高校数学II 対数関数のグラフ—定義域と増減を指数との座標対応から読み取る｜武蔵野個別指導塾

縦軸上に点を置けない理由を真数の条件から考え、指数関数の点の入替えで読み解く対数です。

よくあるのは、対数関数のグラフを描くときに、縦軸上にも点を打って曲線をつなぐ場面です。指数関数が縦軸と交わる記憶を持っていると、対数関数にも同じ点があるように見えるかもしれません。しかし、横座標を真数として読むと、縦軸上の横座標は0です。対数の式に0を入れられるかどうかから、図の描き方を見直しましょう。

点・増減・軸のどこを問われるか

対数関数では、まず底と真数の条件から、描ける場所を決めます。次にいくつかの点を求め、底が1より大きいか小さいかに応じて曲線の向きを判断します。最後に軸との交点や、近づいていく直線を読み取ると、点を並べただけの図から関数の形へ進めます。

問いの型は主に3つです。式から点と増減を決めて概形を描く型、指数関数の点から横座標と縦座標を入れ替える型、点や増減の情報から底を決める型です。いずれも「横の値が何を表すか」をはっきりさせると、同じ考えで処理できます。

必要な準備は、指数の値と対数の定義です。たとえば正の底aについて、aの2乗がMなら、底aのMの対数は2です。計算した数が座標のどちらに入るのかも、式を指でたどって確認してください。学習指導要領でも、対数の意味と性質に加えて、対数関数の変化とグラフを扱います。

真数を横に置くと何が見えるか

a>0、a≠1、M>0のとき、aのy乗がMであることを logₐ M = y と表します。aを底、Mを真数、yを対数の値と呼びます。底が0以下の場合や1の場合は、この定義の底として使えません。真数が0以下の場合も、実数の対数は定義されません。

したがって y = logₐ x では、底にa>0、a≠1を求めたうえで、横座標のxは正です。これが定義域です。グラフは縦軸の右側にあり、x = 0を含みません。xが0より小さい場所にも点はありません。縦軸に近い正のxを取ることと、x = 0を実際に代入することは別です。

一方、yは正にも0にも負にもなります。実際、どの実数yについてもxをaのy乗とすればxは正で、logₐ x = yです。よって値域は実数全体です。真数が正という条件を、対数の値yまで正という条件に取り違えないでください。

図1のように、指数の式と対数の式では、同じ2つの数が横と縦で入れ替わります。y = aˣ上の点を(p, q)とするとqはaのp乗です。この関係を対数で書けばp = logₐ qなので、y = logₐ x上に(q, p)があります。逆向きにも同じ操作ができます。

座標を入れ替えた2点は直線y = xに関して対称です。点ごとにこの対応があるので、2つのグラフもその直線に関して対称になります。指数関数の点(0, 1)は対数関数の点(1, 0)に移ります。対数関数は横軸と(1, 0)で交わり、縦軸とは交わりません。

a>1では、指数関数の指数が大きくなると値も大きくなります。座標を入れ替えても大小の順序は保たれ、対数関数は右上がりです。0<a<1では指数が大きくなると値が小さくなるため、対数関数は右下がりです。どちらの底でも縦軸は曲線が近づく直線、つまり漸近線です。縦軸と交わるという意味ではありません。

基本例題：点を入れ替えて描く

問題：y = log₃ x のグラフについて、定義域と値域を答え、指数関数との対応を使って3点を求め、概形を描きなさい。軸との交点と漸近線も答えなさい。点は座標で答えます。

底3は正で1ではありません。真数はxなので、定義域はx>0です。対数の値は実数全体を取るので、値域は実数全体です。指数関数y = 3ˣで、指数を-1、0、1とすると次の点が得られます。

3の(-1)乗 = 1/3
3の0乗 = 1
3の1乗 = 3

指数関数の点は(-1, 1/3)、(0, 1)、(1, 3)です。各点の座標を入れ替えると、対数関数の点は(1/3, -1)、(1, 0)、(3, 1)です。たとえば最初の点は、3の(-1)乗が1/3なので log₃(1/3) = -1 と元の式に戻して確かめられます。

図2のように、3点を縦軸の右側に打ち、右上がりに滑らかにつなぎます。横軸との交点は(1, 0)です。x = 0は定義域に入らないため縦軸との交点はありません。xを正のまま小さくすると曲線は縦軸に近づき、漸近線はx = 0です。

