高校数学II 対数の累乗の性質—係数を前に出せる条件と絶対値が必要な場面を見分ける｜武蔵野個別指導塾

偶数乗の真数に絶対値を使う理由を、負の解を残す方程式と根号の計算で確かめ、変形前後の定義域を比較します。

よくあるのは、高2が負のxでもlogₐ(x²)を2logₐxにしてしまう場面です。左辺ではxを2乗してから真数にしますが、右辺ではxそのものが真数です。例えばxが負なら、左辺は意味を持つのに右辺は実数の範囲では意味を持ちません。式の見た目が似ていても、最初に使える値の範囲が違います。累乗の性質を使う前に真数を調べ、変形後にも同じ値を入れられるかを追いかけましょう。

どの場面で条件を見るか

問いの形は大きく3つあります。1つ目は、正の数の累乗や根号の対数を計算する形です。例えば、正の数Mについてlogₐ(M³)を3logₐMに直せば、対数の値を使って計算できます。根号も正の数の分数乗として表せますが、根号の中が正かどうかを先に見ます。

2つ目は、文字を含む偶数乗をほどく形です。x²はxが負でも正になります。x≠0ならx² = |x|²なので、真数に置くべきものはxではなく|x|です。絶対値を付ける操作は見た目を整えるためではなく、負のxを含む元の範囲を保つために必要です。

3つ目は、対数の式を含む方程式を解く形です。性質を使って候補を求めた後、元の真数が正であるかと、元の等式が成り立つかを確かめます。途中で範囲を狭めると候補が消え、逆に条件を忘れると余分な候補を残します。どちらも計算の正しさとは別に点検する必要があります。

使う道具は対数の定義、正の底の指数法則、絶対値、2次方程式です。学習指導要領でも対数の意味と性質を扱います。ここでは累乗を外に出す変形とその定義域に絞ります。

累乗を外に出す前に

底aについてa>0、a≠1、真数MについてM>0とします。対数logₐMは、aの何乗がMになるかを表す数です。すなわちlogₐM = pとaのp乗 = Mは同じことを表します。底が1なら異なる指数を区別できず、真数が0以下なら正の底の累乗として表せないので、この条件を先に置きます。

M>0でrが実数のとき、累乗の性質は次の式です。

logₐ(Mのr乗) = r logₐM

理由をたどります。p = logₐMと置くと、Mはaのp乗です。正の底の指数法則からMのr乗はaの(pr)乗です。対数の定義に戻せば、その対数はprであり、r logₐMに一致します。rが負でも分数でも、Mが正であれば同じ考え方です。係数を外に出せるのは、累乗される元のM自体が正の場合です。

図1のように、x²の形では、真数の条件と累乗の元の条件を分けて見ます。x²>0はx≠0と同じです。この範囲で|x|>0なので、正の数|x|に対して性質を使えます。

図1の左から右へ進むと、x≠0の全範囲でlogₐ(x²) = 2logₐ|x|です。x>0に限れば|x| = xなので2logₐxとなります。x<0なら|x| = -xです。一方、x = 0では元の真数も0であり、どちらの対数も定義されません。

偶数乗でも同じです。例えばx≠0ならxの4乗は|x|の4乗なので、logₐ(xの4乗) = 4logₐ|x|です。奇数乗は事情が異なり、x³>0となるのはx>0のときです。その定義域ではlogₐ(x³) = 3logₐxと書けます。偶奇を見ずに常に絶対値を付けると、奇数乗の元の定義域より広い式になってしまいます。

根号については、M>0なら√M = Mの1/2乗です。よってlogₐ√M = (1/2)logₐMです。√Mが真数であるには√M>0、つまりM>0が必要です。M = 0では根号自体は定義されますが、対数の真数が0になるため使えません。根号が存在する条件と対数が存在する条件は同じとは限りません。

