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高校数学II 対数の大小比較—底と真数のどちらをそろえるか選んで大小を判定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 指数関数と対数関数を掘り下げる

底が1未満の対数の符号を確かめ、0や1との比較と共通の底への変換を使い、近似値に頼らず大小を判断します。

よくあるのは、異なる底の対数を比べる途中で、高2が対数値の符号を見ずに分母を払うという場面です。分母が正なら不等号の向きは保たれますが、負なら逆になります。式の見た目が複雑でも、底と真数の位置を1と比べるだけで、計算前に対数の符号が決まることがあります。

比較の目的は、近い小数を出すことではありません。各値が0や1のどちら側にあるか、同じ尺度に直せるかを順に調べると、正確な不等号を根拠つきで書けます。

比較の入口を選ぶ

問いの形は大きく3つあります。第1は底が同じで真数が異なる形です。底が1より大きいときと、0より大きく1より小さいときでは、真数の大小に対する対数の順序が逆になります。第2は真数が同じで底が異なる形です。逆数関係を使って真数と底を入れ替えるか、底を変換して分母を比べます。第3は底も真数も異なる形です。先に0や1との位置関係を調べ、それでも決まらなければ共通の底に直します。

必要なのは、正で1でない底の指数関数の増減と、対数が指数を表すという定義です。指数法則と、正負を考慮した不等式の計算も使います。対数の方程式を広く解くことや、小数による近似はここでは扱いません。

学習範囲として、指数関数の変化と対数の意味・性質、対数関数の変化を使います。式を動かす前に条件を見る習慣が、大小の判断を支えます。

まず符号、次にそろえるもの

底aがa>0、a≠1で、真数MがM>0のとき、aのp乗がMであることとp=logₐ Mであることは同じです。真数が0以下なら、この範囲では対数は定義されません。また底が1ならどの指数でも1になるため、指数を一意に決められません。

底が1より大きいとき、指数が大きくなると累乗の値も大きくなります。したがって同じ底の対数では、真数が大きい方の値が大きくなります。一方、0<a<1では指数が大きくなると累乗の値は小さくなるので、同じ底の対数では真数の大小と対数値の大小が逆になります。

図1のように、真数1に対する対数値は底にかかわらず0です。底が1より大きいとき、真数が1より大きければ正、1より小さければ負です。底が1より小さいときには、それぞれの符号が逆になります。真数が1のときは、どちらの場合も0です。

図1の表は、異なる底でも使える最初のふるいです。片方が正で片方が負なら、そこで比較は終わります。両方が正または両方が負なら、そこで初めて次の手段を選びます。

1との比較にも定義が使えます。a>1なら、M>aのときlogₐ M>1です。0<a<1なら、M1です。なぜならaの1乗はaであり、その後の増減が底の範囲で変わるからです。真数が底そのものなら対数値は1です。

正で1でないa、bに対して、底の変換公式は次の形です。共通の底cも正で1でないとします。

logₐ b = (logᶜ b)/(logᶜ a)
logᵦ a = (logᶜ a)/(logᶜ b)

ここでlogᶜは底cの対数を表します。a≠1、b≠1なので各分母は0ではありません。よって2つの対数は互いに逆数です。ただし逆数を取る操作は大小をそのまま保つとは限りません。正の数どうしでも、0<u1/vです。負の数どうしでも同様に向きが逆になります。符号が異なるときはそれぞれの位置を直接調べます。

底の変換後に分母を払うなら、その分母が正か負かを先に決めます。共通の底を1より大きく選べば、底となる数が1より大きい場合は分母が正、1より小さい場合は負です。異なる底の式を同じ形にした後も、この符号の確認は省けません。

比較が同じ底で終わる場合でも、底の位置は毎回確認します。例えば底が1より大きければ、指数0から1へ動くと累乗は1から底へ増えます。底が1より小さければ、同じ移動で1から底へ減ります。この2点を手がかりにすると、真数の順序を対数値の順序へ移す向きを判断できます。真数が等しいときは対数値も等しく、不等号に等号を含めるかどうかも元の条件に合わせます。

