高校数学C 二直線の交点—二つの媒介変数を区別して連立条件を解く｜武蔵野個別指導塾

別々の媒介変数を使い、平行や一致も吟味して求める対象は二直線の交点です。

よくあるのは、理系の高校生が二直線の交点を求める際、両方の直線に同じ媒介変数を置いてしまう場面です。交点は同じ点ですが、各直線の出発点も進む向きも異なります。片方で何倍進んだかと、もう片方で何倍進んだかが同じとは限りません。

まず二つの文字を別々に置き、同じ点の位置ベクトルを等しくします。そこから得られる連立条件を解いて、答えを両方の表示に戻します。交わらない場合や直線が重なる場合にも、この手順が役立ちます。

どのように交点が問われるか

交点の問題には、主に三つの出方があります。第一は、二直線の位置ベクトルがそれぞれ与えられ、交点を求める形です。それぞれの方向ベクトルと通る点を読み取ってから、二つの表示を等しいと置きます。答えが媒介変数なのか、位置ベクトルなのかを問題文で確かめます。

第二は、平行でない二つのベクトルを基準に、交点をその一次結合で表す形です。基準が平行でないとき、二つの係数は一意に決まります。交点の両側の係数を比べれば、二元一次方程式に直せます。方向ベクトル同士が平行かどうかと、係数比較に使う基準が平行かどうかは別の確認です。

第三は、文字を含む直線について交点の有無を調べる形です。連立方程式を解く途中で文字を含む式を分母にするなら、その式が0のときは別に調べます。平行でも異なる直線なら交点はなく、同じ直線なら共通点は無数にあります。ここで扱うのは直線同士の交点であり、線分の範囲の判定は扱いません。

二つの表示を同じ点で結ぶ

原点をOとし、a、bを平行でないベクトルとします。aとbはともに零ベクトルではなく、どちらも他方の実数倍ではありません。点Pの位置ベクトルをpと書きます。以下のa、b、pなどの小文字はベクトルです。

直線lが点Aを通り非零ベクトルuの方向を持ち、直線mが点Bを通り非零ベクトルvの方向を持つとします。A、Bの位置ベクトルをそれぞれa₀、b₀とすると、各直線の点は次のように表せます。

l上の点の位置ベクトル = a₀ + tu
m上の点の位置ベクトル = b₀ + sv

tとsはそれぞれ実数全体を動きます。非零の方向ベクトルを正にも負にも伸ばすため、各式は点を一つ決める式ではなく、直線全体を表します。uやvが零なら、その式が表すのは一つの点であり、直線として扱えません。

図1のように、同じPへ到着しても、Aからの移動量はtu、Bからの移動量はsvです。基準となる向きも長さも違うので、tとsを最初から同じ文字にはしません。交点なら次の等式を満たします。

a₀ + tu = b₀ + sv

逆に、この等式を満たす実数t、sがあれば、両辺が表す同じ点は両直線上にあります。したがって、この等式の実数解を調べることは共通点を調べることと同じです。

aとbを基準にして両辺を整理し、例えば左辺がαa + βb、右辺がγa + δbになったとします。aとbは平行でないので、α = γ、β = δと比較できます。実際、差を取って(α − γ)a + (β − δ)b = 0としたとき、係数の一方が0でなければ、一方のベクトルが他方の実数倍になり、仮定に反します。よって両方の差が0です。

一方、平行な基準では係数を比較できません。例えばb = 2aなら、2a = bですが、aとbの見かけの係数は一致しません。基準の独立性を確認することが、連立方程式を立てる根拠になります。座標の成分を比較する場合も、横と縦の方向が平行でないことを使っています。

連立方程式にただ一組の解があれば交点は一つです。解がなければ共通点はありません。解が無数にある場合、非零の方向を持つ二直線は一致しています。解の個数から点の個数へ移るときも、方向ベクトルが零でないという条件を忘れないようにします。

基本例題：二方向の係数をそろえる

平行でないベクトルa、bを座標の横向きと縦向きの単位ベクトルとします。二直線l、mを次で定めます。交点Pの位置ベクトルをa、bの係数が分数の形で求めてください。

l: p = t(2a + b)
m: p = 3a + s(-3a + 2b)

t、sは実数です。各方向ベクトルは零でなく、aとbも平行でないため、二つの直線が定まり、係数比較が使えます。図2ではa、bをそれぞれ右向き、上向きに取っています。

