符号と第二次導関数の符号は別の行で追い、座標を求めた後に位置を照合します。極大点と変曲点のどちらが先かまでわかれば、頂上から先の曲がり方も描きやすくなります。端の極限が有限値なら、その値に近づく向きも手がかりです。

点の名前と、点の間の情報を分ける

関数fがある点の近くで、その点をはさんだ両側の値より大きい値をとるとき、その値を極大値といいます。小さい値をとるときは極小値です。微分可能な内点でf′が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小になります。f′ = 0という式を解いただけでは、その左右の符号変化までは確定しません。

一方、曲線の凹凸が切り替わる点を変曲点といいます。ここではf″が正の区間を下に凸、負の区間を上に凸と呼びます。f″の符号が点の左右で変わり、その点で曲線が連続につながるとき、凹凸が切り替わります。f″ = 0は候補を探す式であり、符号が変わらなければ変曲点とは限りません。また、候補が定義域外なら曲線上の点ではありません。

図1のように、増減と凹凸は別々の情報です。たとえばf′ > 0かつf″ < 0なら、曲線は上がりながら傾きが小さくなります。変曲点でf′が正なら、その点を通過しても曲線は上がり続けます。頂上かどうかはf″ではなく、f′の左右の符号で判断します。

作図の前には、定義域、軸との交点、f′の符号、f″の符号、端の極限を順に書き出します。対数の定義域がx > 0なら、x = 0そのものは計算対象に入れず、右側から近づけます。xが正または負の無限大へ向かうときにf(x) → Lとなれば、y = Lをその側の水平漸近線と判断します。有限の端で関数値がLに近づく場合は、この判定の対象には含めません。有限の数aに近づくときf(x)が正または負の無限大へ発散するなら、x = aがその側での鉛直漸近線になります。極限が存在するかを実際に確かめ、見た目だけで線を引かないことが必要です。

基本例題：山の先にある変曲点

関数f(x) = x e⁻ˣの定義域、極値、変曲点と両端の極限を求め、概形を描いてください。座標と値はeを用いた正確な式で答えます。

指数関数は全実数で定義され、fは全実数で2回微分可能です。積の微分と、e⁻ˣが常に正であることから、次のように増減を調べます。

f′(x) = e⁻ˣ - x e⁻ˣ
      = (1 - x)e⁻ˣ
f″(x) = -e⁻ˣ - (1 - x)e⁻ˣ
       = (x - 2)e⁻ˣ

f′の符号は1 − xの符号です。x < 1で正、x > 1で負なので、x = 1で極大値1/eをとります。f″の符号はx − 2の符号です。x < 2で負、x > 2で正となるため、x = 2で上に凸から下に凸へ変わります。変曲点の座標は(2, 2/e²)です。2 > 1なので変曲点は頂上の右側にあり、その前後ではf′ < 0です。

原点はf(0) = 0から曲線上にあります。x → ∞ではeˣがxより速く増えることから、x/eˣ → 0です。正の値のまま0に近づくので、右端でy = 0に上側から近づきます。x → -∞ではxは負で、e⁻ˣは正の無限大に発散するため、積は負の無限大へ向かいます。

x < 1       : 増加、上に凸
1 < x < 2   : 減少、上に凸
2 < x       : 減少、下に凸

図2のように、原点を通って頂上(1, 1/e)に達し、その後は下がりながら(2, 2/e²)で曲がり方を変えます。以後も減少を続けてx軸に近づきます。頂上へx = 1を戻すとf(1) = 1/e、変曲点へx = 2を戻すとf(2) = 2/e²です。各点が元の曲線上にあり、f′(2) = -1/e² < 0なので、変曲点が水平な頂上でないことも確かめられます。

この関数のx軸との交点はe⁻ˣ > 0からx = 0に限られます。右端がx軸に近づくことと、有限のxで再びx軸と交わることは別です。右側で軸を横切る線を描いてしまったら、元の式の符号に戻って確かめます。

標準例題：対数の定義域と両端をつなぐ

関数g(x) = (log x)/xの定義域、x軸との交点、極値、変曲点と端の極限を求め、概形を描いてください。logは自然対数とし、答えはeを含む正確な式で表します。

真数が正で分母も0でない条件から、定義域はx > 0です。この範囲ではgは2回微分可能で、次が成り立ちます。

g′(x) = ((1/x)・x - log x)/x²
      = (1 - log x)/x²
g″(x) = (-1/x)/x² - 2(1 - log x)/x³
       = (2 log x - 3)/x³

