高校数学II 2次方程式の複素数解—負の判別式から根号と虚数単位を整理する｜武蔵野個別指導塾

判別式が負の2次方程式を複素数まで解き、根号の整理や代入の確認を通じて、実数解と非実数解の区別に役立てられます。

よくあるのは、高2の高校生が判別式の値を負と計算し、「実数解がない」から「解なし」と答案に書いてしまう場面です。数の範囲を複素数まで広げると、負の数の平方根を虚数単位 i を用いて表せます。実数の範囲での結論と、複素数の範囲での結論を分けてから、解の公式の分母や符号を丁寧に扱いましょう。

数学IIの複素数と2次方程式を用い、実数を係数とする方程式を扱います。複素数平面や極形式は使いません。

どこで判断が分かれるか

1つ目は、係数が数字で与えられた方程式を複素数の範囲で解く型です。判別式が負なら、根号の中の負号を i に移し、残る正の数の平方根を簡単にします。最後に分子の各項を分母で割ると、実部と虚部が見えます。

2つ目は、解の種類を尋ねられる型です。判別式が正なら異なる2つの実数解、零なら実数の重解、負なら共役な2つの非実数解です。「重解」は同じ解が2回現れる場合を指し、異なる解が2個あるという意味ではありません。

3つ目は、条件を満たす方程式を作ったり、求めた解を元の式に戻したりする型です。公式で得た見かけの答えも、代入して零になるか点検できます。実係数なら非実数解は共役な組になるので、片方の符号だけを残す間違いにも気づけます。

判別式と数の範囲を結ぶ

a、b、c を実数、a ≠ 0 とします。方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式を D = b² − 4ac と置くと、平方完成から次の式が得られます。

4a²x² + 4abx + 4ac = 0
(2ax + b)² = b² - 4ac = D

a ≠ 0 なので、2a で割れます。D が正または零なら、実数の平方根を使って x = (-b ± √D)/(2a) です。D < 0 のときは正の数 -D に対して (i√(-D))² = D となるため、複素数の範囲では次の2つが解です。

x = (-b + i√(-D))/(2a)
x = (-b - i√(-D))/(2a)

i² = -1 です。例えば √(-12) という表記を使う場合、その平方根の一方を 2√3 i と表しますが、方程式の解では正負の両方を残します。負の数に実数の平方根はありません。根号の計算を実数のときの規則のまま、負の数どうしに無条件に適用しないようにします。

図1のように、D の符号は解の種類を分けます。D < 0 の欄で「実数解なし」と言うのは正しいですが、それを複素数の範囲でも解がないという意味にすると誤りです。D = 0 なら公式の ± の部分が零となり、2つの表示が同じ値に重なります。

実数 p、q に対して p + qi と p − qi は互いに共役です。実係数の式に前者を代入して零になるとき、和と積の共役をとると後者を代入した値も零になります。D < 0 では q ≠ 0 なので、この2つは異なります。複素数の計算をする前に、a、b、c が実数で a ≠ 0 か確認するのが出発点です。

公式を使う前後の確認

平方完成の式から公式を作ると、分母に 2a が現れる理由がはっきりします。D < 0 なら 2ax + b = ± i√(-D) です。両辺から b を引き、最後に零でない 2a で両辺を割れば、先ほどの公式になります。b に負の数が入る場合は、-b の符号が正に変わることもここで確認できます。

検算で零にならないときは、計算のどこかに誤りがあるという情報が得られます。まず候補を公式に入れたときの分母、次に平方した虚数単位の符号を見直してください。一方、1つの候補を代入して零になっただけでは、もう1つの候補を書き忘れていない保証にはなりません。平方完成した式が何通りの値を許すかまで照合すると、解の抜けも調べられます。

D = 0 の場合にも代入は有効です。ただし同じ数を2回書いて異なる解と数えることはできません。公式の ± の項が零になることと、平方完成した左辺が零となる条件を照らし合わせると、重解という呼び方の意味を確認できます。

