高校数学II 複素数の実数条件—実部と虚部の条件から文字の値を絞る｜武蔵野個別指導塾

虚部が0になる実数条件と、実部が0で虚部が0でない純虚数条件を分け、分母の除外値まで判定を進めます。

よくあるのは、高2の高校生が複素数の実部を0にした後、その値で複素数全体も0になることに気づかず、純虚数と答える場面です。実部が0になることは必要ですが、それだけで判定が終わるとは限りません。文字の値を式に戻し、虚部が残るかまで確かめると、答えの境界がはっきりします。

問いの形を先に見分ける

文字を含む複素数が実数になる条件では、虚部を0にします。たとえば実数の文字を整理した結果が A + Bi の形なら、B = 0 を解きます。実部 A が0であっても、値が0という実数になるので、この問いでは除外しません。実数は複素数に含まれます。

純虚数になる条件では、実部を0にしたうえで、虚部が0でないことを確かめます。A = 0 の解を求めた後、B ≠ 0 を満たすものを残します。実部と虚部の両方が0なら値は0です。0は実数ですが、純虚数には含めません。

分母に文字がある場合は、どちらの問いでも最初に分母が0にならない範囲を調べます。その後に分母を実数に直し、条件を立てます。分母が消える値は、変形後の式に形式的に代入できそうでも、元の式が定義されないので答えには入りません。数学IIの複素数の計算を使い、複素数平面には進まずに判定します。

2つの成分と条件の順序

実数 A、B と虚数単位 i を用い、複素数 z を z = A + Bi と表します。i は i² = -1 を満たし、A が実部、B が虚部です。虚部は Bi ではなく、i の係数 B です。実部と虚部に文字が入る場合も、文字が実数だと指定されていれば、それぞれ実数として扱えます。

z が実数であることと B = 0 は同値です。z が純虚数であることと、A = 0 かつ B ≠ 0 であることも同値です。条件を同時に満たすことが必要なので、A = 0 の候補を出す作業と、B ≠ 0 の点検を分けて書きます。図1のように、実数と純虚数では最後に見る条件が異なります。

図1の上段では B = 0 なら A の値を制限しません。下段では A = 0 のほかに B ≠ 0 を要求します。A = B = 0 は上段に入り下段には入らないので、0の扱いを曖昧にしないことが判定の要です。

分数で表された複素数では、分母が実数とは限りません。たとえば実数 c、d に対して c + di の共役は c − di です。c と d が同時に0でなければ、積は c² + d² という0でない実数になります。分子と分母に同じ共役を掛けてから、実部と虚部を読み取ります。もとの分母の条件を消してよいという意味ではありません。

基本例題：0が候補に現れるとき

実数 t に対し、z = (t − 2) + (t² − 4)i とします。z が実数となる t と、純虚数となる t をそれぞれすべて求めてください。答えは整数で表します。

実部は t − 2、虚部は t² − 4 です。実数となるには虚部を0にします。

t² - 4 = 0
(t - 2)(t + 2) = 0
t = 2, -2

t = 2 のとき z = 0、t = -2 のとき z = -4 です。どちらも実数ですから、実数となるのは t = 2, -2 です。0を除外する必要はありません。

次に純虚数となるには実部が0でなければなりません。

t - 2 = 0
t = 2

ところが、この候補では虚部も 2² − 4 = 0 です。したがって z = 0 となり、純虚数ではありません。純虚数となる t は存在しません。図2のように、実部から得た候補が虚部の点検を通るかを最後まで追います。

図2の候補は実部の条件を満たしても、虚部が残らないため純虚数の答えにはなりません。存在しないという結論も、候補を調べた結果として根拠を持ちます。実数の問いと純虚数の問いを同時に解くときは、同じ t = 2 が前者に入り後者から外れることを確認します。

標準例題：共役を掛けて判定する

実数 a に対し、z = (a + 3i)/(1 + i) とします。z が実数となる a と純虚数となる a をそれぞれすべて求めてください。答えは整数で表します。

