高校数学C 極形式への変換—絶対値と偏角から直交表示へ戻して照合する｜武蔵野個別指導塾

絶対値を正に取り、象限に合う偏角を選んだ極形式を、実部と虚部へ戻して照合します。

よくあるのは、理系高3が負の実部を見て、極形式の絶対値にも負の数を入れる場面です。点が原点の左にあるという情報は角に含まれます。原点から点までの長さは負にはなりません。式の形だけを覚えて符号を移すと、元の点とは反対側に着くことがあります。長さと向きを別々に決め、最後に実部と虚部へ戻すと、この違いを自分で点検できます。

どちらの表示から出発するか

出方の1つは、直交表示 z = x + yi から極形式を求める問題です。まず原点からの距離を求め、次に実部と虚部の符号から象限を決めます。三角比の値だけを先に見て角を決めると、同じ比を持つ別の象限を選びかねません。軸上の点では象限に無理に入れず、軸の向きを直接見ます。

もう1つは、長さと角が与えられ、x + yi に戻す問題です。cos の値が実部、sin の値が虚部を作ります。長さを両方に掛けるのを忘れず、結果の座標が指定された向きにあるかを見ます。3つ目は、文字を含む表示が条件を満たすか調べる問題です。長さが0になる場合を先に分け、偏角を問えるのは非零の場合だと確かめます。

答えの角は、問題が指定した区間に入れて書きます。以下では特に断らない限り、代表値を 0 以上 2π 未満とします。π は半周を表す弧度法の角です。2π を足し引きしても向きは変わりませんが、代表値として書く数は区間で決まります。

長さと向きを座標に結びつける

z = x + yi が0でないとき、点 P(x, y) と原点 O の距離を r とすると、r = √(x² + y²) > 0 です。点 P の方向の角を θ とすれば、単位円の定義から cos θ = x/r、sin θ = y/r です。よって次の式が成り立ちます。

x = r cos θ
y = r sin θ
z = r(cos θ + i sin θ)

この最後の式を z の極形式といいます。r は |z| で、θ は z の偏角です。θ に 2kπ を足した角も同じ偏角を表します。ただし k は整数です。r が正なので、符号は cos θ と sin θ によってそれぞれの座標に反映されます。

図1のように、横方向の長さに符号を付けたものが実部、縦方向に符号を付けたものが虚部です。図の点は第1象限にありますが、他の象限でも式は同じです。例えば第2象限では cos θ が負、sin θ が正なので実部は負、虚部は正になります。図1の r は距離であり、左側の点に移っても正です。

逆に r > 0 と θ が与えられたら、三角比を代入するだけで直交表示に戻せます。r = 0 のとき式の右辺は角に関係なく0です。しかし原点から原点への方向は定まらないため、0の偏角は定義しません。0を扱うときは z = 0 と答え、角を割り当てないことが必要です。

特殊角では、単位円上の座標を使います。π/6 では (cos θ, sin θ) = (√3/2, 1/2)、π/4 では (√2/2, √2/2)、π/3 では (1/2, √3/2) です。別の象限では基準となる鋭角を見つけ、実部と虚部の符号を付けます。軸上では角 0、π/2、π、3π/2 を順に点検します。

角を選ぶ際は、まず座標の符号を表にしなくても、点がどの方向にあるかを小さく描くと整理できます。例えば実部が負で虚部も負なら、正の実軸から反時計回りに半周を越えた方向です。求めた角が半周より小さければ、三角比の値のどこかで符号を取り違えています。軸上の点なら実部か虚部が0ですから、隣の象限に押し込まずに、その軸の角を直接選びます。

また、極形式の角は見た目が違っても同じ点を表すことがあります。角に 2π を足す操作は単位円を1周する操作であり、cos と sin の値は変わりません。指定された区間に直すのは答えを一通りにそろえるためです。区間の端では、0 は含まれますが 2π は含まれないので、正の実軸上の点には 0 を選びます。

