高校数学C 単位円上の複素数—共役と逆数の一致から式を整理する｜武蔵野個別指導塾

共役を逆数に替えられる条件と、和や差から元の点を選ぶ手順を考えます。判断の軸は単位円です。

よくあるのは、理系の高3が複素数の式を見て、絶対値が1という条件を確かめないまま、共役を逆数に置き換えてしまう場面です。置き換えた後の計算が整っていても、出発点の等式が成り立たなければ答えは保証されません。単位円上なら何が使えるか、単位円上だとまだ言えないときは何を調べるかを、式と点の両方から整理します。

どの条件から始めるか

単位円上の複素数を扱う問題には、主に3つの入口があります。1つ目は |z| = 1 を明示され、共役を含む式を z の式に直す型です。このとき z は0ではないため、1/z が定義されます。先に非零を確認してから共役を置き換えます。

2つ目は z + 1/z や z − 1/z が与えられ、z 自体を求める型です。単位円上では前者は実数、後者は純虚数または0です。ただし、和だけから上下どちらの点か決まらないことがあります。虚部の符号など、残りの条件を最後まで使います。

3つ目は、共役と逆数が等しいという等式から、点が単位円上にあることを判断する型です。等式を書けるためには、最初から z ≠ 0 が必要です。式を変形して得た条件が十分かも確認すると、片方向の推論で終わりません。

共役と逆数を結ぶ等式

z = x + yi とします。x、y は実数で、z の共役は x − yi です。2つを掛けると、i² = -1 より次のようになります。

z・(z の共役) = (x + yi)(x - yi)
                = x² + y²
                = |z|²

単位円とは、複素数平面で原点からの距離が1の点全体です。図1のように、z に対応する点とその共役に対応する点は実軸に関して対称で、どちらも原点からの距離が1です。

|z| = 1 なら z ≠ 0 です。上の積が1なので、両辺を z で割ると z の共役 = 1/z となります。逆に、z ≠ 0 かつ z の共役 = 1/z なら、両辺に z を掛けて |z|² = 1 です。絶対値は0以上ですから |z| = 1 が従います。したがって、逆数が定義される範囲では、この一致は単位円上にあることと同値です。

条件を外すとどうなるでしょうか。例えば z = 2 では、共役は2ですが逆数は1/2です。共役と逆数は一般に同じではありません。また z = 0 の共役は0ですが、1/0 は定義されません。まず式が意味を持つかを確かめ、次に単位円上かを調べます。

|z| = 1 で z = x + yi なら、x² + y² = 1 です。このとき、共役を使って次が得られます。

z + 1/z = (x + yi) + (x - yi)
        = 2x
z - 1/z = (x + yi) - (x - yi)
        = 2yi

和は実部の2倍、差は虚部の2倍に i を掛けたものです。x は -1 以上1以下なので、和の値は -2 以上2以下です。差の係数 y も -1 以上1以下です。例えば和が範囲外なら、単位円上にその条件を満たす点はありません。範囲内でも、左右の端以外では同じ実部を持つ点が通常2つあります。

和を t と置く整理も役立ちます。t = z + 1/z なら、z ≠ 0 に注意して両辺に z を掛けると z² − tz + 1 = 0 です。これは候補を求める式です。単位円の条件がある場合は t が実数で -2 以上2以下であることに加え、得た候補を元の条件に戻します。特に t = 2 または -2 では2つの候補が重なります。

基本例題：和と虚部から点を決める

問題　複素数 z は |z| = 1、z + 1/z = 6/5 を満たし、虚部は正です。z を a + bi の形で求めてください。a、b は実数とします。

解き方　|z| = 1 なので z ≠ 0、かつ z の共役 = 1/z です。z = x + yi と置くと、与えられた和から次のように実部が決まります。

z + 1/z = 2x
2x = 6/5
x = 3/5

単位円の条件 x² + y² = 1 に代入します。

(3/5)² + y² = 1
9/25 + y² = 1
y² = 16/25
y = 4/5 または y = -4/5

虚部が正という条件を使うと y = 4/5 です。よって z = 3/5 + (4/5)i です。図2のように、実部 3/5 の縦線と単位円の交点は上下にあります。和の条件だけでは2点とも候補で、虚部の符号が上側を選びます。

