高校数学C 三点の一直線条件—実数倍と係数の和で共線を証明する｜武蔵野個別指導塾

異なる2点を基準に実数倍と係数の和を結び、重なる点の条件から共線を示す。

よくあるのは、理系の高校生が位置ベクトルの係数を足して1になったところで、基準の2点が異なるか確かめずに一直線と結論する場面です。2点が重なれば、その2点を通る直線は1つに定まりません。式の形は正しくても、何を結論できるかは仮定で変わります。まず基準点を定め、実数倍と係数の和がどのようにつながるかをたどりましょう。

共線を問う3つの場面

1つ目は、点A、B、Pの座標が与えられ、Pが直線AB上にあるか判定する場合です。AとBが異なると確かめ、ベクトル APがベクトル ABの実数倍になるかを調べます。倍率が負ならPはAの側の延長上にあり、1より大きければBの側の延長上です。線分の内側だけに限る必要はありません。

2つ目は、位置ベクトルの式から共線を証明する場合です。原点Oに対してA、B、Pの位置ベクトルをそれぞれa、b、pと書きます。pがaとbの実数係数による和で表され、係数の和が1なら、Aを起点にした差を作ると実数倍の形に変わります。ただしAとBが異なるという確認は残ります。

3つ目は、文字を含む式について共線になる条件を求める場合です。係数の和を1と置くだけでは、aとbが平行な場合や原点を含む配置を見落とすことがあります。必要条件を作るときは、係数を比較できる理由も必要です。以下では異なる2点の間の関係に絞り、直線どうしの交点は扱いません。

基準となる2点と係数の和

図1のようにAとBが異なるとします。a、b、pはいずれも原点Oからの位置ベクトルです。ベクトル ABはb − aであり、AとBが異なるため零ベクトルではありません。Pが直線AB上にあることと、ある実数tについて次が成り立つことは同値です。

ベクトル AP = t・ベクトル AB
p - a = t(b - a)
p = (1 - t)a + tb

図1ではPはBの外側にあり、tは1より大きい値です。それでも(1 − t) + t = 1です。係数が負になる場合を捨てると、直線の一部しか表せません。逆に係数がともに0以上なら0 ≦ t ≦ 1で、Pは端点を含む線分AB上にあります。t = 0ではP = A、t = 1ではP = Bです。

この式を一般の記号で書き直すと、AとBが異なるとき、Pが直線AB上にある必要十分条件は、ある実数s、uが存在して次を満たすことです。

p = sa + ub
s + u = 1

十分性は、s = 1 − uを代入してp − a = u(b − a)とすれば得られます。必要性は、Pが直線上なら実数tを用いてp − a = t(b − a)と書き、s = 1 − t、u = tと選べることから得られます。ここではaとbが平行かどうかを要求していません。基準になるb − aが非零であることが要点です。

注意したいのは「ある係数で表せる」という部分です。aとbが平行なら同じpを複数の係数で表せることがあります。係数の和が1の表示が1つあれば十分ですが、別の表示の和が1でないことから共線でないとは結論できません。また、初めに与えられた表示の和が1であることは十分条件ですが、その表示に限って和が1になることは一般には必要条件ではありません。

A = Bの場合はb − aが零なので、p = (1 − t)a + tbは常にp = aです。係数の和が1ならPもAに重なるといえますが、「直線AB上」という表現は使えません。重複を許して3点を含む直線が存在するかという別の問いなら、A = BでもPに応じて直線を選べます。問いの意味を区別してから定理を使います。

基本例題：座標から倍率を読む

A(1, 2)、B(5, 4)、P(7, 5)とします。Pが直線AB上にあるか判定し、ある場合はベクトル APをベクトル ABの実数倍で表してください。倍率は分数で答えます。

図2のように、座標の差は終点から始点を引いて求めます。AとBは異なるので、直線ABは定まります。

ベクトル AB = (5 - 1, 4 - 2)
             = (4, 2)
ベクトル AP = (7 - 1, 5 - 2)
             = (6, 3)
             = (3/2)(4, 2)
             = (3/2)・ベクトル AB

よってPは直線AB上にあり、求める倍率は3/2です。2成分の両方が同じ倍率になっていることを確認します。倍率が1より大きいので、PはBの先にあります。ベクトル BP = (2, 1)も(1/2)・ベクトル ABですから、図2の位置とも一致します。