基本例題：第2象限の点を往復する

z = -3 + 3√3 i を、偏角を 0 以上 2π 未満として極形式に直し、その式から直交表示へ戻してください。根号を使った正確な値で答えます。

まず長さを求めます。

|z| = √((-3)² + (3√3)²)
    = √(9 + 27)
    = √36
    = 6

z は0ではなく、実部が負、虚部が正なので第2象限です。cos θ と sin θ は次のようになります。

cos θ = -3/6 = -1/2
sin θ = 3√3/6 = √3/2
θ = 2π/3

したがって、求める極形式は 6(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) です。π/3 の三角比を知っていても、そのまま使えば実部が正になります。第2象限に置き直して 2π/3 を選びます。

図2の点は (-3, 3√3) で、横と縦は同じ縮尺です。点までの距離は6、角は正の実軸から反時計回りに 2π/3 です。距離が正であることと、左側にあることは矛盾しません。

変換後の式を戻すと、元の座標が得られます。

6(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
= 6(-1/2 + √3 i/2)
= -3 + 3√3 i

実部と虚部がともに元に戻りました。さらに距離を計算すれば6となり、角の余弦と正弦はそれぞれ負と正です。数値の符号だけでなく、図の位置と長さにも戻して確かめています。

標準例題：軸上の点と負の角

w = 4(cos(-π/2) + i sin(-π/2)) を直交表示にし、さらに偏角を 0 以上 2π 未満にした極形式で表してください。

まず与えられた角の三角比を使います。

cos(-π/2) = 0
sin(-π/2) = -1
w = 4(0 - i)
  = -4i

この点は虚軸の負の部分にあり、原点ではありません。-π/2 は指定区間に入らないので、2π を足します。

-π/2 + 2π = 3π/2
w = 4(cos(3π/2) + i sin(3π/2))

逆に cos(3π/2) = 0、sin(3π/2) = -1 を代入すると -4i に戻ります。距離も √(0² + (-4)²) = 4 です。角を調整するときは長さを変えません。ここでの分かれ目は、軸上なら実部と虚部の一方が0になることです。象限を決める方法をそのまま当てはめず、正の実軸からどちらの軸まで進むかを見ます。

発展例題：文字の符号で角を分ける

実数 a に対して z = a + a√3 i とします。a ≠ 0 のとき、a の符号ごとに z を極形式で表してください。偏角は 0 以上 2π 未満とし、a = 0 のとき偏角を定められるかも答えます。

最初に距離を求めます。平方根は負にならないので、√(a²) をそのまま a としないことが要点です。

|z| = √(a² + (a√3)²)
    = √(4a²)
    = 2|a|

まず a > 0 なら、実部と虚部はともに正です。

|z| = 2a
cos θ = a/(2a) = 1/2
sin θ = a√3/(2a) = √3/2
θ = π/3
z = 2a(cos(π/3) + i sin(π/3))

実際に戻すと、2a(1/2 + √3 i/2) = a + a√3 i です。ここで 2a は正なので長さとして使えます。

次に a < 0 なら、実部と虚部はともに負です。|a| = -a なので、距離は -2a という正の数です。

|z| = -2a
cos θ = a/(-2a) = -1/2
sin θ = a√3/(-2a) = -√3/2
θ = 4π/3
z = -2a(cos(4π/3) + i sin(4π/3))

戻してみると、(-2a)(-1/2 − √3 i/2) = a + a√3 i です。第3象限の座標に戻り、距離も -2a です。a = 0 なら z = 0 ですから偏角は定義されません。a で割る式を使う前に、この場合を分ける必要があります。

別の見方として、a < 0 では a > 0 のときと点の向きが半周ずれます。ただし、この見方でも長さを 2|a| と正に直すことが前提です。符号だけを長さに残して角をそのままにすると、極形式の r > 0 という約束を満たしません。

誤答を座標まで戻して直す

基本例題で「-6(cos(2π/3) + i sin(2π/3))」と書いたとします。角だけ見ると第2象限を指していますが、係数が負なので極形式の長さとして不適切です。しかも展開すると座標が反対側になります。