分母 1 + i は0ではありません。その共役 1 − i を分子と分母に掛けます。

z = (a + 3i)(1 - i)/((1 + i)(1 - i))
  = (a - ai + 3i - 3i²)/(1 - i²)
  = (a + 3 + (3 - a)i)/2
  = (a + 3)/2 + ((3 - a)/2)i

実数となる条件は虚部が0であることです。

(3 - a)/2 = 0
3 - a = 0
a = 3

元の式に戻すと、分子は 3 + 3i です。分母の3倍なので z = 3 となり、確かに実数です。

純虚数となるには実部が0で、さらに虚部が0でないことが必要です。

(a + 3)/2 = 0
a + 3 = 0
a = -3

このとき虚部は (3 − (-3))/2 = 3 で、0ではありません。元の式の分子は -3 + 3i = 3i(1 + i) ですから、z = 3i です。よって純虚数となるのは a = -3 です。

分母に i がある段階で、分子の実部だけを0にしてはいけません。割り算は実部と虚部を混ぜるためです。実数の分母に直せば、実部と虚部をそれぞれ正しく読み取れます。共役を掛ける際に分母だけを変えると値自体が変わるので、分子にも同じものを掛けます。

発展例題：分母の除外と候補の重なり

実数 x に対し、z = (x + 2i)/(x − 2i) とします。z が実数となる x と純虚数となる x をそれぞれすべて求めてください。答えは整数で表します。

まず x − 2i = 0 となる実数 x はありません。虚部が -2 のままだからです。したがって分母は実数 x のどの値でも0になりません。共役を掛けた後の分母 x² + 4 も正です。

z = (x + 2i)(x + 2i)/((x - 2i)(x + 2i))
  = (x² + 4xi + 4i²)/(x² - 4i²)
  = (x² - 4 + 4xi)/(x² + 4)
  = (x² - 4)/(x² + 4) + (4x/(x² + 4))i

実数となる条件は虚部が0であることです。分母は正なので、分子を0にできます。

4x/(x² + 4) = 0
4x = 0
x = 0

元の式へ戻すと z = 2i/(-2i) = -1 です。したがって実数となるのは x = 0 です。

純虚数となるには、まず実部を0にします。

(x² - 4)/(x² + 4) = 0
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x = 2, -2

x = 2 では虚部は 8/8 = 1、x = -2 では -8/8 = -1 です。どちらも0でないため、両方が純虚数の条件を満たします。元の式でも、x = 2 なら分子は i 倍の分母で z = i、x = -2 なら分子は -i 倍の分母で z = -i です。答えは x = 2, -2 です。

この問題では、分母に文字があることと、除外値が実際に存在することは別です。実数 x と -2i を足して0にすることはできないため、除外値はありません。一方、分母が x − 2 なら x = 2 は除外されます。見た目に文字があるかだけで決めず、分母が0となる条件を実部と虚部で調べます。

候補の吟味では、方程式の解が複数ある場合に片方だけ代入して終えないことも大切です。発展例題の x = 2 と x = -2 は実部を0にする点では同じですが、虚部はそれぞれ 1 と -1 です。符号は異なっても、どちらも0ではないので両方を残します。虚部が正であることは純虚数の条件ではありません。

約分しても残る元の条件

実数 v に対し、w = ((v − 3) + (v² − 9)i)/(v − 3) とします。w が純虚数になる v を調べるとき、最初に v ≠ 3 と書きます。v = 3 では分母だけでなく分子も0になりますが、0を0で割る式に値は定まりません。したがって、この値を先に除いてから式を整理します。

w = ((v - 3) + (v - 3)(v + 3)i)/(v - 3)
  = 1 + (v + 3)i

この変形は v ≠ 3 の範囲で成り立ちます。実部は常に1なので、純虚数になる v はありません。約分した式に v = 3 を入れると 1 + 6i という数が得られますが、それは元の式の v = 3 における値ではありません。約分後の式が計算できる範囲と、元の式が定義される範囲を区別します。

