高校数学III 動く区間の最大最小—区間端と極値点の位置関係で場合分けする｜武蔵野個別指導塾

動く閉区間に極値点が入る条件と両端の値が逆転する条件を別に求め、境界で式が一致するかまで確かめます。

よくあるのは、理系高3の演習で、極値点が区間の外に出ても最大値や最小値の候補に残す場面です。関数の増減が正しく調べられていても、動く区間に入らない点の値を比べれば、実際には取れない値が答えに混ざります。逆に、区間が極値点をまたぐときは、両端の位置だけでは最大値が決まりません。区間を一度固定したつもりで、候補の採否と値の比較を順に進めます。

学習指導要領に示された数学IIIの導関数による増減と極値を土台に、ここでは動く閉区間上の最大値・最小値を扱います。

区間が動く問題の見取り図

第一の型は、谷や山が1つある関数の上を、長さ一定の区間が横に動く問題です。区間が谷の左、谷を含む、谷の右のどこにあるかで、最小値を取る場所が変わります。最大値は谷を含む場合にも両端のどちらかですから、端点の値を別に比較します。

第二の型は、山と谷の両方がある関数を扱う問題です。極大点や極小点が区間に入る条件をそれぞれ解き、各場合で実際に残る候補を比べます。端点同士が等しくなる位置は、極値点が端に重なる位置と一致するとは限りません。場合分けの境界を増減表から見つけた後、値の差からもう一度探します。

第三の型は、最大値そのものに条件を課し、パラメータを求める問題です。最大値の式が場合ごとに違うので、各式を解いた後、その解が元の場合の範囲に入るか確かめます。式を解いて得た数が範囲の外なら、その式を使う前提が崩れています。

候補に入る点と値の大小

閉区間 [a, b] 上で連続な関数は最大値と最小値を取ります。内部で微分可能なら、内点で最大値または最小値を取る点では導関数が0です。したがって、端点 a、b と、a < x < b を満たす導関数の零点における値を比べれば十分です。端点に零点が重なったときは、その点を端点として数えればよく、候補を重複して書く必要はありません。

区間が [t, t + L]、L > 0 と動くとします。固定された停留点 c が区間に入る条件は t ≤ c ≤ t + L、すなわち c − L ≤ t ≤ c です。この2つの等号は区間の右端または左端が c に重なる場合です。図1のように、点が区間の外にあれば f(c) はその区間で取る値として比較できません。

図1の区間は同じ長さで、中央の区間だけが c を含んでいます。端点が c に一致する境界も含めて考え、そこで前後の式が同じ値を与えるか確かめます。これは場合分けの抜けを探す手がかりですが、式が一致することだけで区間全体の大小は証明できません。

端点値の比較には差 f(t + L) − f(t) を使います。差が正なら右端の値が大きく、負なら左端の値が大きいことになります。この差が0になる t は値の比較の境界です。停留点が区間に出入りする境界とは別に求め、それぞれの位置を数直線に並べます。

基本例題：谷を横切る区間

関数 f(x) = (x − 2)² + 1 を、実数 t に対する区間 [t, t + 4] で考えます。最大値と最小値を t の式で表してください。答えは場合分けした正確な式とします。

f は全実数で連続かつ微分可能です。導関数とその符号は次のようになります。

f′(x) = 2(x - 2)
x < 2 で f′(x) < 0
x > 2 で f′(x) > 0

よって x = 2 の左で減少し、右で増加します。谷が区間に入る条件は次の通りです。

t ≤ 2 ≤ t + 4
-2 ≤ t ≤ 2

したがって最小値は、t < -2 では右端、-2 ≤ t ≤ 2 では谷、t > 2 では左端で取ります。端が谷に重なる等号では対応する式が同じになるため、答えは次のように書けます。

t ≤ -2 のとき 最小値 = (t + 2)² + 1
-2 ≤ t ≤ 2 のとき 最小値 = 1
t ≥ 2 のとき 最小値 = (t - 2)² + 1

最大値は谷を含む場合も含めて端点で取ります。図2のように左右の端から谷までの距離を比較することもできますが、値の差で確かめます。

f(t + 4) - f(t) = (t + 2)² + 1 - {(t - 2)² + 1}
= 8t

よって t ≤ 0 のとき最大値は (t − 2)² + 1、t ≥ 0 のとき最大値は (t + 2)² + 1 です。t = 0 では両端が同じ最大値5を取ります。図2では区間 [0, 4] の両端が同じ高さで、谷はその内側にあります。