基本例題：負の値も残す

次の方程式を解き、実数の解をすべて整数で答えます。

log₂(x²) = 6

底2は正で1ではありません。元の真数の条件はx²>0、したがってx≠0です。図2のように、正と負の両側を残してから絶対値を外します。

log₂(x²) = 6
2log₂|x| = 6
log₂|x| = 3
|x| = 2³
|x| = 8
x = -8 または x = 8

2行目はx≠0のもとでの累乗の性質です。4行目は対数の定義です。最後は絶対値が8となる数を正負に分けました。図2で原点を除き、左右の候補が残ることを見てください。

元の問題に戻すと、どちらもx² = 64です。2⁶ = 64なので、両方とも元の左辺は6です。真数も正です。対数の定義からx² = 64と直接しても同じ2つの解が得られます。こちらは絶対値を経由しない別の道であり、2乗された量が与えられていることをそのまま使えます。どちらの道でも、2乗方程式には正負の候補があることを忘れないでください。

標準例題：根号と定義域を重ねる

次の方程式を解き、実数の解を整数で答えます。

log₃√(x + 5) = 1

底3は正で1ではありません。根号の中が0以上であるだけでは足りず、真数の√(x + 5)が正でなければなりません。したがって定義域はx + 5>0、つまりx>-5です。この範囲ではx + 5が正なので、分数乗の性質を使えます。

log₃√(x + 5) = 1
(1/2)log₃(x + 5) = 1
log₃(x + 5) = 2
x + 5 = 3²
x + 5 = 9
x = 4

候補4は4>-5を満たします。元の根号へ戻すと√(4 + 5) = 3であり、log₃3 = 1です。よって解はx = 4です。対数の定義から最初に√(x + 5) = 3として、両辺を2乗しても同じ候補を得ます。ただし2乗は符号の情報を消すため、元の根号が正の3に等しいことを最後に確認します。

境界のx = -5では√(x + 5) = 0です。根号の計算はできますがlog₃0は定義されません。またx<-5では根号が実数として定義されません。境界と範囲外とでは失敗する場所が異なります。この違いを意識すると、不等号に等号を付ける誤りを防げます。

発展例題：変形で失う解を点検する

次の方程式を解き、実数の解を整数で答えます。

log₂((x - 1)²) = log₂(x + 5)

底2は条件を満たします。左の真数は(x − 1)²>0なのでx≠1、右の真数はx + 5>0なのでx>-5です。両方が必要です。底が同じ対数は、定義域で真数が等しいとき、またそのときに限り値が等しくなります。

(x - 1)² = x + 5
x² - 2x + 1 = x + 5
x² - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
x = 4 または x = -1

4と-1はともにx>-5かつx≠1を満たします。元の真数に戻すと、x = 4では左も右も9、x = -1では左も右も4です。両側の対数の底も同じですから、両候補が解です。

左辺を2log₂(x − 1)と直すと、その式が意味を持つのはx>1だけです。その条件の下では計算できますが、元の定義域に含まれる-1を失います。正しく累乗の性質を使うなら2log₂|x − 1|です。元の式の範囲を保ちたい場合、絶対値を付けるか、x>1とx<1に場合分けします。

この問題では、対数をほどいてから場合分けするより、同じ底の真数を直接等しくする方法が短く済みます。どちらがよいかは形を見て決めます。ただし、短い方法でも最初の真数条件と最後の代入は省けません。例えばx = 1が2次方程式の候補になった場合、左の真数は0なので除く必要があります。条件は答えの選別に使うために書くものです。

誤答を修理する

誤答例として、log₅(x²) = 2を次のように解いたとします。

log₅(x²) = 2
2log₅x = 2
log₅x = 1
x = 5

x = 5自体は元の式を満たしますが、答えとしては不足しています。原因は2行目で、元のx≠0という範囲をx>0へ狭めたことです。負の値ではlog₅xが定義されません。計算が途中から正しくても、失った範囲は自然には戻りません。

図3のように、左辺の定義域は原点を除く左右であり、誤った右辺は右側に限られます。正しい式は2log₅|x|です。

修正するとlog₅|x| = 1、つまり|x| = 5なのでx = -5または5です。図3の両側で元の真数は25となり、5² = 25から両方とも元の左辺は2です。x = 0は真数が0なので含めません。解の候補が1つ見つかった時点で終えず、変形前後の範囲を比べることが欠落の発見につながります。