3点だけを結ぶ折れ線ではなく、増減と軸との関係を保つ曲線として描きます。横軸上の点(1, 0)と縦軸上の点(0, 1)を取り違えた場合は、各座標を式に代入してください。後者では真数が0なので、代入の時点で止まります。

標準例題：右下がりの点を読む

問題：y = log₍₁/₄₎ x のグラフについて、x = 1/16、1、16に対応するyをそれぞれ求め、定義域・値域と増減を答えなさい。座標を用いて概形を説明しなさい。

底1/4は正で1未満です。x>0が定義域、値域は実数全体です。指数の式から各値を求めます。

(1/4)の2乗 = 1/16
log₍₁/₄₎(1/16) = 2
(1/4)の0乗 = 1
log₍₁/₄₎ 1 = 0
(1/4)の(-2)乗 = 16
log₍₁/₄₎ 16 = -2

よって3点は(1/16, 2)、(1, 0)、(16, -2)です。横座標が小さい方から順に見ると、縦座標は2、0、-2と減っています。0<a<1なので、この3点の間に限らず右下がりです。縦軸の右側で3点を通り、縦軸を漸近線とする曲線を描きます。

答えを元の式へ戻すと、底1/4の2乗、0乗、-2乗がそれぞれ指定の真数になります。特に最後は負の対数値ですが、真数16は正です。底が1より大きい例の図を左右や上下に漫然と移すより、点と増減を改めて確認する方が確実です。

別の見方もあります。y = (1/4)ˣ上の点(2, 1/16)、(0, 1)、(-2, 16)の座標を入れ替えると、同じ3点が出ます。指数関数で値が減る様子と、対数関数で右へ進むと値が減る様子を対応させてください。

発展例題：通る点から底を決める

問題：a>0、a≠1とします。y = logₐ x のグラフが点(9, -2)を通るとき、aを分数で求め、グラフの増減と、点(3, y)のy座標を答えなさい。

点(9, -2)を式に入れると、真数9は正であり、対数の定義が使えます。

logₐ 9 = -2
aの(-2)乗 = 9
1/a² = 9
a² = 1/9

a>0という条件があるので、a = 1/3です。a = -1/3も二乗すると1/9ですが、対数の底の条件に合わないため採用できません。1/3は1より小さく、このグラフは右下がりです。

次に3を真数として、底1/3の何乗が3になるかを考えます。

(1/3)の(-1)乗 = 3
log₍₁/₃₎ 3 = -1

したがって求める点は(3, -1)です。検算では、求めた底を最初の条件に戻し、(1/3)の(-2)乗 = 9を確かめます。さらに1<3<9に対して対数値が0、-1、-2と減るので、求めた点も右下がりと整合します。

この問題では、先に点から対数の値を読み、その値を指数に直す方法が使えます。底の候補を二乗の式から出した後には、底の正の条件をもう一度重ねます。真数が正であることと底が正で1ではないことは、それぞれ別の条件です。

縦軸上の点という誤答を直す

誤答の例として、y = log₃ x のグラフが(0, 1)を通ると考えてみます。この点はy = 3ˣのグラフ上にはあります。しかし対数関数へ持ち込むときは、横と縦の数を入れ替える必要があります。

原因は、指数関数の点を覚えていても、対数の真数が横座標に当たると確認していないことです。(0, 1)を対数関数へ代入すると、log₃ 0 = 1となりますが、真数0の対数は定義されません。値が違うという以前に、左辺を実数として読むことができません。

図3のように、指数関数の(0, 1)は対数関数の(1, 0)に対応します。修正後は log₃ 1 = 0、つまり3の0乗 = 1を確かめます。点を移す作業と、その点を新しい式へ代入する作業を両方行えば、座標の入替え忘れに気づけます。

もう1つの誤りは、対数値が負なら点を縦軸の左に置くことです。負なのは縦座標であり、真数に当たる横座標は正です。たとえば基本例題の(1/3, -1)は横軸より下、かつ縦軸より右にあります。2つの符号を別々に確かめましょう。