底が異なる場合に逆数関係を使うには、入れ替えた後も底が1ではないことが必要です。真数が1の対数は0ですが、これを逆数にすることはできません。例えばlog₂ 1=0は定義されても、底が1で真数が2の対数は定義されません。式の一方が書けることだけから、逆向きの式まで使えると考えないようにします。

共通の底への変換を選ぶときは、分母の符号を読みやすい底を選びます。底2にそろえる場合、変換前の底が1より小さいと分母は負です。分子が正でも商は負なので、分子だけの大小では結論を出せません。分母を含む式を整理し、負号を掛ける行を独立させれば、どの操作で順序が反転したか後から追えます。

基本例題：真数をそろえて逆数を見る

次の2つの数の大小を、不等号で答えてください。

A = log₂ 5
B = log₅ 2

底2と5は正で1ではなく、真数5と2は正です。どちらも定義されます。Aは2の何乗が5かを表します。2の1乗は2、2の2乗は4であり、5は4より大きいのでA>2です。一方Bは5の何乗が2かを表し、1<2<5なので0<B<1です。

2² = 4 < 5
A > 2
5⁰ = 1 < 2 < 5 = 5¹
0 < B < 1
したがって A > B

図2のように、0と1と2を目印にすると2つの位置が離れています。どちらも正だからといって、いきなり分母を払う必要はありません。

別の見方として逆数関係を使えます。A・B=1であり、A>2>1だからB=1/A<1です。元の問いへ戻しても、2を底にして5を得る指数は2より大きく、5を底にして2を得る指数は0と1の間です。順序は確かにA>Bです。

この例では1との比較が最短ですが、逆数関係が使える理由も確認しておきます。A=pと置くと2のp乗が5です。5の1/p乗は2になり、pは0ではないのでB=1/pです。逆数関係を単なる形の暗記にせず、指数の意味へ戻せます。

標準例題：底が異なり、符号も異なる

次の3つを小さい順に並べ、不等号で答えてください。

P = log₍₁/₃₎ 9
Q = log₄ 8
R = log₆ (1/6)

底はいずれも正で1ではなく、真数も正です。まずPは底が1未満で真数が1より大きいので負です。Qは底と真数がともに1より大きいため正です。Rは底が1より大きく真数が1未満なので負です。正のQは最後に置けますが、負のPとRはさらに比べます。

それぞれ指数の式に直します。Pについて、1/3の逆数は3です。

(1/3)⁻² = 9
P = -2
4の3/2乗 = 8
Q = 3/2
6⁻¹ = 1/6
R = -1

したがって、求める順序はP<R<Qです。Qの計算では、4の平方根が2で、その3乗が8であることを使いました。負の値は絶対値が大きい方が小さいため、PとRを逆にしないようにします。

元の定義へ戻すと、底1/3の-2乗が真数9、底4の3/2乗が真数8、底6の-1乗が真数1/6です。3つとも指定の真数に戻ります。値を最後まで求めなくても、P<-1、R=-1、Q>0と示せば順序は決まります。必要な比較だけで済ませる見方も大切です。

発展例題：共通の底へ直し、分母の符号を守る

次の2つの数の大小を、不等号で答えてください。

C = log₍₁/₂₎ 3
D = log₍₁/₄₎ 5

底1/2と1/4は正で1ではなく、真数3と5は正です。どちらも底が1より小さく真数が1より大きいため、CもDも負です。符号だけでは大小を決められません。ここでは共通の底を2に選び、真数側を整数の比較へ戻します。

C = (log₂ 3)/(log₂ (1/2))
C = -log₂ 3
D = (log₂ 5)/(log₂ (1/4))
D = -(1/2)log₂ 5

log₂ 3と(1/2)log₂ 5は正です。そこで正の2を掛けてから比較し、最後に負号を戻します。

2log₂ 3 = log₂ 9
log₂ 9 > log₂ 5
log₂ 3 > (1/2)log₂ 5
-log₂ 3 < -(1/2)log₂ 5
C < D