例えば t = -3 なら区間は [-3, 1] で、谷の x = 2 は区間外です。関数は区間全体で減少し、最小値は右端の f(1) = 2 です。谷の値1を答えにすると、その区間のどの x でも実現できません。一方 t = 1 なら区間 [1, 5] に谷が入り、最小値1は x = 2 で実現します。最大値は f(5) = 10 であり、元の区間の右端で取ります。

標準例題：山と谷を通る

関数 g(x) = x³ − 3x を区間 [t, t + 2] で考えます。実数 t に対して最大値を求め、正確な式で場合分けしてください。

多項式 g は閉区間で連続、内部で微分可能です。まず増減と候補を調べます。

g′(x) = 3x² - 3
= 3(x + 1)(x - 1)

x < -1 と x > 1 で増加し、-1 < x < 1 で減少します。x = -1 は極大点、x = 1 は極小点です。最大値の候補は端点と、区間内にある場合の x = -1 です。x = 1 は極小点なので内点で最大にはなりませんが、端点に重なる場合は端点として確認します。

極大点を含む条件は t ≤ -1 ≤ t + 2、すなわち -3 ≤ t ≤ -1 です。t < -3 では区間全体が増加部分にあり右端が最大、-3 ≤ t ≤ -1 では左端から極大点へ増加し、その後は減少するので最大値は g(-1) = 2 です。t > -1 では極大点が区間外にあり、最大値は両端の大きい方です。

g(t + 2) - g(t) = (t + 2)³ - 3(t + 2) - (t³ - 3t)
= 6t² + 12t + 2
= 6(t + 1)² - 4

この差が0となるのは t = -1 ± √6/3 です。今比較している範囲 t > -1 に入るのは -1 + √6/3 です。その手前では差が負、その後では正です。以上をまとめると、最大値は次の通りです。

t ≤ -3：g(t + 2)
-3 ≤ t ≤ -1：2
-1 ≤ t ≤ -1 + √6/3：g(t)
t ≥ -1 + √6/3：g(t + 2)

等号で隣の式が一致します。特に最後の境界では両端が同じ最大値を取ります。例えば t = 0 では区間は [0, 2]、両端値は0と2です。区間内の x = 1 では -2 なので、最大値2は右端 x = 2 で実現します。区間外の g(-1) = 2 が偶然同じ値でも、区間内の点として採用したわけではありません。

ここでは極大点を含む範囲をまず求め、含まない範囲で端点値の比較をしました。差の方程式のもう一方の解は、極大点を含む範囲にあるため、その値だけから最大を両端と結論することはできません。

発展例題：最大値から区間を探す

h(x) = (x − 1)² を区間 [t, t + 2] で考えます。最大値が4となる実数 t をすべて求め、正確な値で答えてください。

h は連続かつ微分可能で、h′(x) = 2(x − 1) です。x = 1 の左で減少、右で増加するため、閉区間の最大値は端点の大きい方です。区間が谷を含まない場合も、単調性により同じ候補に絞れます。

h(t + 2) - h(t) = (t + 1)² - (t - 1)²
= 4t

t ≤ 0 では最大値は (t − 1)²、t ≥ 0 では最大値は (t + 1)² です。それぞれの式を4に等しく置き、その場合の条件へ戻します。

t ≤ 0：(t - 1)² = 4
 t - 1 = 2 または -2
 t = 3 または -1
 条件を満たすのは t = -1

t ≥ 0：(t + 1)² = 4
 t + 1 = 2 または -2
 t = 1 または -3
 条件を満たすのは t = 1

答えは t = -1, 1 です。t = -1 なら区間 [-1, 1] の左端で h(-1) = 4、右端で h(1) = 0 です。t = 1 なら区間 [1, 3] の右端で h(3) = 4、左端で h(1) = 0 です。増減から区間内に4を超える値はなく、元の最大値の条件に戻しても成立します。

条件を無視して t = 3 を残すと、区間 [3, 5] の左端の値は4ですが、右端の値は16です。4を取る点があることと、4が最大値であることは別です。同様に t = -3 では区間 [-3, -1] の左端の値が16となります。両方とも方程式の解ではあっても、最大値の条件には失敗します。

誤答を区間に戻して直す

基本例題で「f′(2) = 0 だから、どの t でも最小値は f(2) = 1」とする答えを考えます。導関数の計算は正しいものの、x = 2 が指定区間にあるかを確かめていません。t = 3 なら区間は [3, 7] で、2は左端より左にあります。区間上では f は増加するため、最小値は f(3) = 2 です。

図3のように、区間外の点と区間の端を数直線に置けば、採用できない理由が見えます。修正するときは、まず t ≤ 2 ≤ t + 4 を解き、谷が区間に入る場合に限って値1を候補にします。入らないときは区間全体の増減を見て端点を選びます。

