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高校数学II 解と係数の関係—解を直接求めず対称式の値を組み立てる｜武蔵野個別指導塾
二乗和や逆数和を和と積から求め、零の解がある場合も見落とさずに扱う対称式の技法を身につけます。
よくあるのは、高2の高校生が2次方程式の2解の逆数和を求めようとして、解が零にならないか調べない場面です。和を積で割る式は便利ですが、積が零なら計算できません。まず方程式の係数から和と積を取り出し、求める式をその2つで表します。逆数があるときは、その前に積を確認します。
数学IIの方程式では、2次方程式の解と係数の関係を扱います。ここでは2解を入れ替えても変わらない式の値に絞り、解の符号の分類や新しい方程式の作成には踏み込みません。
どんな形で問われるか
1つ目は、2解の二乗の和を求める問いです。個々の解を求めて二乗する方法もありますが、根号や虚数を含む場合は計算が長くなります。和の二乗には二乗和と積の両方が現れるので、余分な積を引けば目的の値に届きます。
2つ目は、逆数の和や二乗の逆数の和を求める問いです。通分すると分母に解の積が現れます。積が零でないことを先に確かめ、式が定義される場合に進みます。零になる場合は値が存在しないと答える必要があります。
3つ目は、係数に文字があり、対称式の値から文字を決める問いです。分母を払って得た候補には、もとの式を定義できないものが混ざることがあります。候補を条件に戻し、残ったものをもとの問いで確かめます。
和と積を使うための条件
a、b、c を実数とし、a ≠ 0 とします。2次方程式 ax² + bx + c = 0 の2解を α、β とすると、重解の場合も同じ値を2回数えて、次の関係が成り立ちます。解が実数でなくても成り立ちます。
α + β = -b/a
αβ = c/a理由は、左辺を a(x − α)(x − β) と表して展開し、x の係数と定数項を比べることです。最高次係数 a が零なら2次方程式ではなくなるため、この形を使う前に a ≠ 0 を確かめます。
α と β を入れ替えても値が変わらない式を、ここでは対称式と呼びます。和を S、積を P と置くと、図1のように求める式に応じた道筋を選べます。
図1の二乗和は、(α + β)² = α² + 2αβ + β² から S² − 2P です。逆数和は通分によって (α + β)/(αβ) = S/P となりますが、こちらは P ≠ 0 が必要です。P = 0 なら α または β が零であり、少なくとも一方の逆数が定義されません。
さらに、α²β² = P² ですから、P ≠ 0 のとき二乗の逆数和は (S² − 2P)/P² と表せます。公式を別々に暗記するより、分子を二乗和にそろえる通分を追うと符号を点検しやすくなります。
式の形から必要な情報を選ぶ
和と積が同じ2組の解なら、二乗和も同じです。実際に S² − 2P は S と P だけで決まります。一方、α − β は解の名前を入れ替えると符号が反転するため、和と積だけから符号まで決めることはできません。差の二乗なら (α − β)² = S² − 4P と表せますが、差そのものを問われたら順序や符号の条件が必要です。
逆数が含まれていなくても、式を変形する途中で解や積で割るなら同じ注意が必要です。例えば αβ = 0 の場合、αβ で両辺を割って得た式から元の関係を判断することはできません。割る前に零かどうかで場合を分けるか、割らずに進める方法を探します。
解と係数の関係は、個々の解が実数かどうかを直接示すものではありません。実数解という条件が問題にある場合、和と積を計算することとは別に判別式などでその条件を点検します。逆数の存在は実数かどうかではなく、解が零かどうかで決まります。この2つの確認を混ぜないことが大切です。
基本例題：二乗和を作る
方程式 2x² − 6x + 1 = 0 の2解を α、β とします。α² + β² を分数で求めてください。
2次の係数は 2 で零ではありません。解と係数の関係から、和と積を順に取り出します。
α + β = 6/2
= 3
αβ = 1/2図2のように、和の二乗には目的の二乗和のほかに積の2倍が入ります。その余分な部分を引きます。
α² + β² = (α + β)² - 2αβ
= 3² - 2・(1/2)
= 9 - 1