答えを問題の場面へ戻します。実部と虚部の二乗の和は 9/25 + 16/25 = 1、虚部は正です。共役は 3/5 − (4/5)i なので、和は 6/5 になり、与えられたすべての条件に合います。下側の点も和は同じですが、虚部が負なので採用しません。

二次方程式から求める道もあります。両辺に z を掛けて z² − (6/5)z + 1 = 0 とし、解の公式を使えば同じ2候補が出ます。実部が先に見える問題では座標を使うと符号の選択が図に表れます。どちらの道でも、式の候補を出した後に虚部の条件へ戻る点は同じです。

標準例題：和から高次の対称な式へ

問題　|z| = 1、z + 1/z = -3/5 とします。z² + 1/z² と z³ + 1/z³ をそれぞれ分数で求めてください。

解き方　|z| = 1 から z ≠ 0 なので、すべての逆数が定義されます。まず和を二乗すると、交差する項が2個あり、次の等式が成り立ちます。

(z + 1/z)² = z² + 2 + 1/z²
z² + 1/z² = (z + 1/z)² - 2
             = (-3/5)² - 2
             = 9/25 - 50/25
             = -41/25

次に、和と今求めた二乗の和を掛けます。展開すると中央に z と 1/z が1つずつ現れます。

(z + 1/z)(z² + 1/z²) = z³ + z + 1/z + 1/z³
z³ + 1/z³ = (z + 1/z)(z² + 1/z²) - (z + 1/z)
             = (-3/5)(-41/25) - (-3/5)
             = 123/125 + 75/125
             = 198/125

答えは順に -41/25、198/125 です。z を個別に求める方法もありますが、上下のどちらの候補でも求める式の値は同じです。和だけで求まる対称な式かどうかが、計算を始める前の分かれ目です。

元の条件から別に確かめると、実部は -3/10、虚部は ±√91/10 です。二乗して共役を足すと、実部の2倍は 2(9/100 − 91/100) = -41/25 です。さらに二乗の和に元の和を掛けて元の和を引くと 198/125 に戻ります。2点とも実部の二乗と虚部の二乗の和が1であり、和は -3/5 なので、条件を満たす候補に基づく検算です。

発展例題：逆数を含む方程式の候補と条件

問題　|z| = 1 を満たす複素数 z について、z² + 1/z² = 7/4 のとき、z を a + bi の形ですべて求めてください。a、b は実数とします。

解き方　z ≠ 0 なので t = z + 1/z と置けます。単位円上では t は実数で、-2 ≤ t ≤ 2 です。二乗の和を t で表します。

t² = z² + 2 + 1/z²
t² = 7/4 + 2
t² = 15/4
t = √15/2 または t = -√15/2

どちらも -2 以上2以下なので、この段階では捨てません。z = x + yi とすると t = 2x です。各 t に対応する実部と、単位円から得られる虚部を求めます。

x = √15/4 または x = -√15/4
x² + y² = 1
15/16 + y² = 1
y² = 1/16
y = 1/4 または y = -1/4

実部と虚部の符号は独立に選べるので、答えは √15/4 + i/4、√15/4 − i/4、-√15/4 + i/4、-√15/4 − i/4 の4個です。4点は互いに異なります。

逆の確認をします。どの点も実部の二乗が 15/16、虚部の二乗が 1/16 なので絶対値は1です。また和 t は実部の2倍で ±√15/2 ですから、二乗の和は t² − 2 = 15/4 − 2 = 7/4 となります。求めた4点は元の条件に戻しても残り、途中で候補を落としていないことも確認できます。

t を使う方法は二乗の和を実数の方程式に変えられる反面、t の符号と虚部の符号を別々に追う必要があります。直接 z² + 1/z² に z² を掛ける方法もありますが、得られる式を解いてから |z| = 1 を確かめる手間が残ります。範囲の確認と点の個数を意識して道を選びます。

誤答を図に戻して直す

次の推論は誤りです。「z = 2 について、共役は 1/z だから2は1/2に等しい」。原因は、共役と逆数が一致するための |z| = 1 を確認していないことです。図3のように z = 2 の共役は同じ実軸上の2ですが、逆数は 1/2 です。両者の位置は違います。

