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高校数学II 判別式と文字定数—二次である条件を分け解の種類を判定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 式と証明・複素数と方程式単元別

最高次係数が0になる場合を先に分け、判別式の符号から実数解と非実数解が切り替わる文字定数の範囲を整理できます。

よくあるのは、高2の高校生が文字定数を含む方程式を見て、二次の係数が0になる値も判別式だけで決めてしまう場面です。判別式を計算できても、その値で方程式が二次でなくなれば、二次方程式の解の種類を判定する規則は使えません。係数が消える値を先に分け、残った範囲で判別式の符号を調べる順序を身につけましょう。

どのような問いを分類するか

文字定数は、方程式を1本決めるための数です。例えば「実数 m の値によって x の解を分類する」とあれば、m を固定した後に x の方程式を解きます。x が未知数、m が分類の対象であり、2つの役割を混ぜないことが出発点です。

出方の1つは、二次の係数が常に0でない場合です。判別式の符号を文字定数の不等式に直し、異なる2つの実数解、重解、異なる2つの非実数解に分けます。境界では不等号に等号を入れるかどうかも確認します。

もう1つは、二次の係数が文字定数によって0になる場合です。その値では元の式を一次方程式や定数の等式として別に調べます。二次の範囲で得た条件に、係数が0でないという条件を重ねる必要があります。

さらに、係数が0になる値と判別式が0になる値が重なることがあります。このとき、D = 0 と計算されても重解があるとは限りません。係数が消えた後の式に解がない場合も、恒等的に成り立つ場合もあります。判別式の符号を調べる前に、何次の方程式かを見ることが分岐の鍵です。

判別式を使う前の条件

実数 a、b、c に対して、a ≠ 0 のとき ax² + bx + c = 0 は二次方程式です。その判別式を D = b² − 4ac とします。解の公式の平方根の中が D なので、次の対応が成り立ちます。

D > 0：異なる2つの実数解があります。
D = 0：2つの解が一致し、実数の重解があります。
D < 0：実数解はなく、異なる2つの非実数解があります。

実係数であることも必要です。D < 0 のとき、負の実数の平方根を虚数単位 i を用いて表せるため、複素数の範囲では解があります。実数解がないことと、複素数の範囲でも解がないことは別です。

図1のように、まず a = 0 かを分け、a ≠ 0 の枝で初めて D の符号を使います。a = 0 なら bx + c = 0 を直接調べます。b ≠ 0 なら一次方程式で解は1つ、b = 0 かつ c ≠ 0 なら解はなく、b = 0 かつ c = 0 ならどの x も解です。最後の「どの x」には問題で指定された数の範囲を使います。

図中の「実2解」「非実2解」は、いずれも異なる2つの解を表します。図1の分類は、係数が文字式でも、文字定数の値を固定すると実数 a、b、c になる場合に使えます。例えば b が偶数の形 b = 2B なら D/4 = B² − ac としてよく、4は正なので D と D/4 の符号は同じです。ただし D/4 = 0 と判明しても、二次の係数が0でないことを先に確かめる手順は変わりません。

数学IIの学習範囲に含まれる二次方程式の判別を扱い、解の符号や高次方程式には踏み込みません。以下では文字定数は実数、解は複素数の範囲で考えます。

基本例題：係数が消えない場合

実数 m に対し、x² − 2mx + m + 2 = 0 の解の種類を m の範囲で分類してください。範囲は不等号で示し、重解となる m では解の値も求めます。

x² の係数は常に1なので、どの m でも二次方程式です。一次になる値を探して範囲を除く必要はありません。x の係数が -2m なので、判別式の4分の1を計算します。

D/4 = (-m)² - 1・(m + 2)
    = m² - m - 2
    = (m + 1)(m - 2)

2つの因子が0になる点は m = -1、2 です。積の符号は、2つの点の外側で正、内側で負になります。図2のように境界の2点を先に置き、各区間で因子の符号を見ます。端点は積が0の別の行に置くと、重解を落とさずに済みます。

したがって m < -1 または m > 2 では D > 0 で異なる2つの実数解、-1 < m < 2 では D < 0 で異なる2つの非実数解です。m = -1 または m = 2 では D = 0 です。各値を元の式に戻します。

m = -1：x² + 2x + 1 = 0
         (x + 1)² = 0
         x = -1
m = 2： x² - 4x + 4 = 0
         (x - 2)² = 0
         x = 2

いずれも同じ一次因子の平方なので、それぞれ重解です。図2の左右の正の区間には端点を含めません。例えば m = 0 では x² + 2 = 0 となり、実数の平方が負になることはないので実数解はありません。複素数の範囲では x = ±√2 i で、元の式に戻すと両方とも成立します。区間の代表値を戻す確認は符号の取り違えに気づく助けになりますが、全範囲の証明は因数の符号で行います。