底2は1より大きいので、9>5から対数の向きが保たれます。最後に両辺へ-1を掛けたところで向きが逆になります。元の形に戻しても、Cは底1/2で真数3を作る負の指数、Dは底1/4で真数5を作る負の指数です。底2の正の累乗で比べた9と5の差が、負の対数値の順序を決めています。

別の判断もできます。両方に-2を掛けると大小が逆になるので、-2C=log₂ 9と-2D=log₂ 5を比べます。この方法でも、負数を掛けると不等号が逆になる理由を明記する必要があります。計算量だけでなく、符号を追いやすい方法を選んでください。

間違いの位置を見つける

発展例題で、次のように処理すると誤りです。

C = (log₂ 3)/(-1)
D = (log₂ 5)/(-2)
分母を払って log₂ 3 と log₂ 5/2 を比べ、C > D とする

原因は、両方の分母が負であることを無視して、分子の大小を元の対数値の大小と同じ向きに読んだことです。分母が違うため、同じ数を掛けているわけでもありません。図3のように、正の量に直した比較と、負号を戻した比較を分けます。

図3では、9>5に対応する正の対数の順序から、負号を戻してC<Dと結びます。符号を一度も書かずに矢印を飛ばすと、どこで向きが変わったのか点検できません。CとDがともに負であるという最初の観察とも照らし合わせます。

もう1つの失敗は、真数が1より大きければ対数値は必ず正だと決めることです。底が1/2、真数が4なら対数値は-2です。底が1未満では負の指数によって1より大きい値を作るためです。真数の条件を満たしていても、底が1である式は定義できない点も別に確認します。

自分で試す5問

各問は近似値を使わず、指定された不等号または範囲で答えてください。底と真数の条件も確認します。

log₃ 7とlog₃ 11を比較し、不等号で結んでください。
log₍₁/₅₎ 2とlog₍₁/₅₎ 4を比較し、不等号で結んでください。
log₇ 3とlog₃ 7を比較し、不等号で結んでください。
log₈ (1/2)とlog₍₁/₃₎ (1/9)を比較し、不等号で結んでください。
log₍₁/₃₎ 2とlog₍₁/₉₎ 5を比較し、不等号で結んでください。

解答と確かめ

底3は正で1より大きく、真数7と11は正です。7<11を底3の対数に移すと、log₃ 7<log₃ 11です。元の意味でも、増加する3の累乗で7から11へ上がるには指数を大きくする必要があります。
底1/5は正で1より小さく、真数2と4は正です。指数が増えると累乗が減るので、2<4からlog₍₁/₅₎ 2>log₍₁/₅₎ 4です。どちらも負ですが、真数4を作る指数の方が小さいことを元の式でも確認できます。
底と真数はいずれも正で、底は1ではありません。1<3<7なので、0<log₇ 3<1です。また7>3なのでlog₃ 7>1です。よってlog₇ 3<log₃ 7です。2つは互いに逆数で、前者が0と1の間という確認にも合います。
すべての底と真数は正で、底は1ではありません。8の-1/3乗は1/2なのでlog₈ (1/2)=-1/3です。さらに(1/3)²=1/9なのでlog₍₁/₃₎ (1/9)=2です。したがってlog₈ (1/2)<log₍₁/₃₎ (1/9)です。求めた指数を各底に戻すと、指定された2つの真数になります。
底1/3と1/9は正で1ではなく、真数2と5は正です。共通の底3へ直すと、前者は-log₃ 2、後者は-(1/2)log₃ 5です。2log₃ 2=log₃ 4<log₃ 5なので、log₃ 2<(1/2)log₃ 5です。負号を掛けて向きを逆にすると、log₍₁/₃₎ 2>log₍₁/₉₎ 5です。元の真数2と5をそれぞれ3の対数へ変えた比較は、4<5という整数の比較に戻ります。