基本例題：負の根号を整理する

次の方程式を複素数の範囲で解き、答えを実部と虚部が見える形で表してください。

x² - 4x + 7 = 0

係数は a = 1、b = -4、c = 7 です。a は零でなく、公式を適用できます。まず D を計算します。

D = (-4)² - 4・1・7
  = 16 - 28
  = -12

D < 0 なので実数解はありません。しかし複素数の範囲で解の公式を使うと、次のようになります。

x = (4 ± i√12)/2
  = (4 ± 2√3 i)/2
  = 2 ± √3 i

答えは 2 + √3 i、2 − √3 i です。√12 = 2√3 と直した後、分子の両方の項を 2 で割ります。図2のように、判別式の負号と正の部分を分けると、i を付け忘れにくくなります。

図2の終点が2つあることも確認します。代入では共役な2つをまとめて、符号を ± として計算できます。

(2 ± √3 i)² - 4(2 ± √3 i) + 7
= (4 ± 4√3 i - 3) - 8 ∓ 4√3 i + 7
= 0

途中の ∓ は直前の ± と反対の符号です。上の符号どうし、下の符号どうしを組にします。平方したときの虚数部分と一次の項の虚数部分が打ち消され、実数部分も零になります。2つとも元の方程式を満たし、平方完成の式から他の解はありません。

標準例題：分母が残る場合

次の方程式を複素数の範囲で解き、分数と根号を用いて表してください。

3x² + 2x + 4 = 0

a = 3、b = 2、c = 4 で、a ≠ 0 です。判別式を求めます。

D = 2² - 4・3・4
  = 4 - 48
  = -44

したがって -D = 44 です。解の公式と √44 = 2√11 を使います。

x = (-2 ± i√44)/6
  = (-2 ± 2√11 i)/6
  = (-1 ± √11 i)/3

答えは (-1 + √11 i)/3、(-1 − √11 i)/3 です。分母は 2a = 6 ですから、a の 3 だけで割らないようにします。また分子の -2 と根号を含む項の両方に共通する 2 を消して、分母を 3 にします。

元の条件へ戻します。x = (-1 ± √11 i)/3 とすると、次の式です。

x² = (1 ∓ 2√11 i - 11)/9
   = (-10 ∓ 2√11 i)/9
3x² + 2x + 4
= (-10 ∓ 2√11 i)/3 + (-2 ± 2√11 i)/3 + 4
= -12/3 + 4
= 0

虚数部分は互いに消えます。分数を含む解は、分母を払う際に一部の項を落としがちです。答えを見直すときは、まず分子全体を括弧で囲み、その括弧ごと代入すると符号を追えます。

発展例題：重解と非実数解を同じ方程式族で調べる

実数 t に対し、次の方程式を複素数の範囲で解いてください。答えは t の値に応じて、実数または i と根号を用いて表します。

x² - 2tx + t² + 4t = 0

x² の係数は常に 1 なので、どの実数 t に対しても2次方程式です。平方完成を使うと、判別式の符号が変わる理由も見えます。

x² - 2tx + t² + 4t = 0
(x - t)² = -4t

t < 0 なら -t > 0 です。右辺は正で、異なる2つの実数解を持ちます。

x - t = ± 2√(-t)
x = t ± 2√(-t)

t = 0 なら x² = 0 で、x = 0 が重解です。t > 0 なら右辺は負なので、複素数の範囲に広げます。

x - t = ± 2√t i
x = t ± 2√t i

この場合、2√t は零でないため、2つは異なる非実数解です。判別式でも D = (-2t)² − 4(t² + 4t) = -16t と求まり、同じ3つの場合に分かれます。

検算では、各場合の候補から x − t を作って二乗します。t < 0 では (± 2√(-t))² = -4t、t = 0 では 0² = -4・0、t > 0 では (± 2√t i)² = -4t です。いずれも元の平方完成後の式を満たします。変形は等号を保つので、元の方程式にも戻ります。

この問題では平方完成が短い道です。一般の式に公式を適用してもよいのですが、D の根号を t の符号ごとに整理する必要があります。どちらの道でも t = 0 を境目として独立に扱い、非実数解の式に機械的に代入して「異なる2解」と呼ばないことが肝心です。