分母は定義域で正です。g′ = 0はlog x = 1、すなわちx = eです。対数は増加するので、0 < x < eではg′ > 0、x > eではg′ < 0です。よってx = eで極大値1/eをとります。

g″ = 0はlog x = 3/2からx = eの3/2乗です。以下この数をe³ᐟ²と書きます。定義域内でg″はその左で負、右で正なので、変曲点は(e³ᐟ², 3/(2e³ᐟ²))です。指数の3/2は1より大きく、e > 1なので、この点は極大点より右です。変曲点ではg′ = -1/(2e³) < 0であり、下降中に凹凸が変わります。

交点は分母が正のためlog x = 0からx = 1です。x → 0の正の側ではlog x → -∞かつ1/x → ∞なのでg(x) → -∞です。したがってx = 0は右側から見た鉛直漸近線です。x → ∞では対数よりxが速く増えるのでg(x) → 0です。x > 1ではg(x) > 0のため、y = 0へ上側から近づきます。

増減と凹凸を合わせると、0 < x < eで増加し、x = 1で軸を横切り、x = eで頂上に達します。その後は減少し、e³ᐟ²を過ぎると下に凸です。代入するとg(e) = 1/e、g(e³ᐟ²) = (3/2)/e³ᐟ²で、求めた点は元の式に戻ります。x = 0に点を打たないことと、右側の水平漸近線に有限の位置で接すると決めつけないことが描画上の分かれ目です。

発展例題：停留点が2つある指数の積

関数h(x) = x² e⁻ˣについて、極値、変曲点、軸との交点と両端の極限を求め、概形を描いてください。変曲点は根号とeを用いた正確な座標で表します。

hは全実数で2回微分可能です。積を整理すると、符号の変わる場所を見つけやすくなります。

h′(x) = 2x e⁻ˣ - x² e⁻ˣ
      = x(2 - x)e⁻ˣ
h″(x) = (2 - 2x)e⁻ˣ - x(2 - x)e⁻ˣ
       = (x² - 4x + 2)e⁻ˣ
       = ((x - 2)² - 2)e⁻ˣ

正の指数因子を除いてh′の符号を調べます。x < 0で負、0 < x < 2で正、x > 2で負です。したがってx = 0で極小値0、x = 2で極大値4/e²をとります。原点を通りますが、その左右でh(x)は正なので、x軸を横切らずに接します。

h″ = 0の解はx = 2 − √2とx = 2 + √2です。2次式の係数が正なので、その2点の外側でh″ > 0、間でh″ < 0です。どちらでも符号が変わり、変曲点になります。a = 2 − √2、b = 2 + √2と置くと、座標はそれぞれ(a, a² e⁻ᵃ)、(b, b² e⁻ᵇ)です。a > 0、a < 2 < bなので、点の並びは極小点、左の変曲点、極大点、右の変曲点です。

x → -∞ : x² → ∞、e⁻ˣ → ∞、よってh(x) → ∞
x → ∞  : x²/eˣ → 0、よってh(x) → 0

右側ではh(x) > 0なので、y = 0に上側から近づきます。左から下がって原点に接し、上がりながらaで凹凸を変え、x = 2で頂上に達します。その後は下がりながらbで凹凸を変えて、x軸へ近づきます。h(0) = 0、h(2) = 4/e²を元の式で確認し、aとbもh″の2次式に代入すると0です。aは増加区間、bは減少区間にあるので、どちらも頂上ではありません。

極小点と極大点がともにある場合、変曲点の個数を極値の個数から推測することはできません。それぞれ別の導関数の符号で調べ、定義域の全区間を埋めてから図に移します。

誤答をほどく：変曲点を頂上にしない

基本例題で「f″(2) = 0だから(2, 2/e²)が極大点」とする答案を考えます。f″ = 0からわかるのは凹凸が変わる候補ということまでです。極大点を判定するには、その点の両側で増加から減少に変わるかを、f′で確かめなければなりません。

実際には、x = 2の近くでx > 1ですからf′(x) = (1 − x)e⁻ˣ < 0です。図3のように、変曲点の前後はどちらも下降しています。f″は負から正へ変わるので、下降が続いたまま曲がり方が変わります。頂上に当たるのはf′が正から負に変わるx = 1であり、f′(1) = 0と符号変化の両方を根拠にします。

もう1つの失敗は、端の極限を点の座標として書くことです。たとえば標準例題ではx → 0の正の側でg(x) → -∞ですが、(0, -∞)という点があるわけではありません。定義域にないx = 0は直線として示し、曲線をそこへ向けて伸ばします。計算で得た値が「実際にとる値」なのか「近づく先」なのかを区別すると、描き直す場所がわかります。

練習：5つの曲線を自分で組み立てる

以下のlogは自然対数です。各問で定義域、極値、変曲点、端の極限を調べ、概形を描いてください。極値と変曲点の座標はeを含む正確な式で表し、極値や変曲点が存在しない場合はその旨を答えます。