別の誤りは、log₅(x²) = 2log₅|x|をx = 0にも使えると思うことです。等式はx≠0で成り立ちますが、0では両辺とも対数が定義されません。式の形が同じ値を表すことと、あらゆる実数で計算できることは別です。さらに、logₐ(u + v)をlogₐu + logₐvとすることもできません。累乗の指数を外へ出す性質は、真数の和を分ける規則ではありません。

練習問題

各問で底と真数の条件を確認し、指定された形で答えてください。問題を解いてから、下の解答と比べましょう。

1. log₄(16³)の値を整数で求めます。
2. log₇√49の値を整数で求めます。
3. log₃(x²) = 4を解き、実数の解をすべて整数で答えます。
4. log₂√(x + 2) = 2を解き、実数の解を整数で答えます。
5. log₃((x + 2)²) = log₃(x + 8)を解き、実数の解をすべて整数で答えます。

解答と確かめ

1

底4は正で1でなく、16は正です。性質を使ってから対数の定義に戻します。

log₄(16³) = 3log₄16
= 3・2
= 6

4² = 16であり、元の真数は16³ = 4096です。4⁶ = 4096なので、元の問いに戻しても答えは6です。

2

底7は正で1でなく、49は正です。根号の値も正です。

log₇√49 = (1/2)log₇49
= (1/2)・2
= 1

元の真数は√49 = 7です。7¹ = 7なので答えは1です。根号の中が正であることにより分数乗の性質を適用できています。

3

底3は条件を満たし、真数条件はx≠0です。

log₃(x²) = 4
2log₃|x| = 4
log₃|x| = 2
|x| = 3²
|x| = 9
x = -9 または x = 9

元の真数はどちらも81で、3⁴ = 81です。両候補ともx≠0を満たすので、両方が解です。正の候補だけにせず、絶対値の両側を取ります。

4

底2は条件を満たします。真数√(x + 2)>0からx>-2です。

log₂√(x + 2) = 2
(1/2)log₂(x + 2) = 2
log₂(x + 2) = 4
x + 2 = 2⁴
x + 2 = 16
x = 14

14>-2です。元の真数に戻すと√(14 + 2) = 4で、2² = 4です。したがって元の左辺は2であり、解は14です。x = -2は根号が0となり、真数の条件に反します。

5

底3は条件を満たします。真数がともに正である条件はx≠-2かつx>-8です。同じ底なので、定義域内で真数を等しくします。

(x + 2)² = x + 8
x² + 4x + 4 = x + 8
x² + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
x = -4 または x = 1

どちらも条件を満たします。x = -4では元の左右の真数がともに4、x = 1ではともに9です。いずれも正なので、元の対数の値は左右で等しく、解は-4と1です。左辺を2log₃(x + 2)とすると-4を失うため、使うなら絶対値が必要です。

要点を短く

正のMに対して、logₐ(Mのr乗) = r logₐMです。 x≠0ならlogₐ(x²) = 2logₐ|x|です。 根号の対数では根号の中が正か確かめます。 変形前後の定義域と、候補を元の式に戻した結果を照合します。

どこでつまずいたかを見る

計算の結果が合わないときは、まず元の式に入れられる値を口頭で説明してみてください。x²>0からx>0と答えたなら、負の数を2乗する具体例に戻ります。x≠0と言えても2logₐxと書くなら、右辺の真数に負の数を入れられるかを調べます。根号の問題では、0が根号には入る一方で対数の真数には使えないことを区別します。

個別指導では、途中式の各行の横に、その行が意味を持つxの範囲を書いて説明できるかを確かめます。正負の候補を出した後は、それぞれを元の真数へ代入し、両方が正で等式を満たすかを自分の言葉で確認します。範囲の変化を追えば、計算の途中で消えた解を見つけられます。