別の誤りは、谷が区間に入る境界 -2 と 2 だけで最大値も場合分けすることです。最大値は両端の値が等しい t = 0 を境に入れ替わります。候補が増減する条件と、候補同士の勝敗が変わる条件を分ければ、この境界を落とさずに済みます。

練習問題

いずれも t は実数です。最大値や最小値は正確な式で場合分けし、条件を求める問題では正確な値で答えてください。

1. p(x) = (x − 3)² を [t, t + 2] で考えます。最小値を求めてください。
2. q(x) = (x + 2)² + 3 を [t, t + 6] で考えます。最大値を求めてください。
3. r(x) = x³ − 12x を [t, t + 1] で考えます。極大点が区間に含まれる t の範囲と、そのときの最大値を求めてください。
4. s(x) = (x + 1)² を [t, t + 4] で考えます。最大値が9となる t を求めてください。
5. u(x) = x² を [t, t + 3] で考えます。最小値が1となる t を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. p′(x) = 2(x − 3) です。p は連続かつ微分可能で、3の左で減少、右で増加します。3が区間に入る条件は t ≤ 3 ≤ t + 2、すなわち 1 ≤ t ≤ 3 です。

t ≤ 1：最小値 = (t - 1)²
1 ≤ t ≤ 3：最小値 = 0
t ≥ 3：最小値 = (t - 3)²

各式の値はそれぞれ右端、x = 3、左端で実現します。t = 1, 3 では端点が3に重なり、隣の式はいずれも0です。範囲外の谷を使わず、元の区間で取れる点を示せます。

2. q′(x) = 2(x + 2) なので、連続かつ微分可能な q は x = -2 の左で減少、右で増加します。最大値は端点の大きい方で、差は次の通りです。

q(t + 6) - q(t) = (t + 8)² - (t + 2)²
= 12(t + 5)

よって t ≤ -5 では最大値 (t + 2)² + 3、t ≥ -5 では最大値 (t + 8)² + 3 です。t = -5 では区間 [-5, 1] の両端が谷から3離れ、どちらの値も12です。区間の途中にはそれを超える値がありません。

3. r′(x) = 3(x − 2)(x + 2) です。r は連続かつ微分可能で、x = -2 で増加から減少に変わるため極大です。

t ≤ -2 ≤ t + 1
-3 ≤ t ≤ -2
r(-2) = -8 + 24
= 16

この範囲では区間が -2 を含み、右端は高くても -1 です。区間の左側では増加、右側では減少するので最大値は16です。境界 t = -3 では右端、t = -2 では左端が -2 となり、元の区間で16を取ります。

4. s は連続かつ微分可能で、x = -1 を谷とします。両端値の差は次のようになります。

s(t + 4) - s(t) = (t + 5)² - (t + 1)²
= 8(t + 3)

したがって t ≤ -3 では (t + 1)² = 9 を解き、条件を満たす t = -4 を得ます。t ≥ -3 では (t + 5)² = 9 を解き、条件を満たす t = -2 を得ます。答えは t = -4, -2 です。区間 [-4, 0] では左端の値が9、区間 [-2, 2] では右端の値が9で、いずれも谷から最も遠い端点です。

5. u は連続かつ微分可能で、u′(x) = 2x です。0を区間に含むと最小値は0なので、求める区間は0の左か右にあります。左では右端、右では左端で最小となります。

t + 3 < 0 のとき (t + 3)² = 1 より t = -4
t > 0 のとき t² = 1 より t = 1

答えは t = -4, 1 です。区間 [-4, -1] では右端の値が1、区間 [1, 4] では左端の値が1です。もう一方の平方根はそれぞれ区間の位置の条件を満たさず、採用できません。

覚えておくこと

閉区間で連続なら最大値と最小値は存在します。 内点の候補は導関数が0となる点のうち、区間内の点です。 端点と候補の値を比べ、実際に取る場所も確かめます。 点の出入りと端点値の逆転は別の境界です。 等号で隣の式と元の区間を照合します。

つまずきを見分ける問い

答えに極値が残ったら、その点は今の t で区間に入るかを不等式にして問い直します。入らない場合には、区間全体が増加側か減少側かを指でたどり、どちらの端で値を取るかを確認します。

端点を比較したのに答えが合わない場合は、差を計算した後に「右端から左端を引いたか」を見直します。差が負なら左端が大きく、0なら同じ値です。個別に式を確かめるときも、境界に具体的な t を代入し、区間と値を一緒に書くと、候補の採否と大小の間違いを切り分けられます。動く区間の答えは、実際にその区間で取る値から決まります。