-6(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
= -6(-1/2 + √3 i/2)
= 3 - 3√3 i

図3のように、正しい点は左上、誤答の式が表す点は右下です。原因は、実部の負号を長さと角の両方に反映したことです。修正するには距離を6と決め直し、実部と虚部をそれぞれ6で割って角を決めます。係数を正にした後も展開して両方の座標を照合すれば、見かけの角だけで判断せずに済みます。

もう1つの誤りは、実部と虚部の比から基準角だけを求めて終了することです。比が同じでも第1象限と第3象限では向きが半周異なります。比を取る前の2つの符号を残し、選んだ角の cos と sin がその符号に合うかを点検します。軸上では比の分母が0になることもあるため、座標から軸を直接選びます。

練習：5つの表示を行き来する

次の各問は厳密な値で答えてください。極形式の偏角は 0 以上 2π 未満とします。

1. z = 2√2 − 2√2 i を極形式に直してください。
2. z = -5i を極形式に直してください。
3. z = 8(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) を直交表示に直してください。
4. 実数 t > 0 に対し z = -t√3 − ti を極形式に直してください。
5. 実数 b に対して z = b + bi とします。b の符号ごとに極形式を求め、b = 0 の偏角について答えてください。

解答と確かめ

1. 実部が正、虚部が負です。距離と三角比は次の通りです。

|z| = √((2√2)² + (-2√2)²)
    = √(8 + 8)
    = 4
cos θ = √2/2
sin θ = -√2/2
θ = 7π/4

よって 4(cos(7π/4) + i sin(7π/4)) です。展開すると 2√2 − 2√2 i に戻り、第4象限で距離4という条件にも合います。

2. 点は負の虚軸上で、距離は5です。角は 3π/2 なので、5(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) です。代入すると 5(0 − i) = -5i で、与えられた軸上の点と一致します。

3. 第2象限の三角比を代入します。

z = 8(-√3/2 + i/2)
  = -4√3 + 4i

この座標の距離は √(48 + 16) = 8 です。実部を8で割ると -√3/2、虚部を8で割ると 1/2 となり、指定された 5π/6 の向きにも戻ります。

4. t > 0 より点は第3象限で、原点ではありません。

|z| = √(3t² + t²)
    = 2t
cos θ = -√3/2
sin θ = -1/2
θ = 7π/6

答えは 2t(cos(7π/6) + i sin(7π/6)) です。展開すると -t√3 − ti となり、距離 2t も正です。もし t = 0 を許すなら、同じ角を0の偏角とすることはできません。

5. まず |z| = √(b² + b²) = √2|b| です。b > 0 では第1象限なので θ = π/4 です。

z = √2 b(cos(π/4) + i sin(π/4))
  = b + bi

b < 0 では第3象限にあり、θ = 5π/4、長さは -√2 b です。

z = -√2 b(cos(5π/4) + i sin(5π/4))
  = b + bi

どちらも展開して元の2座標に戻り、係数は正です。b = 0 では z = 0 なので偏角は定義されません。符号を分けずに b で割ると、この場合を見落とします。

手元に残す要点

距離 r = √(x² + y²) は非零の点では正です。
cos θ = x/r、sin θ = y/r の両方で角を選びます。
指定区間に 2π の整数倍で調整し、0の偏角は定めません。
最後に r cos θ と r sin θ を計算して元の座標に戻します。

途中式から見えるつまずき

長さに負号が付く場合は、距離の平方根と座標の符号を混ぜていないかを見ます。角だけが違う場合は、三角比の絶対値を覚えていても象限を選べていない可能性があります。実部と虚部を長さで割った2つの式を書き、選んだ角を代入すると、どちらの符号で食い違ったかが見えます。

個別指導では、まず座標から点を置き、次に距離と角をそれぞれどう決めたかを説明してもらいます。軸上と原点の場合も並べると、比で割れないときに判断を切り替えられるかが確かめられます。最後に極形式を展開し、出発点の座標へ戻ることまで確認します。長さと向きを別々に選べば、表示が変わっても同じ点を追えます。