この問題で「実数解をもつ m」とだけ問われた場合は、重解も実数解に含めます。したがって m ≤ -1 または m ≥ 2 です。「異なる2つ」の指定があるときは端点を除きます。言葉が求める条件を先に書き換えてから、符号表を読むことが大切です。

標準例題：一次になる値を残す

実数 m に対し、(m − 1)x² + 2x + 1 = 0 の解の種類を分類してください。解の個数と種類を示し、一次になる場合の解は分数で答えます。

まず x² の係数を調べます。m − 1 = 0 となる m = 1 では、二次方程式の公式を使えません。元の式を代入して直接解きます。

m = 1：2x + 1 = 0
         2x = -1
         x = -1/2

代入すると 2・(-1/2) + 1 = 0 なので、確かに1つの実数解です。次に m ≠ 1 では二次方程式であり、判別式を使えます。

D/4 = 1² - (m - 1)・1
    = 2 - m

D/4 > 0 は m < 2、D/4 = 0 は m = 2、D/4 < 0 は m > 2 です。ここに二次である条件 m ≠ 1 を重ねます。最初に分けた m = 1 を m < 2 の行に戻してはいけません。

m < 2 かつ m ≠ 1：異なる2つの実数解。
m = 2：実数の重解。
m > 2：異なる2つの非実数解。
m = 1：一次方程式となり、実数解 x = -1/2 が1つ。

境界の m = 2 を元の式に入れると x² + 2x + 1 = 0、つまり (x + 1)² = 0 です。重解 x = -1 を代入して左辺が0になることも確かめられます。m = 1 を除く操作は、判別式の不等式を解く前に済ませても、後に条件を共通部分として取っても構いません。ただし最終結果にはその穴と、穴に対応する一次方程式の結果を両方記します。

たとえば m = 0 では -x² + 2x + 1 = 0 です。二次の係数が負でも0ではないので、D > 0 から異なる2つの実数解があると判定できます。係数が正であることは二次方程式の条件ではありません。負の係数を見て除外すると、本来ある解を落とします。

発展例題：判別式が0でも重解とは限らない

実数 m に対し、(m − 1)x² + 2(m − 1)x + m − 3 = 0 の解の種類を分類してください。解のない場合も含めて m の範囲を示します。

最高次係数が0となる m = 1 を先に調べます。一次の係数も同時に0となるので、一次方程式と決めつけず定数項を残します。

m = 1：0・x² + 0・x - 2 = 0
         -2 = 0

この等式はどの x に対しても成り立たないため、複素数の範囲でも解はありません。m ≠ 1 では二次方程式です。x の係数の半分は m − 1 なので、次のように判別式を整理します。

D/4 = (m - 1)² - (m - 1)(m - 3)
    = (m - 1){(m - 1) - (m - 3)}
    = 2(m - 1)

m > 1 では D > 0、m < 1 では D < 0 です。D = 0 となる m = 1 は、すでに二次でない場合として分けました。よって答えは次の通りです。

m > 1：異なる2つの実数解。
m < 1：異なる2つの非実数解。
m = 1：解なし。

重解を与える m はありません。D = 0 という式だけを見ると m = 1 が候補ですが、その値では二次である条件に反します。候補を元の方程式と適用条件の両方に戻すことで、存在しない重解を答える失敗を防げます。

別の見方として、m ≠ 1 のもとで平方を作ることもできます。割る数が0でないと明記してから変形します。

x² + 2x + (m - 3)/(m - 1) = 0
(x + 1)² = 1 - (m - 3)/(m - 1)
(x + 1)² = 2/(m - 1)

右辺が正なら平方根は異なる2つの実数、負なら異なる2つの非実数です。右辺は m ≠ 1 で0にならないので、重解はありません。m = 1 をこの式に入れることはできませんが、元の式では先に解なしと判定済みです。例えば m = 3 なら 2x² + 4x = 0 で、x = 0、-2 の2つが元の式を満たします。m = -1 なら -2x² − 4x − 4 = 0 で、x = -1 ± i を代入すると左辺は0です。代表値でも分類と一致します。

誤答から分岐を修正する

実数 m に対する (m − 2)x² + 4x + 1 = 0 について、「D/4 = 6 − m だから m < 6 では異なる2つの実数解」と答えたとします。この計算自体は正しくても、答えには m = 2 が含まれています。

図3のように m = 2 を元の式に戻すと 4x + 1 = 0 です。解は x = -1/4 の1つで、2つの実数解ではありません。判別式の分類は二次の係数 m − 2 が0でないときに使うため、原因は適用条件を確認しなかったことです。