修正するときは z・(z の共役) = |z|² に戻ります。z = 2 なら積は4であり、共役は2です。逆数 1/2 との積は1ですが、それは共役との積とは別です。単位円という条件が付いて初めて、2つの積がともに1になります。

もう1つの誤りは、|z| = 1 かつ z + 1/z = 0 から z = i とだけ答えることです。実部が0なので、虚部は1と -1 の両方が候補です。虚部が正という条件がなければ -i も残ります。二乗して平方根を取るときの符号を両方書き、指定がある場合に限って選びます。

さらに、z + 1/z = 3 を |z| = 1 のもとで解くとき、二次方程式の実数解をそのまま採用してはいけません。単位円上の和は -2 から2の範囲に限られるため、この条件を満たす z はありません。式変形で得た候補は元の絶対値の条件に戻す、という順を守ります。

手を動かす5問

次の問題はそれぞれ独立です。複素数の答えは a + bi の形、式の値は整数または分数で答えてください。a、b は実数とします。

1. |z| = 1、z + 1/z = 8/5、虚部が負のとき、z を求めてください。
2. |z| = 1、z − 1/z = (10/13)i、実部が正のとき、z を求めてください。
3. |z| = 1、z + 1/z = 1/3 のとき、z² + 1/z² を求めてください。
4. |z| = 1、z + 1/z = -2 のとき、z をすべて求めてください。
5. |z| = 1、z² + 1/z² = -2 のとき、z をすべて求めてください。

練習の答えと道筋

1. 答えは 4/5 − (3/5)i です。z = x + yi と置くと、単位円上では和が 2x になります。

2x = 8/5
x = 4/5
x² + y² = 1
16/25 + y² = 1
y² = 9/25
y = 3/5 または y = -3/5

虚部が負なので後者です。二乗の和は 16/25 + 9/25 = 1、共役を加えた和は 8/5、虚部は負です。3つの条件をそれぞれ満たします。

2. 答えは 12/13 + (5/13)i です。差は 2yi ですから、i の係数を比較します。

2y = 10/13
y = 5/13
x² + y² = 1
x² + 25/169 = 1
x² = 144/169
x = 12/13 または x = -12/13

実部が正なので前者を選びます。二乗の和は 144/169 + 25/169 = 1、共役との差は (10/13)i で、実部も正です。差だけで実部の符号を決めないことが選択の要点です。

3. 答えは -17/9 です。和を二乗したときの2を引きます。

z² + 1/z² = (z + 1/z)² - 2
             = (1/3)² - 2
             = 1/9 - 18/9
             = -17/9

元の和を満たす点も確認します。実部は 1/6、虚部は ±√35/6 なので、二乗の和は 1/36 + 35/36 = 1 です。和は 1/3 で、二乗の和は 2(1/36 − 35/36) = -17/9 です。

4. 答えは z = -1 です。z = x + yi と置きます。

2x = -2
x = -1
x² + y² = 1
1 + y² = 1
y² = 0
y = 0

端では上下の候補が重なり、1点になります。|-1| = 1、-1 の逆数は -1 なので、その和は -2 です。重解を2個の異なる点として数えないようにします。

5. 答えは z = i、-i です。t = z + 1/z と置くと、単位円上では t は実数です。

t² - 2 = -2
t² = 0
t = 0
2x = 0
x = 0
x² + y² = 1
y² = 1
y = 1 または y = -1

i と -i の絶対値はともに1です。それぞれ二乗は -1、その逆数も -1 なので、元の二乗の和は -2 です。両方が元の条件を満たします。

覚えておくこと

• |z| = 1 なら z ≠ 0 で、z の共役 = 1/z です。
• 和は実部の2倍、差は虚部の2倍に i を掛けたものです。
• 和から出る候補は虚部の符号や端の重なりを調べます。
• 得られた点を絶対値と元の式に戻して確かめます。

つまずきを見分けるために

置き換えの理由を尋ねたときに「共役だから」と答えたら、z・(z の共役) = |z|² を書き、右辺が1になる条件を指で示せるか確かめます。候補が1点しか出ない場合は、実部を固定した縦線が円と何点で交わるかを図に戻してみます。個別指導では、式の各行にどの条件を使ったかを説明し、符号を選ぶ前の候補と選んだ後の候補を区別できるかを確認します。単位円の条件を式変形の根拠として使えば、共役と逆数の一致は暗記した置換で終わりません。