高校数学III 区間上の最大最小—端点と内点の候補を比べて存在まで答える｜武蔵野個別指導塾

閉区間では両端と停留点の値を比べ、開区間では境界値を取る点を探すことで、最大・最小の存在を判断できます。

よくあるのは、理系高3の演習で、開区間の端に近づけたときの極限値をそのまま最小値として答える場面です。値がいくらでも近づくことと、実際にその値を取ることは違います。例えば右へ進むほど値が大きい関数なら、左端を含むかどうかが最小値の有無を左右します。増減表を作った後、端の記号と実現する点まで戻って答えましょう。

どこで答えが分かれるか

区間上の最大最小には、まず閉区間で端点と内部の候補を比較する型があります。内部の極小値が全体の最小値とは限りません。反対側の端点の値がそれより小さいこともあるからです。どの点で値を取るかも添えると、候補の取り違えを防げます。

次に、開区間や半開区間で端の値が取れるかを調べる型があります。端に近づけた極限が有限でも、その端を含まなければ代入した値を候補に入れることはできません。ただし同じ値を別の内部の点で取れば、その値が最大値または最小値になることはあります。端を含まないという事実だけで存在しないと決めず、区間全体で調べます。

さらに、最大値がないときに上限を求める型があります。上限は値の集まりの境界を表します。実現の有無を答える問いと、境界を求める問いを混ぜないことが出発点です。

候補と境界を分ける

関数 f の定義された区間のすべての x に対して f(x) ≤ f(c) となる点 c がその区間にあるとき、f(c) を最大値といいます。同様に、すべての x に対して f(c) ≤ f(x) となる点 c があるとき、f(c) を最小値といいます。どちらも比較に加え、値を取る点 c の存在が必要です。

値の集合の上界とは、集合のどの値以上でもある数です。上界のうち最小の数を上限といいます。下界はどの値以下でもある数で、下界のうち最大の数が下限です。最大値があればそれが上限、最小値があればそれが下限です。逆には、上限や下限が値として取られるとは限りません。

図1のように、値域が 1 < y ≤ 4 の場合を考えます。4 は実際に取るので最大値であり上限です。1 は下限ですが取らないので最小値ではありません。下限より大きい数を最小値とすることもできません。その数と 1 の間にも値があるためです。

図1では白丸が含まれない境界、塗り丸が含まれる境界を表します。端点の丸の区別は見た目の約束だけではなく、最大・最小の定義にある「点がある」という条件に対応します。

閉区間 [a, b] で連続な関数は、その区間で最大値と最小値を取ります。閉区間という条件と連続性を確かめてから使います。内部で微分可能なら、内部の最大・最小を与える点では導関数が 0 です。したがって端点と導関数の零点を比べられます。微分できない内部の点があれば、それも候補に加えます。端点は片側にしか区間がないので、導関数が 0 でなくても候補です。

開区間では上の存在定理をそのまま使えません。端の片側極限と内部の増減を調べ、境界値を取る点があるかを確認します。半開区間では、含む端点は代入して比較し、含まない端は片側極限として扱います。極限が無限大なら有限の上限または下限がない場合もあります。

基本例題：閉区間の両端を残す

問題。f(x) = x² − 4x + 5 を閉区間 0 ≤ x ≤ 3 で考えます。最大値と最小値、およびそれぞれを与える x を整数で求めてください。

f は多項式なので閉区間で連続であり、内部でも微分可能です。最大値と最小値の存在が保証され、端点と内部の導関数の零点を比較できます。

f′(x) = 2x - 4
       = 2(x - 2)
f′(x) = 0 のとき x = 2

2 は 0 と 3 の間にあります。導関数は 0 ≤ x < 2 で負、2 < x ≤ 3 で正ですから、f は 2 まで減少し、その後増加します。端点と内部の候補の値を別々に計算します。

f(0) = 0² - 4・0 + 5 = 5
f(2) = 2² - 4・2 + 5 = 1
f(3) = 3² - 4・3 + 5 = 2

比較すると、最大値は 5 で x = 0、最小値は 1 で x = 2 です。x = 3 の値も候補でしたが、5 と 1 の間にあります。元の式に 0 と 2 を戻すとそれぞれ 5 と 1 になり、どちらの点も指定された区間に含まれます。