修正すると、m < 6 かつ m ≠ 2 で異なる2つの実数解、m = 6 で重解、m > 6 で異なる2つの非実数解です。m = 2 は別に一次方程式の解 x = -1/4 とします。m = 6 では 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² なので重解は x = -1/2 です。m = 2 の解も 4・(-1/4) + 1 = 0 と戻して確かめられます。

もう一つの失敗は、D < 0 を見て単に「解なし」と書くことです。実数に限れば解はありませんが、実係数の二次方程式には非実数解が2つあります。何を解の範囲とするかを問題文で確かめ、範囲と種類を併記すると意味が明確になります。

練習：5つの方程式を分類する

いずれも文字定数は実数、x は複素数の範囲とします。文字定数の範囲を不等号または等号で表し、解の個数と実数・非実数の種類を答えてください。重解は実数の重解と書き、一次方程式では解を分数で示します。

x² + 4x + k = 0 を k によって分類してください。
(t + 2)x² + 2x + 1 = 0 を t によって分類してください。
a x² + 2a x + a = 0 を a によって分類してください。どの x も解になる場合を含めます。
x² + 2p x + p + 3 = 0 が異なる2つの実数解をもつ p の範囲を、根号を用いて答えてください。
(s − 3)x² + 2(s − 3)x + s − 1 = 0 を s によって分類してください。解のない場合も含めます。

練習の答えと解き方

1. 定数項が変わる場合

x² の係数は1なので常に二次方程式です。x の係数の半分は2ですから、次のようになります。

D/4 = 2² - k
    = 4 - k

k < 4 で異なる2つの実数解、k = 4 で実数の重解、k > 4 で異なる2つの非実数解です。k = 4 を元の式に入れると x² + 4x + 4 = (x + 2)² となり、重解 x = -2 を戻すと0になります。例えば k = 5 では (x + 2)² = -1 から x = -2 ± i となり、いずれも元の方程式を満たします。

2. 境界の区間から一次の場合を除く

t = -2 では二次の項が消えます。元の式は 2x + 1 = 0 となり、解は x = -1/2 です。2・(-1/2) + 1 = 0 と代入でも確かめます。

t ≠ -2 のとき
D/4 = 1² - (t + 2)
    = -t - 1

t < -1 かつ t ≠ -2 では異なる2つの実数解、t = -1 では実数の重解、t > -1 では異なる2つの非実数解です。t = -1 を戻すと x² + 2x + 1 = 0 なので、重解は x = -1 です。除外した t = -2 の一次の結果を併記して、範囲に穴を残さないようにします。

3. すべての係数が消える場合

a ≠ 0 のときは二次方程式です。共通因数をくくり、0でない a で割れます。

a(x² + 2x + 1) = 0
a(x + 1)² = 0
(x + 1)² = 0
x = -1

したがって a ≠ 0 では実数の重解 x = -1 です。元の式に戻すと a − 2a + a = 0 です。a = 0 では元の式が 0 = 0 になるため、複素数の範囲のどの x も解です。この場合は二次方程式の重解ではありません。0で割らないように分岐したことで、この結論が残ります。

4. 判別式自体が二次式になる場合

x² の係数は1です。異なる2つの実数解の条件は D > 0 なので、まず平方を完成します。

D/4 = p² - (p + 3)
    = p² - p - 3
    = (p - 1/2)² - 13/4

境界を求めると、次の2値です。

(p - 1/2)² = 13/4
p - 1/2 = ±√13/2
p = (1 ± √13)/2

上に開く二次式なので、D/4 > 0 は2つの境界の外側です。答えは p < (1 − √13)/2 または p > (1 + √13)/2 です。両端では D = 0 となり重解なので含めません。境界の2値は (p − 1/2)² = 13/4 を満たし、元の判別式も0に戻ります。p = 0 では D/4 = -3 で範囲の内側、p = 3 では D/4 = 3 で外側となり、符号の向きとも一致します。

5. 解なしの値と判別式の境界

s = 3 では元の式が 2 = 0 となり、どの複素数 x も解になりません。s ≠ 3 では二次方程式なので判別式を計算します。

D/4 = (s - 3)² - (s - 3)(s - 1)
    = (s - 3){(s - 3) - (s - 1)}
    = -2(s - 3)

s < 3 では異なる2つの実数解、s > 3 では異なる2つの非実数解です。D = 0 の候補 s = 3 は二次でないため、重解となる値はありません。例えば s = 2 では -x² − 2x + 1 = 0 です。x = -1 ± √2 を戻すと、平方した √2 の項が相殺されて左辺は0です。s = 4 では x² + 2x + 3 = 0 となり、x = -1 ± √2 i を戻すと左辺は0です。両側で実数・非実数の分類が確かめられます。