図2の交点について、l側とm側の位置ベクトルを等しくします。m側のかっこを開いてから、aとbの係数を比較します。

2ta + tb = (3 - 3s)a + 2sb
2t = 3 - 3s
t = 2s

二つ目を一つ目に代入してsを決め、続いてtを求めます。

2(2s) = 3 - 3s
7s = 3
s = 3/7
t = 6/7

lの式へ戻すと、求める位置ベクトルは次のとおりです。

p = (6/7)(2a + b)
  = (12/7)a + (6/7)b

答えをmにも戻します。

3a + (3/7)(-3a + 2b)
= (21/7 - 9/7)a + (6/7)b
= (12/7)a + (6/7)b

両方で同じ位置に着きます。t = 6/7とs = 3/7は異なるので、同じ媒介変数を初めから使うと、この交点を取り落とします。二つの値がたまたま等しい問題も作れますが、その偶然は一般の根拠にはなりません。

標準例題：交点の表示を先に決める

a、bを平行でないベクトルとし、原点Oからの位置ベクトルpで二直線を次のように表します。交点の位置ベクトルを、aとbの係数を分数で表して求めてください。

l: p = a + t(a + 2b)
m: p = 2b + s(2a - b)

t、sは実数です。両方向は零ではありません。成分の数値を新たに設定する必要はなく、問題文にあるa、bが平行でないことを利用して係数比較します。交点の二つの表示を等しくし、各係数を整理します。

(1 + t)a + 2tb = 2sa + (2 - s)b
1 + t = 2s
2t = 2 - s

二つ目からsを消去します。分母にする数は5で、0ではありません。

s = 2 - 2t
1 + t = 2(2 - 2t)
1 + t = 4 - 4t
5t = 3
t = 3/5
s = 2 - 2(3/5)
s = 4/5

lに戻すと、

p = a + (3/5)(a + 2b)
  = (8/5)a + (6/5)b

となります。m側でも確かめます。

2b + (4/5)(2a - b)
= (8/5)a + (2 - 4/5)b
= (8/5)a + (6/5)b

連立方程式から得た値が、元の二つの直線上で同じ点を作ることまで確認できました。媒介変数は途中の手段なので、問題が位置ベクトルを求めるときはpの式を最後に示します。逆に媒介変数を問われたなら、tとsの対応を明記します。

発展例題：分母が0になる場合を残さない

a、bを平行でないベクトルとし、実数k、hに対して二直線を次で定めます。k、hの値によって交点の個数を分類し、交点が一つのときは位置ベクトルをa、bの係数で求めてください。

l: p = t(a + 2b)
m: p = a + hb + s(a + kb)

両方向ベクトルのaの係数は1なので、どの実数kでも零にはなりません。係数比較から始めます。

t = 1 + s
2t = h + ks

最初の式を二つ目に代入すると、

2 + 2s = h + ks
(2 - k)s = h - 2

となります。ここで2 − kで割る前に、0になる場合を分けます。

kが2でないときは、

s = (h - 2)/(2 - k)
t = 1 + (h - 2)/(2 - k)
  = (h - k)/(2 - k)
p = ((h - k)/(2 - k))(a + 2b)

です。t、sが一組に決まるので交点は一つです。元のm側に戻すと、aの係数は

1 + s = (h - k)/(2 - k)

であり、bの係数も

h + ks = h + k(h - 2)/(2 - k)
       = 2(h - k)/(2 - k)

となります。したがって両直線の表示は確かに一致します。

次にk = 2のとき、両方の方向はa + 2bです。hが2でなければ、上の条件は0 = h − 2となり矛盾します。方向が平行で共通点がないため、異なる平行な直線です。

k = 2かつh = 2なら、mは次の表示になります。

p = a + 2b + s(a + 2b)
  = (1 + s)(a + 2b)

sが実数全体を動くと1 + sも実数全体を動くので、mはlと一致します。共通点は無数です。方程式が0 = 0になったことに加え、表示を直して直線そのものが重なることも確認しました。

平行という言葉は、方向が平行という情報だけでは交点の有無を決めません。通る点がもう一方の直線上にあるかまで調べると、異なる平行線と一致を区別できます。また、kが2に近い値で計算できても、k = 2の答えを分母0の式から読み取ることはできません。

同じ文字にしてしまったときの直し方

基本例題で二つの媒介変数を同じtにする誤答を考えます。次のように置けば、両直線が同じ点を表すと考えがちです。

t(2a + b) = 3a + t(-3a + 2b)
2t = 3 - 3t
t = 2t

最後の式からt = 0ですが、それを前の式に入れると0 = 3となり矛盾します。この矛盾が示すのは「同じ数tで同時に表す共通点がない」ということです。二直線の共通点そのものがないとは言えません。