= 8答えは 8 です。図2の 9 は二乗和そのものではなく、積の2倍を含む値です。両者を同じとすると 1 だけ大きくなります。
元の方程式に戻しても確かめられます。2解をそれぞれ代入した式を加えると、2(α² + β²) − 6(α + β) + 2 = 0 です。和 3、二乗和 8 を入れると 16 − 18 + 2 = 0 となり、与えられた係数と矛盾しません。二乗和の式変形と代入による確認は別の経路なので、符号の取り違えを見つけやすくなります。
二乗和が求まった後に和と積へ戻すときも、係数の符号に注意します。一般の式では x の係数が b なら和は b/a ではなく -b/a です。たとえば最高次係数 a が正で一次の係数 b が負なら、解の和は正になります。積にはこの符号の反転がなく、定数項を最高次係数で割ります。
途中に S と P を置いた場合は、最後にそれぞれが何を表したか見直してください。和を積と取り違えても計算自体は進むため、最初の2行に α + β と αβ を明記しておくと、もとの方程式の係数と照合できます。
標準例題：逆数が存在するか確かめる
方程式 3x² + 5x − 2 = 0 の2解を α、β とします。1/α + 1/β と 1/α² + 1/β² をそれぞれ分数で求めてください。
3 ≠ 0 なので解と係数の関係を使えます。まず和と積を求めます。
α + β = -5/3
αβ = -2/3積は零でないため、どちらの解も零ではありません。したがって両方の逆数を使えます。通分してから和と積を代入します。
1/α + 1/β = (α + β)/(αβ)
= (-5/3)/(-2/3)
= 5/2二乗の逆数和では、分子を α² + β²、分母を (αβ)² にします。
α² + β² = (-5/3)² - 2・(-2/3)
= 25/9 + 12/9
= 37/9
1/α² + 1/β² = (α² + β²)/(αβ)²
= (37/9)/(4/9)
= 37/4答えは順に 5/2、37/4 です。積が負なので、二乗和を作る際の「積の2倍を引く」は正の数を足す計算になります。
元の方程式は (3x − 1)(x + 2) = 0 と因数分解でき、解は 1/3 と -2 です。代入するとそれぞれ方程式を満たし、逆数は 3 と -1/2 です。その和は 5/2、二乗の和は 9 + 1/4 = 37/4 となり、求めた値に戻ります。直接解く確認を行いましたが、解が複雑なときも和と積の方法は同じように使えます。
発展例題：文字の候補を条件に戻す
実数 t について、方程式 x² − (t + 1)x + t − 2 = 0 の2解を α、β とします。1/α + 1/β = 2 となる t を求めてください。ただし、逆数が定義される場合を考えます。
最高次係数は 1 なので、どの t でも2次方程式です。解と係数の関係は次の通りです。
α + β = t + 1
αβ = t - 2逆数が定義されるには αβ ≠ 0、すなわち t ≠ 2 が必要です。この条件のもとで通分し、与えられた値を使います。
(t + 1)/(t - 2) = 2
t + 1 = 2(t - 2)
t + 1 = 2t - 4
t = 5候補 5 は除外した 2 ではないので、分母を払った操作が有効です。元の方程式は x² − 6x + 3 = 0、解の和は 6、積は 3 です。積が零でなく、逆数和は 6/3 = 2 と与えられた条件に戻ります。したがって答えは t = 5 です。
逆に、計算途中で t = 2 が候補に出たなら、その値は採用できません。もとの方程式は x² − 3x = 0 となり、零が解に含まれるからです。分母を払った後の式は、もとの分数式が定義されない点でも意味を持ちます。候補を得た後で除外条件を見ることが、計算の仕上げになります。
この問いで実数解を条件に加える必要はありません。解と係数の関係は複素数の解にも使えるからです。ただし求めた t = 5 では、実際に判別式 36 − 12 = 24 が正です。問題に実数解という条件が指定された場合には、その条件も別に確認します。
逆数の前に止まる：誤答を直す
方程式 x² − 4x = 0 の2解を α、β として、逆数和を求める場面を考えます。誤答は「和が 4、積が 0 だから、逆数和は 4/0」と書くものです。4/0 は数として定義されず、答えではありません。