同じ式が実数になる条件は v + 3 = 0 なので v = -3 です。この値は除外値ではありません。元の式に代入すると、分子は -6、分母も -6 ですから w = 1 となり、確かに実数です。条件を解いて出た値が最初の制限に合うかを最後に見直すと、約分で消えた情報を取り戻せます。

誤答をほどく：実部0で止めない

基本例題で「t = 2 なら実部が0だから純虚数」と書く誤答を考えます。実部の計算は正しいものの、虚部が0でないという条件が抜けています。t = 2 では実部も虚部も0なので、得られる値は0です。実数ではありますが、純虚数にはなりません。

図3のように、実部の方程式で得た値を虚部に代入してから判定を確定します。実部が0で虚部が残れば純虚数、両方が0なら0です。実部が0でない候補は、虚部がいくつでも純虚数ではありません。

図3の順序は分数の場合にも使えます。ただし、分数では最初に元の分母を点検します。定義されない値は、実部や虚部の式に代入して判定する以前に候補から除きます。除外と純虚数の0の除外は理由が違うため、解答では別々に書きます。

練習：条件を付けてから代入する

次の文字はすべて実数です。それぞれ指定された値をすべて求め、整数または分数で表してください。問題を解き終えたら、元の式にも代入して確かめます。

1. z = (p + 1) + (p − 5)i が実数となる p を求めます。
2. z = (q − 4) + (q + 2)i が純虚数となる q を求めます。
3. z = (r + 3) + (2r + 6)i が純虚数となる r を求めます。
4. z = (s + i)/(s − 1) が実数となる s を求めます。
5. z = (u + 2i)/(2 + i) が純虚数となる u を求めます。

解答と確かめ

1. 実数の条件は虚部 p − 5 = 0 です。よって p = 5。元の式に代入すると z = 6 + 0i = 6 で、実数です。実部を0にする p = -1 は、虚部が -6 なので求める値ではありません。

2. 実部 q − 4 = 0 より q = 4 です。このとき虚部は 4 + 2 = 6 ≠ 0 です。元の式は z = 6i となるので、答えは q = 4 です。実部を0にした後に虚部を点検して、0を誤って含めることを防ぎます。

3. 実部 r + 3 = 0 より r = -3 です。しかし虚部も 2(-3) + 6 = 0 です。元の式は z = 0 となるので、純虚数となる r は存在しません。実部の方程式に他の解はないため、これで候補を調べ終えています。

4. まず分母から s ≠ 1 です。この範囲では z = s/(s − 1) + (1/(s − 1))i です。虚部が0となるには 1/(s − 1) = 0 が必要ですが、分子が1なので成り立ちません。s = 1 では元の式が定義されず、答えにもできません。したがって実数となる s は存在しません。

5. 分母 2 + i は0ではありません。共役を掛けて整理します。

z = (u + 2i)(2 - i)/((2 + i)(2 - i))
  = (2u - ui + 4i - 2i²)/(4 - i²)
  = (2u + 2 + (4 - u)i)/5

実部を0にすると 2u + 2 = 0、よって u = -1 です。虚部は (4 − (-1))/5 = 1 で0ではありません。元の式では分子 -1 + 2i = i(2 + i) なので z = i です。答えは u = -1 です。

手元に残す4点

• 実数なら虚部が0です。0も実数です。
• 純虚数なら実部が0で、虚部は0ではありません。
• 分母があるときは、元の式で0になる値を先に除きます。
• 候補を元の式に戻し、求める種類の数か確かめます。

どこで止まったかを見分ける

実部と虚部を逆にしていないかは、A + Bi の A と B に別々の印をつけると見えます。分数の分子だけを見て答えた場合は、共役を掛けた後の式で i の係数を言葉にしてみます。分母が0となる値を忘れた場合は、変形前の式にその値を入れられるかを確かめます。

個別指導で途中を点検するときには、「実部を0にした候補で、虚部はいくつですか」と尋ねると、純虚数の条件を使い切れたかが見えます。「その値を元の分母に入れるとどうなりますか」と続ければ、定義される範囲も確認できます。条件を満たす候補と途中で消える候補を区別すると、実数条件と純虚数条件の差が明確になります。