1. p(x) = (x + 2)e⁻ˣ。
2. q(x) = (log x)/x²。
3. r(x) = x eˣ。
4. s(x) = x² log x。
5. t(x) = (log x)/√x。

解くときは、先に各関数の定義域を記し、各端を別々に調べてください。導関数の分母や指数因子が正かどうかも、定義域の上で説明します。解答の値をそのまま点にする前に、元の式へ代入して位置を照合しましょう。

練習1の答え

定義域は全実数です。積を微分して整理すると、

p′(x) = e⁻ˣ - (x + 2)e⁻ˣ
      = -(x + 1)e⁻ˣ
p″(x) = (x + 1)e⁻ˣ - e⁻ˣ
       = x e⁻ˣ

p′はx = -1で正から負へ、p″はx = 0で負から正へ変わります。極大値はp(-1) = e、変曲点は(0, 2)です。x → -∞でp(x) → -∞、x → ∞でp(x) → 0です。軸との交点は(-2, 0)と(0, 2)で、右端は正の側から近づきます。p′(0) = -1なので変曲点は下降中です。各座標を元の式へ代入すれば、表示した高さが得られます。

練習2の答え

定義域はx > 0です。分母は正なので、次の分子で符号を決めます。

q′(x) = (1 - 2 log x)/x³
q″(x) = (6 log x - 5)/x⁴

q′はx = √eで正から負へ変わり、極大値は1/(2e)です。q″はx = eの5/6乗で負から正へ変わります。この数をcと置くと、変曲点は(c, (5/6)/c²)です。5/6 > 1/2なのでc > √eであり、変曲点は頂上の右です。x → 0の正の側でq(x) → -∞、x → ∞でq(x) → 0です。q(1) = 0を通り、右端では正の側からx軸に近づきます。log c = 5/6を元の式に戻せば、変曲点の縦座標を確認できます。

練習3の答え

定義域は全実数です。eˣは正ですから、符号は括弧の中で判定します。

r′(x) = (x + 1)eˣ
r″(x) = (x + 2)eˣ

r′はx = -1で負から正へ変わり、極小値は-1/eです。r″はx = -2で負から正へ変わるので、変曲点は(-2, -2/e²)です。x → -∞でr(x) → 0、x → ∞でr(x) → ∞です。原点を通り、左端では負の側からx軸に近づきます。r(-1)とr(-2)を元の式に戻すと、極小値と変曲点の高さがそれぞれ一致します。変曲点ではr′(-2) < 0なので下降中です。

練習4の答え

定義域はx > 0です。xの正負を定義域の中で確かめてから判定します。

s′(x) = x(2 log x + 1)
s″(x) = 2 log x + 3

s′はx = 1/√eで負から正へ変わり、極小値は-1/(2e)です。s″はx = 1/e³ᐟ²で負から正へ変わるため、変曲点は(1/e³ᐟ², -3/(2e³))です。変曲点は極小点より左にあります。x → 0の正の側でs(x) → 0、x → ∞でs(x) → ∞です。x = 0は定義域外なので原点に点を打ちません。s(1) = 0からx軸を横切り、求めた2点の座標も元の式への代入で確かめられます。

練習5の答え

定義域はx > 0です。正の分母を保ったまま導関数をまとめます。

t′(x) = (2 - log x)/(2x√x)
t″(x) = (3 log x - 8)/(4x²√x)

t′はx = e²で正から負へ変わり、極大値は2/eです。t″はx = eの8/3乗で負から正へ変わります。この数をdと置けば、変曲点は(d, (8/3)/√d)です。d > e²なので、極大点の後で凹凸が変わります。x → 0の正の側ではt(x) → -∞、x → ∞ではt(x) → 0です。t(1) = 0であり、x > 1で正のまま右端のx軸へ近づきます。log d = 8/3と√(e²) = eを代入すると、各点の高さが元の式と一致します。

描き終える前の要点

• 定義域を先に決め、端には片側から近づく場合もあります。
• f′の符号変化で増減と極値を判定します。
• f″の符号変化で凹凸と変曲点を判定します。
• 座標と端の極限を元の式に戻し、点の並びを図に移します。

どこで線がずれたかを診断する

頂上が変曲点と重なった答案なら、まずそれぞれの前後のf′の符号を問い直します。下降中の点を頂上にしたことが見つかれば、座標を消すのではなく、その点を通る線の向きを直します。対数の曲線がx = 0を越えている場合は、微分計算より前に真数条件へ戻ります。

個別に説明を確かめるときは「この点で何の符号が変わったか」「端の直線に近づくのはどちら側からか」を順に言葉にしてみてください。答えが曖昧なら、該当区間に実際のxを1つ選び、符号表と元の関数の符号を照合します。変曲点を通る線の向きは、増減と凹凸を別に調べることで決まります。