位置ベクトルでも答えを元の座標へ戻せます。t = 3/2を用いると、Pは(-1/2)A + (3/2)Bに対応します。

(-1/2)(1, 2) + (3/2)(5, 4)
= (-1/2, -1) + (15/2, 6)
= (7, 5)

係数の和は-1/2 + 3/2 = 1です。座標の1成分だけが合っても判定は済みません。たとえば縦の成分が異なれば、横の成分から求めた倍率を代入しても元の点に戻れないからです。

標準例題：係数の和から直線を選ぶ

三角形OABで、a、bをそれぞれA、Bの位置ベクトルとします。点Pの位置ベクトルがp = (2k − 1)a + (3 − k)bで与えられます。Pが直線AB上にあるような実数kを求め、分数または整数で答えてください。

O、A、Bは三角形の頂点なので、AとBは異なり、aとbは平行ではありません。したがって同じベクトルをaとbで表したとき、各係数を比較できます。Pが直線AB上にあるなら、ある実数tによりp = (1 − t)a + tbと表せます。与式と比較すると次のようになります。

2k - 1 = 1 - t
3 - k = t
(2k - 1) + (3 - k) = 1
k + 2 = 1
k = -1

この計算で得た値が実際に条件を満たすかも調べます。k = -1なら、

p = -3a + 4b
p - a = -4a + 4b
      = 4(b - a)

よってベクトル AP = 4・ベクトル ABです。Pは直線AB上にあり、答えはk = -1です。元の式の係数は-3と4で、その和も1です。逆向きの確認により、必要条件として出した値が十分でもあると確かめられます。

三角形という仮定を使った理由は、係数比較によって必要性を示すためです。和が1のときに直線上といえる部分には、aとbの非平行性は不要です。必要な仮定を証明のそれぞれの方向に対応させると、使わなくてよい条件と欠かせない条件を区別できます。

発展例題：係数比較ができない場合も含める

原点Oと異なる2点A、Bは同一直線上にあり、位置ベクトルがb = 2aを満たします。点Pをp = ka + (k + 1)bで定めます。Pが直線AB上にある実数kの範囲を答えてください。また、与えられた表示の係数の和が1となるkも求め、両者を比較してください。

AとBは異なり、b = 2aなのでaは零ベクトルではありません。まず与式をaだけにまとめます。

p = ka + (k + 1)・2a
  = (3k + 2)a
b - a = a
p - a = (3k + 1)a
      = (3k + 1)(b - a)

どの実数kでも、ベクトル APは非零のベクトル ABの実数倍です。したがって答えはすべての実数です。たとえばk = 1ならp = 5a、p − a = 4(b − a)なので、実際に直線AB上に戻ります。

一方、与式の2係数の和を計算すると次の通りです。

k + (k + 1) = 1
2k + 1 = 1
2k = 0
k = 0

与えられた表示の係数の和が1となるのはk = 0です。しかし、それ以外も共線です。たとえばk = 1の与式はp = a + 2bで係数の和が3ですが、b = 2aにより同じ点をp = -3a + 4bとも表せます。後者の係数の和は1です。表示が一意でないため、与式の係数の和を1と置くだけでは答えを取りこぼします。

係数の和が1である表示が「存在する」ことと、与えられた特定の表示の係数の和が1であることは別です。aとbが平行でなければ表示は一意なので、標準例題では両者を結びつけられました。この発展例題では、まずb = 2aを使って差を実数倍に直す方針が有効です。

誤答を図で直す：重なった基準点

A = B、P = Aとします。位置ベクトルではa = b = pです。図3のように3点の名前が同じ位置に集まっている場合を考えます。

次の推論は誤りです。「p = 2a − bで、係数の和は2 − 1 = 1だから、直線ABが定まり、その上にPがある」。式と係数の和は正しいものの、AとBが同じ点なので直線ABは1本に決まりません。図3に描いた複数の線はどれもAとBを通り、いずれか1本を直線ABと指定する根拠はありません。

修正するには最初にAとBが異なるか確認します。異なるならp − aをb − aの実数倍に変形して直線AB上と結論します。重なるなら、係数の和1から得られるp = a、すなわちP = Aまでを述べます。3点を含む直線の存在を別に問われた場合は、その点を通る直線を選べると説明します。存在することと、2点から1本に定まることは違います。