原因は、通分した形だけを覚え、元の逆数が存在する条件を飛ばしたことです。図3のように、積を見た時点で経路が分かれます。
この方程式は x(x − 4) = 0 なので、2解は 0 と 4 です。0 の逆数は存在せず、1/α + 1/β は定義されません。図3の積が零の枝では、割り算を続けずに理由とともに答えます。
もう1つの誤りは、α² + β² = (α + β)² とすることです。展開すると 2αβ が余分にあるので、それを引いて修正します。特に積が負なら、引くことにより値は増えます。展開式を書き戻せば、正負を思い込みで決めずに済みます。
重解も同じように2つの解として数えます。例えば (x − 2)² = 0 の場合、和は 4、積は 4 です。二乗和は 2² + 2² = 8 であり、異なる解が1個しかないからといって 4 とすることはできません。
練習：まず条件、次に和と積
次の5問はすべて、解を重複度を含めて α、β とします。値は整数または既約分数で答え、逆数が定義されないときはその理由を答えてください。
- x² − 7x + 10 = 0 について、α² + β² を求めてください。
- 2x² + 3x + 4 = 0 について、1/α + 1/β を求めてください。
- x² + 2x = 0 について、1/α + 1/β を求めてください。
- x² − 2x − 3 = 0 について、1/α² + 1/β² を求めてください。
- 実数 k について、x² − kx + 4 = 0 の2解が α² + β² = 17 を満たす k をすべて求めてください。
解答と考え方
- 和は 7、積は 10 です。したがって次のようになります。
α² + β² = 7² - 2・10
= 49 - 20
= 29元の方程式は (x − 2)(x − 5) = 0 です。2 と 5 を代入すると各辺が一致し、二乗和も 4 + 25 = 29 です。
- 和は -3/2、積は 2 です。積が零でないので逆数を使えます。
1/α + 1/β = (-3/2)/2
= -3/4元の方程式を零でない解 x で割ると 2x + 3 + 4/x = 0 です。2解について加え、和 -3/2 と逆数和 -3/4 を入れると -3 + 6 − 3 = 0 となります。非実数解でもこの代入確認は有効です。
-
積は 0 です。実際に x(x + 2) = 0 から解は 0 と -2 なので、零の逆数が存在せず、求める和は定義されません。0 と -2 は元の方程式をともに満たします。
-
和は 2、積は -3 で、両解とも零ではありません。まず二乗和を計算します。
α² + β² = 2² - 2・(-3)
= 10
1/α² + 1/β² = 10/(-3)²
= 10/9元の方程式は (x − 3)(x + 1) = 0 です。解 3、-1 を代入すると方程式を満たし、逆数の二乗の和も 1/9 + 1 = 10/9 になります。
- 和は k、積は 4 です。二乗和の条件を使います。
α² + β² = k² - 2・4
17 = k² - 8
k² = 25
k = 5 または -5どちらも元の条件に戻します。k = 5 なら和 5、積 4 から二乗和は 25 − 8 = 17 です。k = -5 なら和 -5、積 4 から同じく 25 − 8 = 17 です。最高次係数はどちらも 1 で、両方が答えです。
手元に残す要点
- 2次の係数が零でないことを確認してから、和 -b/a、積 c/a を使います。
- 二乗和は和の二乗から積の2倍を引きます。
- 逆数を含む式は、解の積が零でないことを先に確かめます。
- 文字の候補は、除外条件と元の問いに戻して確かめます。
つまずきを見分ける問い
手が止まったら「求める式は2解を入れ替えても同じか」「和の二乗を展開すると何が余るか」と声に出してみてください。前者が同じなら和と積による整理を試せます。後者で 2αβ が出なければ、展開から書き直すと原因が見えます。
個別に式を確かめるときは、逆数和の答えを聞く前に「積が零なら元の式は書けるか」と尋ねると、条件を見ているか判断できます。文字の問題では、分母を払う前に除外した値を余白に残し、候補を元の式へ戻す発言まで確認します。和と積の2つを入口にすれば、解の複雑さに振り回されず対称式を整理できます。
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