図2のように、内部で最も低い点を見つけても、最大値の判定には両端の高さが必要です。極小点から離れる方向に増加することだけでは、左右どちらの端が高いかは決まりません。今回の 5 と 2 の比較が最後の一手です。

標準例題：開いた端と内部の点

問題。g(x) = (x − 1)² を開区間 0 < x < 2 で考えます。最大値と最小値の有無を調べ、存在する値とそのときの x を整数で答えてください。また上限と下限を整数で求めてください。

g は区間内で連続かつ微分可能です。ただし区間が閉じていないので、閉区間での存在定理を直接使えません。導関数の符号と端の極限を調べます。

g′(x) = 2(x - 1)
g′(x) = 0 のとき x = 1
g(1) = 0
lim[x→0+] g(x) = 1
lim[x→2-] g(x) = 1

0 < x < 1 では g′(x) < 0、1 < x < 2 では g′(x) > 0 です。したがって x = 1 で最小値 0 を取ります。実際に 1 は区間内で、元の式に代入すると 0 です。一方、端の値 1 は極限として現れますが、端点 0 と 2 は区間に含まれません。

さらに 0 < x < 2 なら -1 < x − 1 < 1 なので、0 ≤ (x − 1)² < 1 です。よって 1 は上界であり、端に近づく値は 1 にいくらでも近づきます。1 より小さい数は上界にならないので、上限は 1 です。1 を取る点は区間内にないため、最大値はありません。下限は実際に取る 0 です。

端の極限を調べるだけでは、同じ値を内部で取る可能性を排除できません。この例では二乗の不等式によって、区間内のどの点でも 1 未満と示しました。最大値がない理由は「端を含まない」ことに加えて「内部でも 1 を取らない」ことです。

発展例題：半開区間で境界値と実現点を照合

問題。h(x) = x³ − 3x を半開区間 -2 < x ≤ 2 で考えます。最大値と最小値の有無を調べ、存在する値とすべての x を整数で答えてください。上限と下限も整数で求めてください。

h は多項式なので区間内で連続かつ微分可能です。左端は含まれず、右端は含まれます。内部の増減と両端の値を分けて調べます。

h′(x) = 3x² - 3
       = 3(x - 1)(x + 1)
h′(x) = 0 のとき x = -1, 1
h(-1) = (-1)³ - 3(-1) = 2
h(1) = 1³ - 3・1 = -2
h(2) = 2³ - 3・2 = 2
lim[x→-2+] h(x) = (-2)³ - 3(-2) = -2

導関数は -2 < x < -1 で正、-1 < x < 1 で負、1 < x ≤ 2 で正です。左端から -1 までは -2 に近い値から 2 へ増え、-1 から 1 までは 2 から -2 へ減り、1 から 2 までは -2 から 2 へ増えます。よって最大値は 2、最小値は -2 です。

左端の極限 -2 は端点では取れませんが、内部の x = 1 で取ります。右端の x = 2 も区間に含まれ、最大値 2 を取ります。すべての実現点は、元の式に戻して因数分解すると確認できます。

h(x) - 2 = (x - 2)(x + 1)²
h(x) + 2 = (x + 2)(x - 1)²

h(x) = 2 の解は x = -1, 2 で、どちらも区間内です。h(x) = -2 の解は x = -2, 1 ですが、-2 は除外されるので x = 1 です。したがって上限 2 と下限 -2 はどちらも実際に取られます。端の極限が実現しない点に由来していても、別の点で同じ値を取る場合があります。

誤答を直す：近づく値は取る値か

誤答の例として、0 < x ≤ 3 で p(x) = x + 2 の最小値を 2 とする答案を考えます。左端に近づけると p(x) は 2 に近づくので、計算された極限自体は正しいです。しかし p(x) = 2 を解くと x = 0 であり、指定された区間に入りません。

図3のように、左端を白丸として区別します。区間内では x > 0 なので p(x) > 2 です。どの x に対しても x/2 は同じ区間内で、p(x/2) < p(x) となります。したがって最小値はありません。2 は下界で、端に近づく値は 2 にいくらでも近いので下限です。