練習：5つの配置を自分で判定する

各問でa、b、pは原点Oからの位置ベクトルです。必要な条件を確かめ、答えは整数または分数で表してください。範囲を問う場合は実数の集合として答えます。

1. A(-2, 1)、B(4, 5)、P(1, 3)について、Pが直線AB上か判定し、ベクトル APのベクトル ABに対する倍率を求めてください。
2. A(2, -1)、B(5, 1)、Q(8, 4)について、Qが直線AB上か判定してください。
3. OABが三角形で、p = (h + 2)a + (2h − 4)bです。Pが直線AB上にあるhを求めてください。
4. AとBは異なり、b = -aです。p = ra + (r + 3)bで定めるPについて、直線AB上にあるrの範囲を求め、与式の係数の和が1になるrと比べてください。
5. AとBは異なり、p = (5/4)a − (1/4)bです。Pが直線AB上にあることを示し、ベクトル APのベクトル ABに対する倍率と、Pが線分AB上にあるかを答えてください。

練習の解答と元の条件への確認

1. AとBは異なります。座標の差を取ると、

ベクトル AB = (4 - (-2), 5 - 1) = (6, 4)
ベクトル AP = (1 - (-2), 3 - 1) = (3, 2)
             = (1/2)・ベクトル AB

Pは直線AB上で、倍率は1/2です。A + (1/2)・ベクトル AB = (-2, 1) + (3, 2) = (1, 3)となり、指定されたPに戻ります。倍率が0と1の間なので、線分ABの内側です。

2. AとBは異なります。差と倍率を比較します。

ベクトル AB = (3, 2)
ベクトル AQ = (6, 5)
6 = 3t なら t = 2
2t = 4 ≠ 5

同じ実数tで両成分を合わせられないので、Qは直線AB上にありません。横の成分だけに合わせた点はA + 2・ベクトル AB = (8, 3)です。与えられたQの縦の座標4とは異なることでも、元の条件へ戻して確かめられます。

3. 三角形なのでaとbは平行でなく、AとBは異なります。係数比較によって、直線上にある条件は係数の和が1となることです。

(h + 2) + (2h - 4) = 1
3h - 2 = 1
3h = 3
h = 1

代入するとp = 3a − 2b、p − a = -2(b − a)です。確かにベクトル APはベクトル ABの-2倍となり、h = 1は元の直線上の条件を満たします。

4. b = -aを使うと、

p = ra + (r + 3)(-a)
  = -3a
b - a = -2a
p - a = -4a
      = 2(b - a)

よってrがどの実数でもPは直線AB上です。与式の係数の和が1になるのは、

r + (r + 3) = 1
2r = -2
r = -1

r = -1を元の式に戻すとp = -a + 2b = -3aです。他のrでも同じ点になり、上の倍率2を満たします。平行な位置ベクトルの係数は一意でないことに注意します。

5. 係数の和は5/4 − 1/4 = 1です。AとBは異なるため直線ABが定まり、

p - a = (5/4)a - (1/4)b - a
      = (1/4)a - (1/4)b
      = (-1/4)(b - a)

したがってPは直線AB上で、倍率は-1/4です。負なので線分AB上にはありません。逆にa + (-1/4)(b − a)を展開すると元のpに戻り、Aの外側という判定も確かめられます。

持ち帰る要点

• AとBが異なることを先に確かめ、非零のベクトル ABを基準にします。
• Pが直線AB上であることと、p − aがb − aの実数倍であることは同値です。
• 係数の和が1の表示が存在することも、直線上にあるための必要十分条件です。
• 平行なaとbでは表示が一意とは限らず、与式の係数の和が1でなくても共線になりえます。
• 倍率が0以上1以下なら線分上、それ以外なら延長上です。

つまずきを見分けるために

最初の1行でAとBが異なる理由を言えないときは、図に2点が重なる場合を加えてみます。次に、p − aを計算してb − aの何倍か説明できるかを確かめます。係数の和を使った場合は、逆にその表示が必ず得られる理由と、与式の係数比較を支える非平行性を分けて話します。

個別指導で途中式を見直すときも、「どの2点を基準にしたか」「倍率を元の位置ベクトルに戻せるか」を具体的に確認できます。2成分の片方だけで判断した答案や、平行なaとbの係数を比較した答案は、元の条件に代入し直すと不足した根拠を探せます。基準点の相違と倍率の両方を確かめれば、一直線という結論の根拠が見えてきます。