誤答をほどく：実数解なしで止めない

基本例題で D = -12 まで正しく求めた後、「D < 0 だから解なし」と結論したとします。原因は、実数の範囲で使った判定を、問題で指定された複素数の範囲にそのまま持ち込んだことです。図3のように、結論を書く直前に範囲を読み直します。

図3の左側の判断は「実数解がない」までなら正しい判断です。そこで終了せず、i² = -1 を使い、平方が -12 になる数として ± 2√3 i を用意します。それを公式の分子に入れ、2で割れば 2 ± √3 i になります。

もう1つの誤りは、負の判別式から i を抜かして 2 ± √3 とすることです。この2つは実数なので、実数解がないという判定と矛盾します。正しく代入すれば虚数部分が消えて零になりますが、i のない候補を代入すると零にはなりません。種類の点検と代入の点検は、別の向きから符号の誤りを捕まえます。

練習：まず問題を通して解く

いずれも複素数の範囲で考え、根号を簡単にして答えてください。重解はその旨も書きます。

1. x² + 6x + 13 = 0 を解いてください。
2. 2x² − 4x + 5 = 0 を解いてください。
3. x² + 8x + 16 = 0 を解いてください。
4. x² − 2x + 10 = 0 の2解を求め、それぞれを元の式に代入して確かめてください。
5. 実数 k について x² + 2x + k = 0 が異なる2つの非実数解を持つ条件を求め、その条件の下で解を k を用いて表してください。

練習の答えと解き方

1. D = 6² − 4・13 = -16 です。よって x = (-6 ± 4i)/2 = -3 ± 2i です。代入すると (-3 ± 2i)² + 6(-3 ± 2i) + 13 = (5 ∓ 12i) − 18 ± 12i + 13 = 0 です。両方が条件を満たします。

2. D = (-4)² − 4・2・5 = -24 です。したがって x = (4 ± 2√6 i)/4 = 1 ± (√6/2)i です。元の式を 2(x − 1)² + 3 = 0 と直して代入すると、2(± √6 i/2)² + 3 = -3 + 3 = 0 です。異なる2つの解を得ています。

3. 左辺は (x + 4)² ですから、x = -4 が重解です。元の式に戻すと 16 − 32 + 16 = 0 です。D = 8² − 4・16 = 0 としても、公式の2つの表示が重なることを確認できます。

4. D = (-2)² − 4・10 = -36 なので、x = (2 ± 6i)/2 = 1 ± 3i です。元の式は (x − 1)² + 9 と書けます。1 + 3i を入れると (3i)² + 9 = 0、1 − 3i を入れると (-3i)² + 9 = 0 です。符号の異なる両方が元の式を満たします。

5. D = 2² − 4k = 4(1 − k) です。係数は実数で、x² の係数は 1 ですから、異なる2つの非実数解を持つ条件は D < 0、すなわち k > 1 です。このとき解は x = -1 ± √(k − 1)i です。実際に (x + 1)² = 1 − k に代入すると、(± √(k − 1)i)² = 1 − k となり、元の式を満たします。k = 1 では重解、k < 1 では異なる実数解なので、条件から外します。

手元に残す要点

• 実係数の2次方程式では、まず最高次係数が零でないことを確かめます。
• D < 0 は実数解がないという判定であり、複素数の範囲では共役な2解があります。
• i² = -1 と分母 2a を保ち、根号と分数を整理します。
• D = 0 では2つの表示が重なり、実数の重解になります。
• 求めた解を元の方程式へ代入して符号と係数を点検します。

つまずきを見分ける一言

「解なし」と書いた人には、まず「どの数の範囲で探したか」を口に出してもらいます。実数と複素数の区別が曖昧なら、i² = -1 を元の式に使えるかを確かめます。公式の分母を誤った人には、a の値と 2a を別々に書いてもらい、分子全体を割っているかを見ます。

個別指導で式を確かめるときは、答えを先に直すより、候補の二乗と一次の項を別々に計算すると原因が見えます。「この ± はどの符号と組になるか」と尋ねれば、共役な2解を両方追えているかも確かめられます。判別式の符号は終点ではなく、数の範囲に応じて解を表すための分岐点です。