図3の右端は含まれ、p(3) = 5 です。p′(x) = 1 > 0 より増加するため、最大値は 5 で x = 3 です。修正するときは、極限値を消すのではなく「下限 2、最小値なし」と役割を付け直します。

練習問題

次の5問は、最大値・最小値の有無と、存在する場合は値およびそれを与えるすべての x を求めてください。値と x は整数または分数で正確に表します。問2から問5は上限と下限も求めてください。

1. f(x) = x² − 6x + 10、1 ≤ x ≤ 5。
2. f(x) = 2x − 1、-1 < x < 2。
3. f(x) = (x + 2)²、-2 ≤ x < 1。
4. f(x) = x² − 2x、0 < x ≤ 3。
5. f(x) = 1/x、0 < x ≤ 4。有限の上限または下限がない場合はその旨も答えます。

練習問題の答えと道筋

問1

多項式は閉区間で連続です。f′(x) = 2x − 6 = 2(x − 3) なので、内部の候補は x = 3 です。端点と比べます。

f(1) = 1 - 6 + 10 = 5
f(3) = 9 - 18 + 10 = 1
f(5) = 25 - 30 + 10 = 5

最大値は 5 で x = 1, 5、最小値は 1 で x = 3 です。導関数は 3 の左で負、右で正です。両端の値が同じなので、最大値を与える点は両方書きます。3 点はいずれも元の閉区間に含まれます。

問2

f′(x) = 2 > 0 なので、区間内で単調に増加します。左端に近づくと -3、右端に近づくと 3 に近づきますが、どちらの端も含みません。実際に -3 < 2x − 1 < 3 です。

最大値も最小値もありません。上限は 3、下限は -3 です。端に十分近い区間内の点を取れば、それぞれ 3 や -3 にいくらでも近づくので、より狭い上下の境界にはできません。式を -3 または 3 に等しいと置けば x = -1 または 2 となり、どちらも除外されています。

問3

f′(x) = 2(x + 2) であり、-2 < x < 1 では正です。含まれる左端で f(-2) = 0 ですから最小値は 0、x = -2 です。右端に近づくと値は 9 に近づきます。

-2 ≤ x < 1 では 0 ≤ x + 2 < 3 より 0 ≤ f(x) < 9 です。最大値はなく、上限は 9、下限は 0 です。9 を取るには x + 2 = 3 または -3 ですが、それぞれ x = 1, -5 となり、どちらも指定区間にはありません。

問4

f′(x) = 2x − 2 = 2(x − 1) です。0 < x < 1 で減少し、1 < x ≤ 3 で増加します。内点で f(1) = -1、含まれる右端で f(3) = 3、左端の右側極限は 0 です。

したがって最小値は -1 で x = 1、最大値は 3 で x = 3 です。上限は 3、下限は -1 です。左端が開いていても、内部と右端に両方の値を取る点があります。元の式に代入すると 1 − 2 = -1、9 − 6 = 3 と確かめられます。

問5

正の x で f′(x) = -1/x² < 0 です。右端まで減少するため最小値は 1/4 で x = 4、下限も 1/4 です。4 は区間に含まれ、1/4 を元の式で取ります。

x が正のまま 0 に近づくと 1/x は限りなく大きくなります。したがって最大値はなく、有限の上限もありません。例えば任意の正の数 M に対し、0 < x < min(4, 1/M) と取れば 1/x > M です。端の極限が有限とは限らない点にも注意します。

覚えておくこと

閉区間の連続関数では最大値と最小値が存在します。
端点、内部の零点、微分できない点を候補にします。
開いた端は極限を調べ、その値を取る点を別に探します。
上限・下限は境界であり、実現すれば最大値・最小値です。

つまずきの見分け方

端の極限を書いた後で手が止まるなら、「その値に等しい式を解くと、許される x は残るか」を問い直します。候補が複数あるときは、候補点の一覧と元の関数値を別々に書き、区間外の点には線を引きます。個別指導では、白丸の端を代入した値と内点で実際に取る値を指して、その違いを言葉にできるか確かめます。

増減表の矢印は大小の順序を示しますが、白丸を塗り丸に変えることはできません。境界へ近づく過程と、その値を実現する点を別々に確認すれば、存在まで答えられます。