図3のように、基本例題の実際の交点に着くには、lでは6/7、mでは3/7を使います。同じ文字を使うと、両者に等しい値という余分な条件を加えてしまいます。直すにはm側をsに替え、2t = 3 − 3s、t = 2sを連立します。交点を見つけた後にtとsが等しいかを調べることはできますが、初めに等しいと仮定する理由はありません。

別の誤りは、二直線の方向が平行になった途端に「交点なし」と決めることです。一方の通る点をもう一方の式に代入できるなら、非零で平行な方向を持つ二直線は一致します。代入できなければ異なる平行線です。この確認は、連立式が矛盾するのか、常に成り立つのかを見ることにも対応します。

練習：独立した二つの文字で追う

次の1〜4では、p = (x, y)は原点からの位置ベクトルで、各媒介変数は実数です。交点が一つなら座標を整数または分数で、ない場合や無数の場合はその旨を答えてください。5では平行でないベクトルa、bを使い、交点の位置ベクトルを分数係数で答えてください。

1. l: p = (0, 1) + t(1, 1)、m: p = (4, 0) + s(-1, 2)。
2. l: p = (2, -1) + t(1, 2)、m: p = (-1, 3) + s(2, -1)。
3. l: p = (1, 2) + t(2, 1)、m: p = (3, 3) + s(4, 2)。
4. l: p = (0, 2) + t(1, 3)、m: p = (2, 1) + s(2, 6)。
5. l: p = 2a + t(a − b)、m: p = -2b + s(2a + b)。

練習の解答

1. 横と縦の成分を比較します。方向ベクトルはいずれも零ではありません。

t = 4 - s
1 + t = 2s
1 + 4 - s = 2s
3s = 5
s = 5/3
t = 7/3

よって交点は(7/3, 10/3)です。mにs = 5/3を戻すと(4 − 5/3, 10/3) = (7/3, 10/3)となり、lにもt = 7/3で到達します。

2. 成分比較から二つの式を作ります。

2 + t = -1 + 2s
-1 + 2t = 3 - s
t = -3 + 2s
-1 + 2(-3 + 2s) = 3 - s
5s = 10
s = 2
t = 1

交点は(3, 1)です。lにはt = 1、mにはs = 2を入れると、どちらも(3, 1)になります。

3. mの通る点(3, 3)はlにt = 1を入れた点です。またmの方向(4, 2)はlの方向(2, 1)の2倍です。実際、

(3, 3) + s(4, 2)
= (1, 2) + (1 + 2s)(2, 1)

です。sを実数全体に動かすと1 + 2sも実数全体を動くので、二直線は一致し、共通点は無数です。方向が平行という確認に加え、通る点も調べています。

4. 二つの方向は(2, 6) = 2(1, 3)なので平行です。mが通る(2, 1)をlに代入できるかを調べます。

2 = t
1 = 2 + 3t

t = 2を二つ目に入れると1 = 8となり矛盾します。mの通る点はl上にないので、二直線は異なる平行線で、交点はありません。方向が平行でも、3との違いは通る点にあります。

5. a、bは平行でないので係数比較できます。

(2 + t)a - tb = 2sa + (-2 + s)b
2 + t = 2s
-t = -2 + s
s = 2 - t
2 + t = 2(2 - t)
3t = 2
t = 2/3
s = 4/3

したがってp = (8/3)a − (2/3)bです。mへ戻すと、

-2b + (4/3)(2a + b)
= (8/3)a + (-2 + 4/3)b
= (8/3)a - (2/3)b

となり、l側と一致します。各方向はa、bの独立性から零ではありません。

手元に残す要点

交点では二つの位置ベクトルを等しく置き、媒介変数は別々にします。 係数比較の前には基準となる二つのベクトルが平行でないことを確かめます。 文字を含む式で割る前に、0の場合を別に調べます。 求めた値を両直線に戻し、平行と一致も区別します。

つまずきを見分ける問い

式が立たないときは、二つの直線で「通る点」と「方向」を指さし、それぞれの媒介変数がどの移動を表すかを言葉にしてみてください。同じ文字を使っていた場合、両方の移動量が等しいと仮定する理由を説明できるかが目印です。

計算が終わっても答えが不安なら、得られた点を双方の元の式へ戻します。個別指導で確かめるなら、係数比較に使った二つのベクトルが平行でない理由と、分母が0になる場合の扱いを自分の言葉で説明できるかを見ると、どこから修正するかが見えます。二つの移動を別々に追うことが、交点を見落とさない出発点です。