練習問題

次の5問では、底と真数の条件を確認し、点は座標、範囲は不等式で答えてください。概形を問う場合は、点・増減・軸との関係を言葉でも示してください。

1. y = log₂ x について、x = 1/4、1、8に対応する3点と、定義域・値域を求めなさい。
2. y = log₍₁/₅₎ x について、x = 1/5、1、5に対応する3点を求め、増減と概形を説明しなさい。
3. y = 7ˣ上の点(-1, 1/7)、(0, 1)、(2, 49)に対応する y = log₇ x 上の点を求め、2つのグラフの対称の軸を答えなさい。
4. a>0、a≠1とします。y = logₐ x が(25, 2)を通るとき、底aを求め、(1/5, y)のy座標と増減を答えなさい。
5. y = log₍₁/₂₎ x のグラフ上で、縦座標が-3以上1以下となる点の横座標の範囲を求め、端点が含まれる理由も答えなさい。

練習問題の答えと考え方

1. 底2は正で1ではなく、真数x>0です。2の(-2)乗 = 1/4、2の0乗 = 1、2の3乗 = 8より、3点は(1/4, -2)、(1, 0)、(8, 3)です。定義域はx>0、値域は実数全体です。各y座標を底2の指数として戻すと、問題で指定された3つのxが得られます。

2. 底1/5は正で1未満です。(1/5)の1乗 = 1/5、0乗 = 1、(-1)乗 = 5より、3点は(1/5, 1)、(1, 0)、(5, -1)です。曲線は縦軸の右側を右下がりに進み、横軸と(1, 0)で交わり、縦軸を漸近線とします。3つのyを指数として底1/5に適用すれば、問題の真数に戻ります。

3. 各点の横座標と縦座標を交換して、(1/7, -1)、(1, 0)、(49, 2)です。対称の軸は直線y = xです。たとえば7の(-1)乗 = 1/7なので log₇(1/7) = -1です。残る2点も7の0乗 = 1、7の2乗 = 49から確かめられます。

4. 点を代入して logₐ 25 = 2、よってa² = 25です。a>0よりa = 5で、底の条件も満たします。5の(-1)乗 = 1/5なので y = -1です。5>1より右上がりです。元の点には5の2乗 = 25で戻り、求めた点には5の(-1)乗 = 1/5で戻ります。負の底-5は底の条件で除きます。

5. 底1/2は正で1未満です。縦座標yと横座標xの関係を指数に戻すと、xは(1/2)のy乗です。y = -3ではx = 8、y = 1ではx = 1/2です。底が1未満の指数関数は指数が大きくなると値が小さくなるため、-3≤y≤1に対応する範囲は1/2≤x≤8です。端点の対数値はそれぞれ1と-3で、問題の等号を満たすため両方含みます。範囲外のx = 1/4ではy = 2、x = 16ではy = -4となり、指定範囲の外です。

5問目の範囲を確かめる際には、両端の間も確認します。たとえばx = 2では(1/2)の(-1)乗 = 2なのでy = -1であり、指定された縦座標の範囲に入ります。端点だけを代入して終えるのではなく、関数が右下がりであることを使うと、間に抜けがないと判断できます。

曲線の概形を描くときには、対数の値が0になる真数1を目印にし、真数が1より小さい点と大きい点をそれぞれ1つ取ると、曲線の向きが見えます。底が1未満なら、真数が1より小さい側の点は横軸より上に来ます。底が1より大きい場合とは上下が逆になるので、あらかじめ式から値を求めることが役立ちます。

また、縦軸を漸近線とすることは、どんな高さでも縦軸に点があるという意味ではありません。実際に点を指定するには正の横座標が必要です。図を見て「近づく」と言うときも、軸上で値を取るとは限らないことを区別しましょう。

手元に残す要点

• 対数の底は正で1以外、真数は正です。
• y = logₐ x の定義域はx>0、値域は実数全体です。
• 指数関数の点を入れ替え、直線y = xに関する対称を使います。
• 底が1より大きければ右上がり、1未満なら右下がりです。
• (1, 0)を通り、縦軸に交わらず、縦軸を漸近線とします。

どこで座標が入れ替わったかを話す

点を正しく打てても、その理由が曖昧なままだと、底が変わったときに曲線の向きを間違えやすくなります。個別指導では、指数関数の点を1つ選び、対数の式へ直してから横座標と縦座標を声に出して説明できるかを確かめます。縦軸に点を置いた場合は、真数に何を代入したのかを本人の式からたどります。

さらに、底が1未満の例で横座標を増やしたときに縦座標がどう変わるかを、2点の数で比べます。点の位置、定義域、曲線の向きがつながれば、初めて見る底でも自分で図を描けます。